Exercice 2.3 - Construction géométrique d'une racine carrée

Solution

Question 1 - Construction à la règle et au compas

On reprend le dessin proposé dans le cours. Il s'agit de reprendre l'algorithme de construction en remplaçant l'exemple $A(4\, ; 0)$ par le cas général où $A$ est d'abscisse $(a>0)$.

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Mettre en équation l'inconnue

C'est la longueur $AM$ qui est recherchée sachant que $OA$ vaut $a$ et $AB$ vaut 1. De plus $O,A,B$ sont alignés et $M$ est situé sur le cercle et la perpendiculaire à $(OB)$. Ces propriétés forment les données du problème. Nous commençons par l'orthogonalité entre $(AM)$ et $(AB)$. Le théorème de Pythagore s'applique au triangle rectangle $AMB$: \[ AM^2=MB^2-AB^2 \] Quant à $AB$ nous le connaissons, il nous manque $MB$.

Exploiter les hypothèses

Le point $M$ a la particularité d'être situé sur le cercle de diamètre $OB$. Ceci entraîne une propriété sur le triangle $OMB$: il est rectangle en $M$. Le théorème de Pythagore permet d'écrire: \[ OM^2+MB^2=OB^2 \] Nous connaissons $OB$ il reste à déterminer $OM$. Or un troisième triangle rectangle n'a pas été exploité: $OAM$. On a: \[ OM^2=AM^2+OA^2 \] $AM$ est la valeur recherchée, ce qui ne nous gêne pas de la voir apparaître. Et $OA$ est connue. Ainsi le problème peut être résolu: \[ \begin{aligned} AM^2 & = MB^2-AB^2 \\ & = ( OB^2-OM^2 ) - AB^2 \\ & = ( OB^2 - ( AM^2+OA^2) - AB^2 \end{aligned} \] D'où la relation finale entre l'inconnue et les données: \[ 2 \, AM^2 = OB^2 - AB^2-OA^2 \] Avec les valeurs proposées on a en notant $y$ l'ordonnée de $M$: \[ 2y^2=2a \] D'où: $y=\sqrt{a}$.

Question 2 - Moyenne géométrique

L'intérêt de présenter le résultat final en séparant l'inconnue et les données (sans appliquer les valeurs jusqu'à la fin) apparaît sur cette question. Il suffit de remplacer 1 par b. On passe de l'équation générale précédente :  \[ 2 \, AM^2 = OB^2 - AB^2-OA^2 \] au résultat suivant en appliquant les valeurs aux longueurs : \[ 2y^2 = (a+b)^2-a^2-b^2 \] D'où: \[ y=\sqrt{ab} \] L'ordonnée de $M$ est la racine carrée du produit $OA \times AB$, soit la moyenne géométrique.