Exercice 1.2 - Exploiter les données d'une parabole

Solution

La forme donnée est factorisée, les racines sont connues, on demande la forme développée. Il s'agit d'établir un lien dans cette situation entre les coefficients et les racines, puis entre trois points particuliers et les différents paramètres.

Question 1 - Somme et produit des racines.

On développe directement $f$ en regroupant suivant les puissances de la variable $x$: $$ \begin{align} f(x) & = a (x-\alpha) (x-\beta) \\ & = a ( x^2 - \beta x - \alpha x + \alpha \beta ) \\ & = a x^2 - a (\alpha+\beta) x + a (\alpha \times \beta) \end{align} $$

La forme développée s'écrit de manière classique à l'aide de trois coefficients indépendants: $ax^2+bx+c$. On vient de voir que si un polynôme de cette forme possède deux racines $\alpha$ et $\beta$ alors leur somme et leur produit permettent de reconstituer les coefficients $b$ et $c$: $$ \begin{cases} \alpha + \beta & = -\frac{b}{a} \\ \alpha \times \beta & = \frac{c}{a} \end{cases} $$

Question 2 - Exploiter des données.

Les deux formes de $f(x)$ deviennent avec $(\alpha=1)$ comme suit: $$ \begin{align} f(x) & = a (x-1) (x-\beta) \\ & = a \left( x^2 - (1+\beta) x + \beta  \right) \end{align} $$ La valeur de $f$ à l'abscisse $\sqrt{2}$ permet de relier le coefficient $a$ à la racine $\beta$: $$ f(\sqrt{2}) = \begin{cases} 3 \\ a (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta) \end{cases} $$. Ce qui donne, à condition que $\beta$ soit différent de $\sqrt{2}$: $$ \displaystyle a=\frac {3} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta)} $$ Il se trouve que $(c=a \times \beta)$ d'après la question 1 d'où l'expression qui s'ensuit: $$ c=\frac {3\beta} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta)} $$ On peut aussi exprimer $b$ à l'aide de l'autre équation trouvée à la première question: $b=-a(\beta+1)$. D'où: $$ b=\frac {-3(\beta+1)} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta)} $$ Il est intéressant de remarquer que nous avons fixé deux points et pourtant la fonction $f$ n'est pas devenue unique. En effet, une racine a été imposée ce qui revient à fixer la valeur en ce réel. Dans notre situation nous avons donc décidé que $f(1)=0$. De plus la valeur en $\sqrt{2}$ a aussi été fixée: $f(\sqrt{2})=3$. S'il avait été question de droite, le fait de se donner deux points aurait suffit à caractériser de manière unique $f$ mais nous venons de voir que pour une parabole il n'en est rien.

Les trois coefficients $a, b, c$ sont entièrement déterminés si les deux racines sont données ainsi qu'un autre point. Mais ici la valeur de $\beta$ reste sujette à discussion. Nous avons $f(\sqrt{2})>f(1)$ et $\beta$ est une racine, un dessin est ici essentiel pour comprendre la problématique, de plus il s'agit de ne pas rester cantonné au cas général mais de tenter quelques exemples, ce qui permet d'observer la forme de la courbe $\mathcal{C}_f$ suivant la position de la racine $\beta$.

Pour répondre directement à la question "que vaut $\beta$ ?" on peut affirmer qu'elle peut prendre toutes les valeurs sauf $\sqrt{2}$. En dehors de celle-ci, pour tout choix de $\beta$ les trois coefficients seront déterminés par les expressions données ci-dessus. Prenons $\beta$ depuis $-\infty$ et faisons le se déplacer sur l'axe des abscisses vers $+\infty$.

$\beta<\sqrt{2} \Longrightarrow a>0$ : Dans cette situation il existe trois positions encore à distinguer. Ou bien $\beta$ se situe avant $\alpha$, ou bien les deux racines sont confondues, ou encore $\beta$ se place entre $\alpha$ et $\sqrt{2}$. Les trois courbes qui suivent donnent le tracé de la courbe avec les valeurs $\beta$ prises parmi $ \{ -0.5 \, ; 1 \, ; 1.2 \} $.

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$\beta>\sqrt{2} \Longrightarrow a<0 $ : Si $\beta$ se situe après $\sqrt{2}$ il n'est pas possible de faire passer une parabole avec des branches dirigées vers le haut, c'est l'interprétation de ce résultat algébrique. Là encore, nous pouvons distinguer trois positions à l'intérieur du cas $ ( \beta > \sqrt{2} ) $. Les trois exemples qui suivent représentent la courbe pour $\beta$ pris parmi $ \{ 2\sqrt{2} - 1 \, ; 1.5 \, ; 2.5 \} $ . Le réel $(2\sqrt{2}-1)$ est particulièrement intéressant, lorsqu'il correspond à la valeur $\beta$ alors le milieu des deux racines devient $\sqrt{2}$ et c'est en cette abscisse que le maximum de la fonction est atteint. Si $\beta$ est compris entre $\sqrt{2}$ et $(2\sqrt{2}-1)$ alors le sommet est atteint avant le point $(\sqrt{2}\, ; 3)$ et si $\beta$ est situé après $(2\sqrt{2}-1)$ alors le sommet vient aussi après $(\sqrt{2}\, ; 3)$.

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Question 3 - Calcul de l'aire du triangle sommet-racines.

Le calcul est impossible si $\beta$ vaut $\sqrt{2}$. Dans tous les autres cas, une méthode consiste à calculer la base $B$ et la hauteur $H$ données par: $$ B = \left| \beta - \alpha \right| \quad H = \left| f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right)\!\right|$$ Le symbole $\left| \,  \right|$ indique qu'on prend en compte la valeur positive de l'expression se situant à l'intérieur des barres verticales, il s'agit de la valeur absolue étudiée au chapitre 2. Ainsi la base $B$ est la distance séparant les deux racines $\alpha$ et $\beta$, puis la hauteur est la valeur absolue de l'image par $f$ du milieu des deux racines.

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La valeur de $f$ en le sommet $S$ d'abscisse $\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}$ est simple à calculer à partir de la forme factorisée: $$ \begin{align} f\left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right) & = a \left( \frac{\alpha+\beta}{2} - \alpha \right) \times \left( \frac{\alpha+\beta}{2} - \beta \right) \\ & = a \left( \frac{\beta-\alpha}{2} \right) \times \left( \frac{ \alpha - \beta } { 2 } \right) \\ & = - \frac{a}{4} (\beta-\alpha)^2 \end{align} $$

Suivant la position de $\beta$ par rapport aux deux points $\alpha$ et $\sqrt{2}$ l'expression $B\times H$ ne comportent pas les mêmes signes. Si $(\beta<\alpha)$ alors on écrit en notant $\mathcal{A}(\beta)$ l'aire: $$ \mathcal{A}(\beta) = - f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right) \times (\alpha-\beta) $$ puisque l'ordonnée de $S$ est négative et $\beta$ plus petit que $\alpha$. Si $\beta$ se confond avec $\alpha$ alors l'aire est nulle: $ \mathcal{A}(\beta) = 0 $. Ensuite, lorsque $(\alpha<\beta<\sqrt{2})$ l'ordonnée de $S$ est toujours négative mais $\beta$ est plus grand que $\alpha$ ce qui modifie l'expression comme suit: $$ \mathcal{A}(\beta) = - f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right) \times (\beta-\alpha) $$ Le dernier cas intervient pour $(\sqrt{2}<\beta)$ où l'ordonnée de $S$ devient positive et on a: $$ \mathcal{A}(\beta) =  f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right) \times (\beta-\alpha) $$

Il reste à appliquer la formule donnant l'aire d'un triangle: $\displaystyle \mathcal{A}(\beta) = \frac{1}{2} B H $. On retrouve la même expression pour la première et la troisième situation, et son opposée pour la deuxième: $$ \mathcal{A}(\beta) = \begin{cases} \frac{a}{8} (\beta - \alpha)^3 & \text{ si } \beta \in ] \alpha\, ; \sqrt{2} [ \\ - \frac{a}{8} (\beta - \alpha)^3 & \text{sinon.} \end{cases} $$

Nous avons conservé l'expression de $\alpha$ et $a$ pour rester le plus général possible, à présent donnons une expression correspondant aux valeurs $(\alpha=1)$ et $a$ en fonction de $\beta$ pour mettre en évidence que l'aire est entièrement déterminée comme la fonction par la donnée de $\beta$ une fois que $\alpha$ et un point ont été fixés au préalable.