Connu pour avoir vécu au cours de la période 310-230 avant notre ère, ses travaux nous ont été rapportés par Pappi Alexandrini (Pappus d'Alexandrie) dans le tome 6 de son livre de géométrie ainsi que par Archimède dans l'Arénaire. L'astronome ne disposait alors que de quelques connaissances géométrique, mais elles étaient précises et maîtrisées. Entre autres les enseignements des deux anciens Thalès et Pythagore deux siècles auparavant. Aristarque est un contemporain d'Euclide, et ces mathématiciens précités sont tous originaires de Samos, une île de la mer Egée, sauf sans doute Thalès. Voici comment Aristarque exposa ses calculs d'astronomies, selon la traduction du comte de Fortia d'Urban, à ceci près que nous utiliserons des majuscules pour décrire les trois astres.

Cet article reprend la description en fin de section 4 du chapitre de Trigonométrie du phénomène de croissant de Lune. Ci-après l'exposé de Aristarque entièrement porté par des considérations géométriques simples, viendront des articles sur les méthodes indiennes du Vème siècle puis à propos de l'observateur de Samarkand au XVème siècle.

Hypothèses

La Lune reçoit sa lumière du Soleil. Cette remarque simple justifie le trajet des rayons lumineux. Ainsi lorsque la demi-lune apparaît on en déduit que le système Terre-Lune-Soleil forme un triangle rectangle.

La Terre peut être considérée comme un point, et comme le centre de l'orbite de la Lune. Déjà à cette époque la Terre était connue comme étant une sphère, la position de l'observateur peut fausser les calculs mais Aristarque considère que le rayon terrestre doit être sûrement négligeable face aux distances Terre-Lune et Terre-Soleil, il faudra attendre un demi siècle plus tard pour qu'Eratosthène établisse un calcul remarquable de précision. L'approximation faite par Aristarque influe peu puisque le rayon terrestre est connu pour valoir 6378 km à l'équateur (contre 6357 depuis les pôles), soit environ 1,66% de la distance Terre-Lune qui vaut 384 400 km.

La demi-lune est le moment où le système TLS forme un triangle rectangle. C'est l'hypothèse émise sur l'angle droit, en fait Aristarque le formulait comme ceci: "Lorsque la Lune nous paraît dikhotome(coupée en deux portions égales), elle offre à nos regards son grand cercle qui détermine la partie éclairée et la partie obscure de cet astre." Le contour dessiné indique alors la circonférence du satellite comme lors de la pleine lune, la division en moitié montre que les rayons allant du Soleil à la Lune puis vers nous forment un angle droit.

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L'angle $\beta$ vaut 3°. Aristarque s'exprime avec des angles comme étant des distances parcourues sur la sphère céleste. La trigonométrie est avant tout celle enseignée dans le livre d'Euclide. Le sinus et les autres ratios n'existent qu'à partir du Vème siècle comme nous l'avons expliqué dans le cours. L'hypothèse est en fait ici une observation faite avec un instrument de type arbalestrille. Déjà utilisé par Aristillus et Timocharis, astronomes d'Alexandrie vers 284 avant notre ère ayant publié le catalogue des étoiles le plus ancien dans la région méditerranéenne, il s'agit de l'assemblage de deux bâtons perpendiculaires, le plus petit coulisse sur le plus grand. On mesure ainsi la hauteur d'un astre par rapport à l'horizon. Sur la photo ci-dessou, il y a un deuxième marteau coulissant plus petit servant pour les angles faibles.

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Aristarque exprime la valeur obtenue ainsi: "Lorsque la Lune nous paraît dikhotome sa distance du Soleil est moindre du quart de la circonférence, de la trentième partie de ce quart". Le quart de la circonférence est l'angle droit, la circonférence en question est celle de la sphère céleste. Plus précisément sur le dessin ci-dessous, où la Terre est au centre, le cercle dessiné est celui formé par le Soleil en tant que mouvement apparent. Le trentième de ce quart représente trois degrés. Nous renvoyons le lecteur à la première partie du chapitre de Trigonométrie traitant de la notion d'angle, il s'agit comme l'exprime Aristarque d'une distance. Il inscrit ainsi la position de la Lune sur le cercle à l'aide d'un autre point. La distance de la Lune au Soleil est donc l'arc joignant l'horizon à la Lune, soit 90°, auquel on retire la valeur trouvée à l'aide de l'arbalestrille, soit 3° qui est l'arc joignant l'horizon au Soleil.

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L'idée exploitée par l'instrument est de mesurer un angle à partir d'une référence qui est l'horizon, pour éviter qu'un relief ne vienne perturber les calculs précis requis en astronomie on peut mener l'opération depuis un navire en pointant vers la mer par temps calme. La droite joignant l'horizon et l'observateur est à peu de choses près une tangente à la sphère terrestre. Le moment de la demi-lune indique alors que cette dernière droite et celle tracée par le couple Soleil-Lune sont parallèles. L'arbalestrille donne alors une valeur de l'angle $\beta$. Il faut prendre garde à ne pas considérer les dessins d'illustrations comme reflétant la réalité, nous exagérons volontairement l'angle $\beta$ trop faible pour être dessiné tel quel, et le Soleil est placé comme on l'a vu plus haut sur le même cercle que la Lune, il s'agit là de projection et donc de position apparente.

Aristarque écrit son livre dans le style des Eléments d'Euclide, il s'agit presque d'un traité de Géométrie où figurent des démonstrations précises, établies dans un ordre logique. L'astronome part de six hypothèses dont quatre viennent d'être retranscrites précédemment en gras. Les deux autres ne concernent pas vraiment l'exposé qui va suivre, les voici:

  • La largeur de l'ombre est de deux lunes.
  • L'arc soutendu dans le ciel par la Lune est le quinzième d'un signe. 

L'ombre en question est celle de la Terre, visible sur la Lune lors d'une eclipse de Lune pendant environ trois heures. Le calcul du temps que l'ombre met à traverser la Lune indique sa taille. L'arc soutendu est l'angle occupé par la Lune pour notre oeil, Aristarque l'estime à un quinzième d'un signe du zodiaque. Le zodiaque représente 360°, il y a douze signes, chacun occupe 30° de la sphère céleste. Le quinzième de cette valeur est donc 2°, il apparaît aujourd'hui que là-dessus Aristarque s'est trompé de beaucoup puisque la valeur admise est plutôt de l'ordre de 0.5° mais il est possible qu'il ait choisi volontairement cette valeur plus commode pour son exposé.

Résultats

La conclusion de l'astronome est alors que "la distance du Soleil à la Terre est plus grande que 18 fois la distance à la Lune mais qu'elle est moindre que 20 fois cette distance". D'autres résultats sont donnés dans le Traité sous la forme de propositions, tels que les diamètres des astres, il y en a 19 au total et c'est la proposition VIII qui nous intéresse ici, allant de la page 19 à 22 de la traduction (voir lien en bas de page).

Minoration

On note $A$ le point représentant le Soleil, puis $B$ et $C$ la Terre et la Lune. On veut montrer que: $AB > 18\times AC$. Avec comme seules données que:

  • le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
  • l'angle $\displaystyle \widehat{BAC}$ vaut 3°.

Voici la méthode d'Aristarque traduite par le comte de Fortia d'Urban que nous commentons:

Tracé des données

Soit en effet $A$ le centre du soleil, et $B$ le centre de la terre; que la ligne $AB$, qui joint ces deux centres, soit prolongée; que le centre de la Lune, dans sa dikhotomie, soit $C$. Par $AB$ et $C$, je fais passer un plan dont la section avec la sphère, dans laquelle se meut le centre du soleil, sera un grand cercle $ADE$. Soient tirées les lignes $AC, BC$, et soit prolongée $BC$ jusqu'en D. Puisque le point $C$ est le centre de la lune dans sa dikhotomie, l'angle $ACB$ sera droit. Du centre $B$ je tire sur $AB$ la perpendiculaire $BE$. L'arc $DE$ sera conséquemment la trentième partie de l'arc $ADE$. En effet, l'une de nos hypothèses (la quatrième) est que la Lune, dans sa dikhotomie, est éloignée du Soleil d'un quart de la circonférence, moins la trentième partie de ce quart; donc l'angle $CBE$ est aussi la trentième partie d'un angle droit. Soit achevé le parallèlogramme $AE$, ...

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Ce qui donne les étapes et les propriétés suivantes:

  1. On construit $A, B$ puis le segment $[AB]$.
  2. Puis $C$ est posé. La droite $(AB)$ et le point $C$ forme un plan unique. Ce plan intercepte la sphère sur laquelle se déplace le Soleil. L'intersection est un cercle nommé par 3 points qui le caractérisent $ADE$.
  3. On construit les segments $[AC]$ et $[BC]$. La droite $(BC)$ coupe le cercle en $D$.
  4. Par hypothèse l'angle $\displaystyle \widehat{ACB}$ vaut 90°.
  5. On trace la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $B$ pour former $[BE]$.
  6. Une dernière propriété tirée de l'hypothèse sur l'angle $\widehat{BAC}$: l'arc $\displaystyle \widehat{DE}$ vaut un trentième de l'arc $\displaystyle \widehat{AE}$. Ou dit autrement, l'angle $\displaystyle \widehat{CBE}$ vaut un trentième de l'angle droit.
  7. On finit de tracer le carré $ABEF$ nommé ici parallèlogramme $AE$.

A noter que la rédaction de l'auteur laisse à penser qu'il considère que le Soleil se déplace autour de la Terre. Seulement si cela n'est pas encore mentionné dans son exposé, une traduction de l'Arénaire d'Archimède montre qu'il défendit la thèse opposée étant donné les résultats qu'il obtient et la considération qu'un objet ne peut tourner autour d'un autre qui lui est plus léger. Enfin notons la propriété 6. qui montre encore une fois la correspondance entre l'angle et l'arc.

Objectif de la construction

Au milieu de cette construction déjà plus étoffée ne perdons pas de vue l'objectif, il s'agit de comparer la longueur $AB$ à $BC$. Aristarque "envoie" le triangle $ABC$ sur $BEH$ où $H$ sera le point d'intersection de la droite $(BD)$ et le cercle comme l'illustre la figure ci-dessus. Ils ne sont pas identiques au sens des longueurs mais semblables, c'est-à-dire avec les mêmes angles. Il suffit de voir qu'ils ont tous les deux l'angle de 3° et celui de 90°. En procédant ainsi, l'astronome sait que comparer $AB$ à $BC$ revient à comparer $BH$ à $EH$.

En effet, puisque les deux triangles sont semblables, alors $EBH$ se déduit de $ABC$ suivant une homothétie, même s'ils ne sont pas dessinés de la sorte, on peut imaginer un triangle ayant les mêmes dimensions que $EBH$ prolongeant $ABC$ par homothétie. On obtiendrait une configuration de Thalès et son théorème donne le résultat: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{BH}{EH} \]

Ainsi Aristarque va évaluer $BH$ et $EH$. Pour cela il pose des angles de référence permettant de mettre en évidence des proportions entre longueurs. La méthode utilisée dans le cours pour le calcul des angles de référence est similaire, tout repose sur des considérations triangulaires.

Tracés de référence

Nous rappelons encore une fois que l'angle de 3° a été volontairement exagéré sur notre figure comme sur celle proposé dans le Traité, il s'agit avant tout de mettre en évidence des relations entre objets et de faciliter la lecture, nous ne raisonnons pas sur la figure directement mais sur les données et les propriétés issues de théorème.

... et soit tirée la diagonale $BF$; l'angle $EBF$ sera la moitié d'un angle droit; que cet angle $EBF$ soit coupé en deux parties égales par la ligne $BG$; l'angle $EBG$ sera conséquemment le quart d'un angle droit. Mais l'angle $DBE$ est la trentième partie d'un angle droit; donc la proportion de l'angle $EBG$ à l'angle $DBE$ est celle des nombres 15 et 2. En effet, si l'angle droit est divisé en 60 parties, l'angle $EBG$ en aura 15, et l'angle $DBE$ 2; et puisque le rapport de $EG$ à $EH$ est plus grand que celui de l'angle $EBG$ à l'angle $DBE$; celui de $EG$ à $EH$ sera plus grand que celui de 15 à 2.

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Là encore, il y a une part de construction et de calcul:

  1. On trace la diagonale $[BF]$ du carré. L'angle $\displaystyle \widehat{EBF}$ vaut 45°.
  2. On trace la bissectrice de cet angle, on nomme $G$ l'intersection produite avec le côté $[EF]$. L'angle $\displaystyle \widehat{EBG}$ vaut le quart de 90°, c'est-à-dire 22°30'.
  3. $\displaystyle \widehat{DBE}$ vaut un trentième de 90° quand $\displaystyle \widehat{EBG}$ en vaut un quart. D'où le rapport: \[ \frac{\widehat{EBG}}{\widehat{DBE}} = \frac{15}{2} \]
  4. Le rapport $EG/EH$ est plus grand que $15/2$ car plus grand que le rapport des angles.

Les diagonales $(BF)$ et la bissectrice $(BG)$ vont servir de référence dans le calcul. On compare d'abord deux angles, leur rapport est $15/2$ puis par une propriété sur les arcs on en déduit une majoration du rapport des longueurs $EG/EH$: \[ \frac{EG}{EH} = \frac{\widehat{EG'}}{\displaystyle \widehat{ED}} \] où les points sont définis ci-dessous. Ainsi le rapport entre les deux arcs est plus petit que celui entre les deux longueurs. Nous n'avons pas trouvé la démonstration de cette propriété sans faire appel à la trigonométrie.

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Ainsi Aristarque en est rendu à une relation entre $E, H$ et $G$. Or $E$ et $G$ sont connus car placés à de manière bien définie. Quant à $H$ seul l'angle est connu, mais à l'époque aucune formule n'avait été donnée pour le positionner. C'est ce que fait Aristarque ici en encadrant le résultat.

Opérations finales

S'ensuit la comparaison entre les longueurs $BF$ et $BE$ puis $FG$ et $GE$:

Or $BE$ est égale à $EF$, et l'angle en $E$ est droit; ainsi le carré construit sur $BF$ est le double du carré construit sur $BE$. Mais on a cette proportion: comme le carré construit sur $BF$ est au carré construit sur $BE$, ainsi le carré construit sur $FG$ est au carré construit sur $EG$. Ainsi le carré construit sur $FG$ a, avec le carré construit sur $EG$, un rapport plus grand que celui de 49 à 25; et conséquemment le côté $FG$ a, avec le côté $EG$, un rapport plus grand que celui de 7 à 5. Componendo, on aura $EF$ est à $EG$ dansun rapport plus grand que celui de 12 à 5 ou de 36 à 15. Mais on a prouvé que $EG$ est à $EH$ dans un rapport plus grand que celui de 15 à 2; donc l'antécédent de cette proportion étant égal au conséquent de l'autre, on en conclura que $EF: EH$ dans un rapport plus grand que celui de 36 à 2 ou de 18 à 1. Ainsi $EF$ est plus de 18 fois plus grande que $EH$. Or $EF$ est égale à $BE$; donc $BE$ est aussi plus de 18 fois plus grande que $EH$. A plus forte raison $BH$ sera-t-elle plus de 18 fois plus grande que $EH$.

Aristarque énonce une propriété connue, qui est le théorème de Pythagore dans le cas particulier du carré. Ou dit autrement que la diagonale vaut le côté multiplié par la racine de 2. Seulement on raisonne plutôt sur le carré qu'avec des nombres irrationnels, ainsi il énonce: \[ BF^2 = 2 BE^2 \] Puis il fait une remarque semblable sans le démontrer car il s'agit pour l'époque d'une propriété classique: \[ FG^2= 2 EG^2 \] Pour l'explication, voyons la figure ci-dessous et rappelons que $(BG)$ est la bissectrice de l'angle $\displaystyle \widehat{EBF}$ ainsi les triangles $BEG$ et $BG'G$ sont semblables, de plus puisqu'ils partagent le même hypoténuse, on sait que les côtés correspondent. Entre autres on a l'égalité: $GG'=EG$. Enfin, rappelons que l'angle $\displaystyle \widehat{G'FG}$ vaut 45°. Ainsi $FG$ est la diagonale du carré construit à partir de $G, G'$ et $F$. D'où: \[ FG^2 = 2 GG'^2 = 2 EG^2 \] La figure qui suit reproduit dans les justes proportions ce passage du raisonnement, il faut prendre garde de croire que $G$ est au milieu de $[EF]$. Pour un côté $EF=5$ on aura $EG\approx 2.07$.

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Les étapes franchies sont les suivantes:

  1. $BF^2=2 BE^2\; $ et $\; FG^2=2 EG^2$.
  2. On a $2>49/25$ donc: \[ FG^2> \frac{49}{25} EG^2 \]
  3. On extrait la racine carrée: \[ FG > \frac{7}{5} EG \]
  4. $\displaystyle EF > \frac{12}{5} EG$. Il suffit d'écrire $EF=EG+FG$ et d'utiliser le 3.
  5. On compose les deux résultats: \[ \frac{EG}{EH}>\frac{15}{2} \quad \text{et} \quad \frac{EF}{EG}>\frac{36}{15} \qquad  \Longrightarrow \qquad \frac{EG}{EH} \times \frac{EF}{EG} >\frac{15}{2}\times \frac{36}{15} \] Soit le résultat: $\displaystyle \frac{EF}{EH}=18$.
  6. $BE=EF$ (carré) et aussi $BH>BE$ (hypoténuse). Donc: $BH>18 \times EH$.

On peut se demander pourquoi Aristarque minore 2 par $49/25$. Ceci car il compte extraire une racine carrée et celle du nombre 2 est connue pour être irrationnelle, or comme le veut la tradition pythagoricienne: "Tout chose est nombre" au sens des entiers, on cherche donc des proportions et des comparaisons faisant intervenir des entiers. Les rationnels trouvent plus facilement leur place et sont cités puisque représentant des rapports entre entiers. Et aussi pourquoi passe-t-il de $12/5$ à $36/15$? Là il s'agit d'une simplification en amont pour avoir un numérateur et dénominateur identique à l'étape 5. et s'économiser un calcul. Rien de plus.

Conclusion sur le minorant

Mais à cause de la similitude des triangles, comme $BH$ est à $EH$, ainsi $AB$ est à $BC$. $AB$ est donc aussi plus de 18 fois plus grande que $BC$. Or $AB$ est la distance du Soleil à la Terre, et $BC$ est celle de la Lune à la Terre: donc la distance du Soleil à la Terre est plus de 18 fois plus grande que celle de  la Lune à la Terre.

Le traducteur utilise le terme de similitude car il s'agit d'une transformation du plan qui conserve les proportions telle qu'une homothétie, une rotation, une symétrie. Ainsi il est affirmé au final ce que nous présentions en début d'exposé: les triangles $ABC$ et $EBH$ sont semblables. On en conclut en utilisant la formule: \[ \frac{BH}{EH}=\frac{AB}{BC} \] Et l'auteur rappelle les noms de ces points ainsi que le résultat: $AB > 18\times BC$.

[A suivre]

Majoration.

Hypothèses 5 et 6. Calcul des rapports entre les rayons.

Comparaison avec les valeurs contemporaines. Commentaires. Propagation de l'erreur.

Utilisation du sinus. Commentaires sur les tables de cordes de Hipparque.

Soumis par TekMath le