Angles et distances (A8)

Solution

Question A8 - Etude détaillée de l'angle $\alpha$ .

(a) Produit scalaire

Rappelons le calcul du produit scalaire pour deux vecteurs $\vec{u}$ de coordonnées $(x\, ; y)$ et $\vec{w}$ de coordonnées $(x'\, ; y')$ : \[ \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle = xx'+yy' \] L'expression de ce produit scalaire montre que l'opération est symétrique: \[ \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle = \langle \vec{w} \, | \vec{u} \rangle \] Ainsi les vecteurs peuvent être permutés cela ne change rien au résultat. De plus l'opération est homogène: \[ \langle \lambda\vec{u} \, | \vec{w} \rangle = \lambda \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle \] Cela suivant la première comme la seconde variable, la preuve est immédiate. Enfin, l'opération est linéaire suivant la première variable: \[ \langle (\vec{u}+\vec{v}) \, | \vec{w} \rangle = \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle + \langle \vec{v} \, | \vec{w} \rangle \] Par symétrie, l'opération est aussi linéaire suivant la seconde variable. Ainsi nous pouvons écrire en utilisant l'argument de symétrie: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = \left\langle \overrightarrow{AM_0} \, | \overrightarrow{AM_n} \right\rangle \] Puis avec $\overrightarrow{AM_0}=\overrightarrow{M_0A}$ et $\overrightarrow{AM_n}=\overrightarrow{AM_0} + n \overrightarrow{M_0M_1}$ on trouve: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0A} \right\rangle - n \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle \] Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même vaut le carré de sa norme. On simplifie en reliant les deux produits scalaires demandés en écrivant: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = M_0A^2 - n \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle \] On peut voir ce produit scalaire comme une fonction de $n$ décroissante, dont le maximum est atteint en $(n=0)$ . On représente ci-dessous le configuration pour $(n=6)$ :

(b) Suite de cosinus

En utilisant la définition de l'angle $\alpha_n$ nous pouvons aussi exprimer le produit scalaire ainsi: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = AM_n \times AM_0 \times \cos \alpha_n \] Connaissant les valeurs de ces longueurs et la valeur du produit scalaire, on trouve: \[ \cos \alpha_n = \frac{1}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} \, (-17n+159) \] valable pour tout entier relatif $n$ . Une calculatrice permet d'afficher la courbe $(x \mapsto cos \alpha_x)$:

(c) Suite $r$

Il s'agit de trouver un entier $r_n$ permettant d'encadrer l'angle $\alpha_n$ entre deux secteurs multiples de l'angle de référence $\pi/192$ . Nous avons illustré ce problème pour les questions A6 et A7. La difficulté est qu'ici l'angle $\alpha_n$ évolue d'une manière difficile à cerner. Cela revient à résoudre pour tout entier $r$ compris entre 0 et 192 à priori, les inéquations : \[ \cos \frac{\pi r}{192} \geq \cos \alpha_n \] en la variable $n$ . On peut y aboutir en utilisant une machine que l'on programme.

Observons les premiers termes de la suite $\alpha$ : \[ \cos \alpha_0 = 1 \Rightarrow \alpha_0 = 0 \] C'est le cas lorsque $M_n$ vaut $M_0$ , le triangle $AM_0M_n$ étudié est plat. L'entier $r_0$ peut valoir 0 ou -1 au choix. Puis: \[ \cos \alpha_1 = \frac{71}{\sqrt{53}\sqrt{97}} \] Ce qui donne un cosinus proche de $0.990227$ à $10^{-6}$ près. Avec la fonction arc-cosinus, nous trouvons que $\alpha_1$ vaut $0.1399$ radians environ et donc son rapport avec l'angle $\pi/192$ donne $8.55$ . Ce qui signifie qu'on peut poser $r_1=8$ . L'opération est toujours la même, on cherche une valeur approchée du cosinus de $\alpha_n$ , puis on en déduit une valeur de l'angle, que l'on divise par $\pi/192$ . Le résultat est un nombre décimal dont la partie entière donne le nombre entier $r_n$ recherché. Nous trouvons:  \[ \cos \alpha_2 = \frac{25}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \] Ce qui donne $r_2=18$ . Commençons par dresser un tableau des premières valeurs de la suite $r$ . La formule fait intervenir l'arc-cosinus noté acos: \[ r_n = \textrm{E} \left[ \frac{192}{\pi} \times \textrm{acos} \left( \frac{-17n+159}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} \right) \right] \] où E est la fonction partie entière. D'où: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline \\ r_n & 30 & 44 & 57 & 68 & 78 & 87 & 93 & 99 & 103 & 107 & 110 & 112 & 114 \\ \hline \end{array} \] Les premières valeurs sont plus éloignées que par la suite. Puis il y a un écart entre $r_n$ et son successeur qui se réduit, et nous le voyons en calculant les autres valeurs jusqu'à $r_25$ qui vaut $r_24$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\ \hline \\ r_n & 116 & 118 & 119 & 120 & 121 & 122 & 123 & 124 & 125 & 125 & 126 & 126 & 127\\ \hline \end{array} \] Les valeurs continuent de se tasser, 129 est la première valeur admise par trois termes de la suite $r$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 \\ \hline \\ r_n & 127 & 128 & 128 & 129 & 129 & 129 & 130 \\ \hline \end{array} \] Puis 35 est le premier indice pour lequel la suite $r$ atteint la valeur 130. A présent, au lieu de chercher la valeur $r_n$ pour chaque indice, nous nous limitons à indiquer à partir de quel indice la suite prend une certaine valeur: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ r_n & 130 & 131 & 132 & 133 & 134 & 135 & 136 & 137 & 138 & 139 & 140 \\ \hline \\ n & 35 & 39 & 44 & 51 & 60 & 74 & 97 & 142 & 272 & 5086 &  \\ \hline \end{array} \] On montre qu'à partir de 139 la suite $r$ est stationnaire. Ce que nous expliquons après.

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Il reste à étudier $r$ pour les indices négatifs. Nous laissons de côté pour l'instant cette partie de l'étude.

(d) Limites

Commençons par $\alpha_n$ . En développant son expression, pour séparer les termes suivant leur comportement en l'infini: \[ \cos \alpha_n = - \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{\displaystyle 13-\frac{102}{n}+\frac{477}{n^2}}} + \frac{159}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} \] Dans le membre de droite, le terme de droite tend vers 0 si $n$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ Le membre de gauche tend vers : \[ - \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \] lorsque $n$ tend vers $+\infty$ . Ce qui correspond à l'opposé du cosinus de $\gamma_0$ . Ainsi : \[ \lim_{+\infty} \cos \alpha_n = -\cos \gamma_0 \] Pour calculer la limite en $-\infty$ on doit remarquer que le développement n'est pas valable pour $n$ négatif, car nous avons fait entrer $n$ dans la racine carrée. Mais plutôt: \[ \forall n <0 \quad \cos \alpha_n =  \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{\displaystyle 13-\frac{102}{n}+\frac{477}{n^2}}} + \ldots \] D'où une limite opposée, et plus précisément égale à celle de $\gamma_0$ : \[ \lim_{-\infty} \cos \alpha_n = \cos \gamma_0 \] Pour aboutir aux limites de $r$ en ses bornes, nous devons passer par celles de l'angle $\alpha$ . En $+\infty$ le cosinus de $\alpha_n$ tend vers l'opposé de celui de $\gamma_0$ . Puisque ces angles sont plus petits que $\pi$ et d'après une formule de trigonométrie liant un angle et son supplémentaire, on a: \[ \lim_{+\infty} \alpha_n = \pi - \gamma_0 \] On note cette limite $\alpha_+$ . Avec l'encadrement trouvé à la question A6, en remarquant qu'il s'agit d'inégalités strictes, nous en concluons: \[ \pi - 52 \times \frac{\pi}{192} > \alpha_+ > \pi - 53 \times \frac{\pi}{192} \] Soit le résultat: \[ 140 \times \frac{\pi}{192} > \alpha_+ > 139 \times \frac{\pi}{192} \] Or à partir de $(n=5086)$ nous avons vu que l'angle $\alpha_n$ vérifie cette inégalité. Ainsi $r$ est stationnaire à partir de ce rang, ce qui indique qu'elle admet la valeur 139 comme limite en $+\infty$ .

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En $-\infty$ la suite des cosinus tend vers celui de $\gamma_0$ . Etant donné le sens des angles, nous en déduisons la limite notée $\alpha_-$ : \[ \lim_{-\infty} \alpha_n = 2\pi - \gamma_0 \] Puis celle de $r$ s'en déduit en encadrant: \[ 2\pi - 52 \frac{\pi}{192} > \alpha_- > 2\pi - 53 \frac{\pi}{192} \] La suite $r$ décroît lorsque $n$ décroît vers $-\infty$ . Elle dépasse la valeur 332 sans jamais passer sous 331. D'où: \[ \lim_{-\infty} r_n = 332 \] Elle est aussi stationnaire, propriété que l'on montrera plus tard dans cet article.

(e) Convergence de $\alpha$

Nous avons prouvé la convergence de $\alpha$ dans la question précédente. Nous donnons les valeurs approchées des limites: \[ \alpha_+ \approx 2.27529 \, \textrm{rad} \quad (130°21'52'') \] Le résultat en minutes et secondes d'arc se fait suivant une procédure classique. On récupère la partie décimale en degrés, qu'on multiplie par 60, la partie entière du résultat donne les minutes, le reste décimal est multiplié par 60, la partie entière du nouveau résultat donne les secondes d'arc. De même: \[ \alpha_- = \pi + \alpha_+ \]

Quant aux cosinus, leurs valeurs approchées sont les suivantes: \[ \cos \alpha_+ = -0.648 \qquad \cos \alpha_- = - \cos \alpha_+ \] Ci-dessous, une partie de la courbe $(x \mapsto \cos \alpha_x)$ sur l'intervalle $[0\, ; 40]$ . On a volontairement réduit les dimensions en abscisses, ainsi 1 unité en ordonnée correspond à 4 en abscisse. On repère le maximum en $(x=0)$ ce qui correspond à un angle nul puisque $M_x$ se confond avec $M_0$ . Puis, nous pouvons ajouter l'observation d'un point pour lequel le cosinus s'annule, c'est la caractéristique d'un angle droit qui se produit lorsque $x$ vaut 159/17, soit environ 9.35. Le point est situé sur le segment $[M_9\,  M_{10}]$ . La courbe est strictement décroissante et tend vers le cosinus de l'angle limite $\alpha_+$ .

Nous donnons l'aspect de la courbe en tenant compte des angles $\alpha_n$ pour $n$ négatif. Le maximum reste en $M_0$ , seul point où le cosinus vaut 1. La fonction tend vers le cosinus de l'autre angle limite $\alpha_-$ quand $x$ tend vers $-\infty$ . Pour une meilleure observation, l'abscisse est multipliée par un facteur 0.2 et l'ordonnée par 3.

Fin de la question A8