Solution

Question 1 - Premiers termes

La suite $b$ est celle qui donne pour $b_n$ la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls. La somme commence à partir de $(k=0)$ mais il n'est pas utile, on peut écrire le sigma à partir de $(k=1)$ . Ainsi on a les premiers termes: \[ \begin{align*} b_0 & = 0 \\ b_1 & = 0 +1 \\ b_2 & = 0 + 1 + 2 \\ b_3 & = 0 + 1 + 2 + 3 \\ b_4 & = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 \end{align*} \] La formule a été vue en cours : \[ \forall n \in \mathbb{N} \qquad b_n = \frac{n(n+1)}{2} \] On donne une figure pour les points d'indice 0 à 4. Puis une autre jusqu'à 7 pour plus de lisibilité : 

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Question 2 - Calcul des aires

Le carré $\mathcal{C}_n$ a pour côté deux points successifs de la suite $B$ . La longueur se déduit directement de la définition de $b$ : \[ B_nB_{n+1} = b_{n+1} - b_n = n+1 \] L'aire $c_n$ en est le carré : \[ c_n = (n+1)^2 \] Le rectangle a pour longueur $OB_n$ qui vaut $b_n$ et on a vu sa valeur dans la question 1. La largeur est $B_nD_n$ et elle vaut l'entier $n$ . D'où : \[ r_n = \frac{n^2(n+1)}{2} \] Les premières valeurs sont données dans le tableau ci-dessous: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \\ c_n & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 & 64 \\ \hline \\ r_n & 0 & 1 & 6 & 18 & 40 & 75 & 126 & 196 \\ \hline \end{array} \]

Question 3 - Comparaison entre deux rectangles.

Le mieux est d'effectuer un dessin. Le grand rectangle $\mathcal{R}_{n+1}$ est constitué du rectangle $\mathcal{R}_n$ auquel on ajoute à droite le carré $\mathcal{C}_n$ et un rectangle au dessus :

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L'aire de $\mathcal{R}_n$ et celle de $\mathcal{C}_n$ sont connues. Le petit rectangle supérieur a pour longueur $A_nD_n$ c'est-à-dire $b_n$ et sa largeur vaut $A_nA_{n+1}$ , c'est-à-dire 1. D'où le résultat : \[ r_{n+1} = r_n + c_n + b_n \] On peut l'écrire en rassemblant les termes de la suite $r$ et expliciter $b_n$ : \[ r_{n+1} - r_n = c_n + \frac{n(n+1)}{2} \]

Question 4 - Somme des carrés des premiers entiers.

Collision de termes.

On part du membre de gauche qui est la somme des carrés des $n$ premiers entiers non nuls. On peut partir de $(k=1)$ au lieu de $(k=0)$ qui est inutile. Chaque $k^2$ s'écrit $c_{k-1}$ et d'après la question 3 : \[ c_{k-1} = r_k-r_{k-1} - b_k \] Il est important de comprendre les indices. Ici $k$ est un indice muet, les relations sont valables pour tout entier $k$ plus grand que 1. A partir de maintenant on somme les termes d'indices $k$ variant de 1 à $n$ : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = \sum_{k=1}^n c_{k-1} \] et on utilise la relation précédente : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = \sum_{k=1}^n ( r_k-r_{k-1} - b_k ) \] Si l'on développe cette dernière somme pour mieux comprendre son mécanisme, on remarque la chose suivante : \[  \sum_{k=1}^n ( r_k-r_{k-1} - b_k ) = (r_1-r_0-b_1) \, + \, (r_2-r_1-b_2) \,  + \, (r_3-r_2-b_3) \, + \ldots + \, (r_n-r_{n-1}-b_n) \] En rassemblant les termes différemment, on constate que les $r_k$ s'éliminent entre eux. Au final il reste seulement $r_n$ et la somme des termes $b_1$ à $b_n$ . Le résultat partiel est alors : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = r_n - \sum_{k=1}^n b_k \]

Manipulation d'une expression avec $\Sigma$

La somme dans le membre de droite est avec la formule donnant $b_k$ : \[ \sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} \] On écrit le terme général à l'intérieur de la somme de la façon suivante : \[ \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2} k^2 + \frac{1}{2} k \] Il suffit de se rappeler que le symbole $\Sigma$ désigne une somme et l'associativité de l'opération $+$ permet de "casser" en deux : \[ \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} =  \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k^2 \, + \,  \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k \] Le membre de droite est une somme dont le premier terme est la moitié de ce que l'on cherche (la somme des carrés des premiers entiers) et le terme de droite est la moitié de $b_n$ .

Reprise du calcul

Cette manipulation nous a permis d'écrire : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = r_n -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k^2 - \frac{1}{2} b_n \] D'où en réunissant les deux $\Sigma$ : \[ \frac{3}{2} \sum_{k=1}^n k^2 = r_n - \frac{1}{2} b_n \] On développe le membre de droite en fonction de $n$ avec les questions 1 et 2 : \[  r_n - \frac{1}{2} b_n = \frac{n^2(n+1)}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} \] Il reste à diviser par 2/3 pour voir apparaître le résultat.

Question 5 - Limite d'un rapport d'aire.

Interprétation

Le nombre $r_n$ est l'aire du rectangle $A_0B_nD_nA_n$ et le $\Sigma$ représente la somme des aires des carrés de $\mathcal{C}_1$ à $\mathcal{C}_n$ . On constate que la famille des carrés est contenue dans le seul rectangle $\mathcal{R}_{n+1}$ . Le rapport étudie donc à quelle vitesse évolue l'aire du rectangle face à celle de la famille des carrés. Calculons déjà ce rapport pour un entier $n$ donné.

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Calcul

La somme des $c_k$ est celle calculée à la question 4, mais il faut prendre garde qu'ici on la calcule jusqu'à $(n+1)$ puisque $c_k=(k+1)^2$ : \[ \sum_{k=0}^n c_k = \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \] on calcule donc le carré des $(n+1)$ premiers carrés non nuls, et il suffit de décaler l'indice $k$ d'un cran vers le haut : \[ \sum_{k=1}^{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{2} \] L'inverse de $r_n$ se déduit de la question 2 : \[ \frac{1}{r_n} = \frac{2}{n^2(n+1)} \] En développant, on trouve que le rapport vaut : \[ \frac{2n^2+7n+6}{3n^2} \]

Limite du rapport

La limite est visible puisque la fraction vaut : \[ \frac{2}{3} + \frac{7}{3n} + \frac{2}{n^2} \] En faisant tendre $n$ vers l'infini on trouve 2/3. Ce qui veut dire que plus $n$ est grand et plus la somme des carrés correspond à deux tiers du rectangle $\mathcal{R}_n$ .

Question 6 - Somme des cubes des premiers entiers.

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Le carré $\mathcal{C}'_n$ a pour aire $b_n^2$ . On utilise cette formule pour calculer la différence entre deux termes de la suite $c'$ : \[ \begin{align*} c'_{n+1}-c'_n & = b_{n+1}^2-b_n^2 \\ & = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} - \frac{n^2(n+1)^2}{4} \\ & = (n+1)^2 \times \frac{ (n+2)^2-n^2 }{4} \\ & = (n+1)^3 \end{align*} \] La différence entre les deux aires est le cube de $(n+1)$ . On peut donc écrire que pour tout entier $k$ non nul : \[ k^3 = c'_k - c'_{k-1} \] En effectuant la somme pour $k$ variant de 1 à $n$ les termes $c'$ s'éliminent. Il reste : \[ \sum_{k=1}^n k^3 = c'_n - c'_0 \] Et $c'_0$ est nul. Le membre de droite de l'égalité à démontrer n'est rien d'autre que le carré de $b_n$ . Or nous avons bien vu que l'aire du carré $\mathcal{C}'_n$ que l'on a noté $c'_n$ vaut $b_n^2$ . Ceci termine la question et la partie A.

Solution

Question 1 - Famille de disques emboîtés.

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Notons $D_n$ le nom du disque de diamètre $A_0A_n$ , ce dernier vaut $n$ ce qui donne pour l'aire du disque : \[ a_n = \pi \frac{n^2}{4} \] La différence entre termes successifs est alors après simplification la suite des multiples impairs de $\pi /4$ : \[ a'_n = \frac{\pi}{4} (2n+1) \] Le nombre $a'_n$ est l'aire du disque $D_{n+1}$ auquel on a retiré celle de $D_n$ , et ce disque est inclus entièrement dans le plus grand. Ce qui signifie que la somme en question n'est rien d'autre que l'aire du plus grand des disques $D_{n+1}$ . Cela se retrouve en posant l'expression : \[ \sum_{k=0}^n a'_n = (a_1-a_0) + (a_2-a_1) + \ldots + (a_{n+1}-a_n) \] Les termes s'éliminent jusqu'à ne laisser que $(a_{n+1}-a_0)$ d'où : \[ \sum_{k=0}^n a'_n = a_{n+1} \] On donne ci-après les valeurs de $a_n$ pour les indices de 0 à 7 : \[ \{ 0\, ; \pi/4\, ; \pi\, ; 9\pi/4\, ; 4\pi\, ; 25\pi/4\, ; 9\pi\, ; 49\pi/4 \} \] Et les valeurs $a'_n$ qui progressent moins vite : \[ \{ 0\, ; 3\pi/4\, ; 5\pi/4\, ; 7\pi/4\, ; 9\pi/4\, ; 11\pi/4\, ; 13\pi/4\, ; 15\pi/4 \} \] La différence $(a_{n+1}-a_n)$ est strictement positive, et ce quelque soit l'entier $n$ , on en déduit que la suite $a$ est strictement croissante. De plus son expression montre que sa limite est $+\infty$ . On a trouvé que $a'$ est la suite des multiples impairs de $\pi/4$ . Donc elle est aussi strictement croissante et tend vers $+\infty$ . Enfin le premier rapport : \[ \frac{a_n}{a'_n} = \frac{n^2}{2n+1} = \frac{n}{2+\displaystyle \frac{1}{n}} \] tend vers $+\infty$ . En effet le numérateur tend vers cette limite et le dénominateur vers 2. Pour l'autre rapport on trouve : \[ \frac{a'_n}{a_n} = \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \] Chacune des fractions tend vers 0, de même pour leur somme. Ceci signifie que l'aire $a$ tend vers l'infini plus vite que l'aire $a'$ . Mais pas seulement car elle pourrait finir par valoir le double, ici il s'agit d'une différence telle qu'à partir d'un certain rang l'aire $a'_n$ est négligeable devant $a_n$ .

Question 2 (a) - Les points $A_n$ sont situés sur une autre droite.

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Le disque $D_n$ a toujours le même diamètre. Son aire vaut toujours $\pi n^2/4$ . On veut connaître l'aire de la partie du disque $D_n$ située au dessus de l'axe des abscisses. Pour cela on trace le carré inscrit dans $D_n$ dont $[OA]$ est un côté. La droite $(y=-x)$ donne un diamètre au disque, la symétrie du problème est telle que le carré dessiné sépare 4 régions d'aires égales dans $D_n$ . Or ce carré est de diagonale $n$ , donc de côté $n/\sqrt{2}$ et son aire s'en déduit : $n^2/2$ . L'aire $a_n$ est le quart de la différence entre l'aire de $D_n$ et celle du carré : \[ a_n = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi n^2}{4} - \frac{n^2}{2} \right) = \frac{\pi-2}{16} n^2 \] Pour $a'$ rien ne change, c'est la suite des multiples impairs mais pour un autre nombre : \[ a'_n = \frac{\pi-2}{16} (2n+1) \] La somme $\Sigma a'_n$ reste inchangée, elle vaut toujours $a_{n+1}$ . Les suites ont le même comportement qu'à la question 1.

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Question 2 (b) - La droite possède un coefficient directeur inconnu.

On considère le disque $D_n$ et on nomme son centre $C$ et $A$ sera l'intersection entre l'axe des abscisses et le cercle. On introduit l'angle $\alpha$ formé par $A, C, O$ et l'angle $\beta$ d'après le dessin. L'objectif est de calculer l'aire de $D_n$ situé au dessus de l'axe. Pour cela on forme la différence entre l'aire du secteur de disque $OCA$ et l'aire du triangle $OCA$ .

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Aire du secteur

On utilise une relation de proportionnalité : l'aire du secteur vaut celle du disque multipliée par le rapport $(\alpha/2\pi)$ . Il reste à trouver $\alpha$ . Or le triangle $OCA$ est isocèle en $A$ donc on a la relation d'angle : \[ \alpha + 2 \beta = \pi \] Il reste à trouver $\beta$ et pour se faire on considère la droite $d_m$ dont le coefficient directeur est $-m$ . Cela signifie que $\beta$ est l'angle d'un triangle rectangle de côté adjacent égal à 1 en horizontale, d'un côté opposé égal à $m$ en verticale. Sa tangente vaut $m$ et donc $\beta$ vaut $ \arctan (m) $ que l'on conserve tel quel. Le résultat est donc : \[ \frac{\alpha}{2\pi} \times \frac{\pi n^2}{4} = \left( \frac{\pi}{2} - \arctan (m) \right) \frac{n^2}{4} \]

Aire du triangle

Il est possible ici de connaître la valeur de l'aire du triangle. Pour cela on part de la formule \[ \frac{1}{2} B \times H \] avec la base et la hauteur à calculer. La base vaut $OA$ et la hauteur s'en déduit avec le théorème de Pythagore : \[ H = \sqrt{ OC^2 - \left( \frac{1}{2} OA \right) ^2 } \] Donc tout le calcul repose sur la connaissance de la longueur $OA$ . Il nous faut les coordonnées du point $A$ . Il a déjà pour ordonnée 0 puisqu'il fait partie de l'axe des abscisses. De plus il appartient au cercle de centre $C$ et de rayon $n/2$ . L'équation d'un cercle est : \[ (x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2 \] où $x_C$ et $y_C$ sont les coordonnées du centre et $r$ le rayon. En appliquant cela à notre situation on trouve que l'abscisse $x_A$ vérifie : \[ (x_A-x_C)^2 = r^2 - y_C^2 \] car $y_A$ est nulle. Le rayon vaut $n/2$ et il reste à trouver les coordonnées de $C$ . Elles vérifient l'équation de la droite $d_m$ : \[ y_C = m x_C \] On sait aussi que $OC$ vaut $n/2$ car c'est le rayon, donc : \[ \sqrt{x_C^2+y_C^2} =\frac{n}{2} \] On trouve à l'aide de ces deux équations : \[ x_C = \frac{n}{2\sqrt{1+m^2}} \quad y_C = \frac{nm}{2\sqrt{1+m^2}} \] Ce qui permet de trouver $x_A$ , après extraction des racines carrées : \[ x_A = x_C \pm \sqrt{r^2-y_C^2} \] puis en substituant les valeurs trouvées : \[ x_A =  \frac{n}{2\sqrt{1+m^2}} \pm \sqrt{ \frac{n^2}{4} - \frac{nm}{2\sqrt{1+m^2}} } \] qui donne après simplification deux solutions. L'une étant 0 car le point $O$ vérifie les mêmes équations et l'autre est la valeur cherchée : \[ x_A = \frac{n}{\sqrt{1+m^2}} \] L'abscisse $x_A$ correspond à la longueur $OA$ , la base du triangle $OAC$ . L'aire du triangle est alors, en reprenant la formule pour $H$ : \[ \frac{1}{2} \times B \times H = \frac{1}{2} \times \frac{n}{\sqrt{1+m^2}} \times \sqrt{ \frac{n^2}{4} - \frac{1}{4} \times \frac{n^2}{1+m^2} } \] On trouve : \[ \frac{n^2 m}{4(1+m^2)} \]

Résultat

On trouve alors par soustraction : \[ a_n = \frac{n^2}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan (m) - \frac{m}{m^2+1} \right) \] Le nombre à l'intérieur de la parenthèse est fixe, il ne dépend que du coefficient $m$ . La suite $a$ est de même nature que celles vues avant, elle est proportionnelle au carré de l'entier $n$ . De même pour $a'$ . On garde les mêmes résultats sur les variations et rapports.

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Question 2 (c) - Disque coupé par deux droites.

Calculer dans un repère plus adapté.

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On considère $\vec{u}$ le vecteur directeur de $d_m$ et $\vec{v}$ celui de $d_r$ . On construit $\vec{w}$ tel qu'il forme avec $\vec{u}$ un repère orthogonal. Les coordonnées sont les suivantes : \[ \vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ -m \end{pmatrix} \quad  \vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ -r \end{pmatrix} \quad  \vec{w} \begin{pmatrix} 1 \\ 1/m \end{pmatrix} \] On sait exprimer $\vec{u}$ et $\vec{w}$ en fonction de $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ . En inversant le système : \[ \begin{cases} \vec{u} = \vec{\imath} - m \vec{\jmath} \\ \\ \vec{w} = \vec{\imath} + \frac{1}{m} \vec{\jmath} \end{cases} \] on trouve : \[ \begin{cases} \vec{\imath} = \frac{1}{1+m^2} (\vec{u}+m^2 \vec{w}) \\ \\ \vec{\jmath} = \frac{m}{1+m^2} (\vec{w}-\vec{u}) \end{cases} \] On calcule le vecteur $\vec{v}$ dans la nouvelle base sachant qu'on avait : \[ \vec{v} = \vec{\imath} - r \vec{\jmath} \] En remplaçant les vecteurs de l'ancienne base par leur expression suivant la nouvelle : \[ \vec{v} = \frac{1+mr}{1+m^2} \vec{u} + \frac{m^2-mr}{1+m^2} \vec{w} \] Il faut prendre garde, car les nouveaux vecteurs ne sont pas de norme 1, le calcul donne : \[ u = \sqrt{1+m^2} \quad w = \frac{\sqrt{1+m^2}}{m} \] On introduit $\tilde{u}$ et $\tilde{w}$ qui sont les vecteurs unitaires de la nouvelle base. Le résultat est alors : \[ \vec{v} = \frac{1+mr}{\sqrt{1+m^2}} \tilde{u} + \frac{m-r}{\sqrt{1+m^2}} \tilde{w} \] La droite $d_r$ est toujours linéaire dans le nouveau repère, mais son coefficient directeur change. Un produit en croix donne : \[ \frac{m-r}{1+mr} \]

Méthode

La démarche consiste à se placer dans ce nouveau repère, en faisant un dessin on comprend qu'on peut conserver le repère de départ et étudier la droite $d_s$ . On calcule alors l'aire du disque comprise entre $d_s$ et l'axe des abscisses. Une fois le résultat obtenu on substitue à $s$ la valeur $-(m-r)/(1+mr)$ . L'aire recherchée est constituée d'un triangle et d'un secteur de disque. On nomme $C$ le centre du disque $D_n$ et $R$ l'intersection entre le cercle et la droite $d_s$ . Avec les coordonnées de $R$ on pourra calculer la base $OR$ et la hauteur de la même façon que dans la question 2(b) . Quant au secteur il faudra à nouveau se contenter d'un arc tangente.

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Calcul des coordonnées de $R$ . Aire du triangle.

$R$ appartient à la droite $d_s$ : \[ y_R = -s x_R \] $R$ appartient au cercle de centre $C(n/2\, ; 0)$ et de rayon $n/2$ : \[ \left( x_R-\frac{n}{2} \right) ^2 + y_R^2 = \frac{n^2}{4} \] Ce qui donne : \[ x_R = \frac{n}{1+s^2} \quad y_R = -\frac{ns}{1+s^2} \] On en déduit la base : \[ OR = \sqrt{ x_R^2+y_R^2} = \frac{n}{\sqrt{1+s^2}} \] Puis la hauteur en se servant du rayon comme hypoténuse et de la moitié de la base comme côté : \[ \sqrt{ \frac{n^2}{4} - \frac{n^2}{4(1+s^2)} } = \frac {ns}{2\sqrt{1+s^2}} \] D'où l'aire du triangle $OCR$ : \[ \frac{n^2s}{4(1+s^2)} \] 

Aire du secteur.

On note $\alpha$ l'angle du secteur. Le théorème de l'angle au centre indique qu'il vaut le double de $\beta$ l'angle à partir de $O$ . Et ce dernier est formé par la droite de coefficient $-s$ , donc sa tangente vaut $s$. On trouve comme aire : \[ \frac{n^2}{4} \arctan (s) \]

Résultat

Tout d'abord en fonction de $s$ le coefficient $a_n$ s'écrit : \[ a_n = \frac{n^2}{4} \left( \frac{s}{1+s^2} + \arctan (s) \right) \]  Il faut ensuite remplacer $s$ par $(r-m)/(1+mr)$ mais ici on n'aura pas plus de simplification. A noter la formule : \[ \arctan (r) - \arctan (m) = \arctan \left( \frac{r-m}{1+mr} \right) \]