Exercice 5.5 - Dérivées successives d'un polynôme

Solution

Question 1 - Polynôme du second degré.

Pour $(n=0)$ la fonction $h$ est constante. Pour $(n=1)$ c'est une fonction affine et pour $(n=2)$ c'est une fonction du second degré, représentée par une parabole. La dérivée est nulle lorsque $n$ vaut 0, puis constante égale au coefficient $a_1$ si $n$ vaut 1 et enfin, lorsque $(n=2)$ : \[ h'(x) = 2a_2x+a_1 \]

Question 2 - Polynôme du troisième degré.

On dérive terme à terme: \[ h'(x) = 3a_3x^2+2a_2x+a_1 \] Si l'on représente les coefficients de $h$ et $h'$ sous la forme d'un tableau, on constate un décalage de ceux de $h$ vers la droite après multiplication par le degré auquel ils étaient liés: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline h & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \\ h' & 0 & 3a_3 & 2a_2 & a_1 \\ \hline \end{array} \] On peut aussi affirmer que la dérivée d'un polynôme est aussi un polynôme, de degré moindre d'une unité.

Question 3 - Dérivées successives de la fonction cubique.

La fonction $h'$ est aussi un polynôme, donc elle est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ et sa dérivée s'exprime ainsi: \[ h''(x) = 6a_3x+2a_2 \] C'est une fonction affine. Le même argument permet d'affirmer l'existence d'une dérivée tierce, notée $h^{(3)}$ pour éviter la répétition des primes: \[ h^{(3)} (x) = 6a_3 \] C'est une fonction constante. Et par la suite, les dérivées successives sont nulles.

Question 4 - Calcul des dérivées successives pour le cas $(n>3)$.

On généralise l'étude précédente. Soit $h$ tel que défini dans l'énoncé de degré $(n>3)$ . Les coefficients sont notés $\{ a_n \ldots a_0 \} $ où $a_p$ est lié au degré $p$ . Alors $h'$ est un polynôme de degré $(n-1)$ et dont le coefficient de degré $p$ vaut $(p+1)a_{p+1}$ : \[ h'(x) = na_n \, x^{n-1} + \ldots + 2a_2 \, x + a_1 \] On recommence l'opération pour obtenir la dérivée seconde: \[ h''(x) = n (n-1) a_n \, x^{n-2} + \ldots + 6a_3 \, x + 2a_2 \] Et encore une fois pour la dérivée troisième: \[ h^{(3)} (x) = n(n-1)(n-2) a_n \, x^{n-3} + \ldots + 6a_3 \]

Question 5 - Calcul sur un exemple de degré 5.

Le développement donne: \[ \begin{align*} (x-1)^3(x+2)^2 & = (x^3-3x^2+3x-1)(x^2+4x+4) \\ & = x^5 + x^4 - 8x^3 +8x-4 \end{align*} \] Puis en dérivant terme à terme: \[ \begin{equation*} h'(x) = 5x^4+4x^3-24x^2+8 \\ h''(x) = 20x^3+12x^2-48x \\ h^{(3)} (x) = 12\, (5x^2+2x-4) \end{equation*} \] Le fait de développer permet d'utiliser la technique la plus simple, consistant à dériver terme à terme de manièrez indépendante. En conservant l'expression factorisée, la dérivation se fait par la formule plus lourde du produit: \[ h'(x) = 3(x-1)^2(x+2)^2+2(x-1)^3(x+2) = 5\, (x-1)^2(x+2) \left(x-\frac{4}{5} \right) \] Pour dériver $h'$ il vaut mieux n'avoir que deux facteurs. Ecrivons: \[ h'(x) = (x-1)^2(5x^2+6x-8) \] La dérivée donne: \[ h''(x) = 2(x-1)(5x^2+6x-8)+(x-1)^2(10x+6) \] que l'on conserve telle quelle, puis: \[ h^{(3)} (x) = 2(x+2)(5x-4)+8(x-1)(5x+3)+10(x-1)^2 \] Un développement de ces expressions permet de retrouver les résultats précédents.

Question 6 - La suite des dérivées successives.

Plutôt que de considérer $p$ quelconque, regardons pour $(p=4)$ le résultat: \[ h^{(4)} (x) = 12\, (10x+2) \] Puis: \[ h^{(5)} (x) = 24 \] Enfin, on peut conclure: \[ \forall p >5 \quad h^{(p)} = 0 \]

Question 7 - Comportement de la suite pour une fonction polynomiale.

Si $h$ est de degré $n$ , chaque dérivation retire exactement un degré. Nous disons exactement car le plus grand coefficient $a_n$ est supposé non nul, donc chaque dérivée est exactement d'un degré moindre que sa fonction associée. Ainsi $h^{(p)}$ est de degré $(n-p)$ pour tout entier $p$ plus petit que $n$ et nul au delà.

Pour la fonction $h^({n})$ qui est la dérivée n-ième le degré est 0 et constant non nul égal à : \[ n(n-1)(n-2) \ldots 3 \times 2 \times 1 \; a_n \] qu'on note : \[ (n!) \times a_n \] où l'élément $(n!)$ est appelé factorielle de $n$ , c'est le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n. Cette fonction est la dernière a être non nulle dans la famille des dérivées successives de $h$ . Viennent ensuite les dérivées d'ordre supérieures toutes nulles.

Le nombre $h^{(p)}$ est nul si $(p<n)$ . On est sûr qu'il est non nul si $(p=n)$ et vaut $(n!)a_n$ . Pour le reste, le cas général ne permet pas de conclure mais nous pouvons donner la formule générale en remplaçant toutes les puissances de $x$ par 1: \[ \begin{align*} h^{(p)} (1) = & n(n-1)\ldots(n-p+1) \; a_n \\ & + (n-1)\ldots(n-p) \; a_{n-1} \\ & + \ldots \\ & + (p!) \; a_p \end{align*} \] On remarquera que les facteurs accompagnant chaque coefficient $a_k$ sont une partie d'une factorielle. Par exemple, pour la dérivée troisième d'un polynôme de degré 5, on trouve: \[ h^{(3)} (x) = 5\times 4\times 3 \times a_5 \; x^2 + 4 \times 3 \times 2 \times a_4 \; x+ 3\times 2\times 1 \times a_3 \] Le terme $5\times 4\times 3$ peut aussi s'écrire : \[ \frac{5!}{2!} \] où le cinq correspond au degré de base dans le polynôme $h$ et 2 est la différence entre le degré et le nombre de dérivation. Plus généralement: \[ h^{(p)} (1) = \frac{n!}{(n-p)!} \, a_n + \frac{(n-1)!}{(n-1-p)!} \, a_{n-1} + \ldots + \frac{p!}{(p-p)!} \, a_p \] L'utilité du symbole sigma s'illustre ici: \[ h^{(p)} (1) = \sum_{k=p}^{n} \frac{k!}{(k-p)!} \, a_k \]