Le livre

Ce livre forme avant tout un ensemble cohérent et indépendant. Contrairement aux manuels scolaires qui nécessitent l'intervention d'un professeur, les leçons sont complètes et détaillées, elles se lisent de manière linéaire, chaque section reprenant les acquis des précédentes. Le site est complémentaire et vous permettra d'interroger l'auteur sur n'importe quel passage, et de bénéficier de la correction des exercices disséminés tout au long des leçons.

Résumé du contenu

Vous trouverez dans ce livre:

• Dix leçons englobant le programme de Première S.
• Quatre-vingt-cinq exercices de mise en pratique.
• Cinq sujets pour faire la synthèse du programme.

Nous abordons les dix chapitres de cours au programme de la Première S pour la rentrée 2012. Pour chaque leçon des exercices sont incorporés au fur et à mesure pour tester les connaissances exposées. L'objectif n'est pas d'aboutir à une série de formules mais d'expliquer comment l'on aboutit aux principaux résultats dans chaque branche étudiée. Ainsi l'accent est mis sur la démarche employée et une justification de son choix. Il s'agit aussi de bien définir les objets fondamentaux de la discipline tout au long du cours tels que les angles, les fonctions, les aires, les nombres, les probabilités etc... Régulièrement nous revenons sur ces notions qui peuvent sembler connues pour reposer la question de leur définition la plus précise à ce niveau des études.

Détails du contenu

L'Analyse occupe la moitié du contenu, l'exposé débute par les équations du second degré où le point de vue algébrique permet le calcul des racines par la méthode du discriminant. Les autres aspects du problème sont abordés en considérant les fonctions polynômes. Le second chapitre traite de deux fonctions de référence: la racine carrée et la valeur absolue, puis de l'étude générale d'une fonction que l'on transforme. Les deux chapitres suivants sont liés, les suites et la notion nouvelle qu'elles induisent, c'est-à-dire le comportement en l'infini. L'exposé principal se situe au cinquième chapitre, il s'agit de l'outil de dérivation et constitue un outil totalement nouveau à ce stade de la scolarité. On l'aborde en considérant le problème d'approximation d'une courbe au plus près d'un point. La répartition est la suivante:

1. Paraboles (16 pages)
2. Fonctions (24 pages)
3. Suites (22 pages)
4. Limite (22 pages)
5. Dérivée (30 pages)

La Géométrie est centrée sur l'utilisation du produit scalaire vu au chapitre 8. Les deux précédents servent à l'introduire, même s'ils prennent eux-mêmes une place importante dans la discipline. Le chapitre 6 revient sur le concept de vecteur pour lequel on expose les propriétés le caractérisant, ainsi que son rôle dans le mariage de la Géométrie et de l'Analyse autour du repère cartésien. Enfin, la trigonométrie est abordée pour introduire les ratios de longueur appelés sinus et cosinus, une large place est accordée à la compréhension de l'idée d'angle.

1. Vecteurs (20 pages)
2. Trigonométrie (20 pages)
3. Produit scalaire (20 pages)

Les Probabilités vues cette année marquent une rupture avec l'introduction vue en Seconde générale. L'outil devient plus abstrait pour mieux se distinguer des situations et de leur description. Comme les suites elles deviennent des fonctions à part entière. La Statistique reprend les nouveautés vues en Probabilités pour affiner la technique d'échantillonage.

1. Probabilités (38 pages)
2. Statistique (13 pages)

Cinq problèmes terminent l'exposé, ils mobilisent l'ensemble des connaissances abordées. Le corrigé sera largement détaillé sur le site et l'étudiant est invité à rédiger ses propres réponses même s'il n'aboutit pas toujours au résultat final. L'essentiel étant d'exposer des idées et de se montrer capable de suivre une démarche logique. La longueur des problèmes et la diversité des questions donne à cette section une valeur particulière par le temps qui pourra lui être consacrée. Elle fera aussi le lien entre la classe de Première et de Terminale. D'ailleurs l'ensemble du livre a été conçu pour conserver tout son intérêt au cours des études scientifiques.

1. Angles et distances (2 pages)
2. Distance point-parabole (4 pages)
3. Motifs géométriques (3 pages)
4. Aires (3 pages)
5. Trajectoire (5 pages)

Objectifs

Le livre peut être utilisé de manière autonome, chaque cours a été conçu comme un discours à l'oral. Le site est là pour fournir la correction des exercices et problèmes dans le détail. Le fait de la séparer des sujets incite davantage l'étudiant à rechercher de lui-même une réponse même partielle aux questions posées. De plus, et c'était l'objectif principal dans sa conception, un site internet nous affranchit des limites physiques en terme de pages disponibles, la correction est donc détaillée et approfondie. Enfin, l'intérêt et de permettre aux étudiants qui le souhaitent de venir échanger sur la partie "commentaires" autour des thèmes du livre. Ce sera l'occasion de s'initier au langage LaTeX qui permet une édition propre des articles scientifiques sur tous les supports matériels et numériques actuels.

1. Paraboles​

   • Cas simples
   • Forme canonique
   • Position
   • Comparaison
   • Compléments

2. Fonctions

   • Racine carrée
   • Valeur absolue
   • Fonction composée: $x \mapsto f(x+\lambda)$
   • Fonction composée: $x \mapsto f(\mu x)$
   • Fonction composée: $x \mapsto f(x)+\lambda$
   • Fonction composée: $x \mapsto \mu f(x)$
   • $\sqrt{f}$
   • $1/f$
   • $|f|$

3. Suites

   • Motivation
   • Génération
   • Monotonie
   • Progression géométrique
   • Progression arithmétique
   • Somme
   • Bornes

4. Limite

   • Notion et définition
   • Tendre vers l'infini
   • Calcul
   • Convergence
   • Cas des fonctions

5. Dérivée

   • Approximation affine
   • Définitions
   • Calcul
   • Exemples
   • Notion de vitesse
   • Sens de variation
   • Point d'inflexion
   • Etude de fonction

6. Vecteurs

   • Translation
   • Propriétés
   • Vecteur directeur
   • Base vectorielle

7. Trigonométrie

   • Définition de l'angle
   • Angles de référence
   • Angles orientés
   • Ratios trigonométriques
   • Résolution d'équations

8. Produit scalaire

   • Propriétés
   • Calcul
   • Vecteur normal
   • Applications
   • Addition et duplication

9. Probabilités

   • Rappels
   • Variable aléatoire
   • Espérance
   • Variance
   • Répétition
   • Epreuve de Bernoulli
   • Loi binomiale

10. Statistique

    • Position-Dispersion
    • Echantillon

11. Problèmes de synthèse

    • Angles et distances
    • Distance point-parabole
    • Motifs géométriques
    • Aires
    • Trajectoire

Présentation

Après un aperçu de l'intérêt résidant dans la résolution des équations du second degré, nous présentons en première section les cas qui peuvent se traiter avec les outils simples déjà connus depuis le collège. Vient ensuite le cas où une nouvelle méthode est présentée, définition et calcul du discriminant, algorithme de résolution lié. Une brève section est consacrée aux positions qu'une courbe peut adopter suivant le nombre de ses racines et le signe du coefficient de plus haut degré. Ce qui revient à comparer la position d'une parabole par rapport à une droite spéciale (l'axe des abscisses) est généralisé dans la section suivante. On tient compte cette fois de deux fonctions de type polynôme du second degré. Deux sujets essentiels viennent compléter le chapitre: la construction d'une parabole à partir d'un certain nombre de points fixés à l'avance, puis la relation entre les racines et les coefficients.

L'étude complète de cette famille de fonctions $(x \mapsto ax^2+bx+c)$ permet de mettre en pratique les connaissances vues en Seconde sur des objets parmi les plus simples à traiter après les droites dans un repère cartésien. On élargit le champ de vision dans la section réservée aux problèmes avec un polynôme du troisième degré, en se rappelant des idées directrices pour l'établissement d'un discriminant.

Le chapitre 2 sur l'étude de fonctions apporte de nouvelles connaissances, on y présente la fonction réciproque de la fonction carrée $(x \mapsto x^2)$ qui est l'extraction de la racine carrée $(x \mapsto \sqrt{x})$. On trouve au chapitre 5 une étude de la dérivation tissant un lien entre les polynômes. Enfin le dernier problème consacré à l'étude d'une trajectoire finit de compléter les connaissances analytiques sur la parabole.

Découpage

1. Cas simples
2. Forme canonique
3. Position
4. Comparaison
5. Compléments

Ouverture

• D'autres éléments seront apportés pour faire le tour du sujet, en particulier la partie géométrique est très peu abordée en 1ère S, pourtant c'est par là que les paraboles ont été en premier traitées. On verra donc comment définir ces figures et de quelle famille elles font partie.
• Les équations du troisième degré seront présentées dans les situations simples. La partie C du problème 2 y est déjà consacrée pour un cas particulier, l'aspect historique donne une meilleure compréhension de la place de ces équations.
• Plus généralement un exposé sera ajouté sur le polynômes. Les notions de degré, coefficients, racines, divisibilité entre polynômes seront détaillées. L'un des théorèmes les plus importants de l'algèbre appartient à ce domaine de recherche.
• Le polynôme du second degré se retrouve dans nombre d'applications physiques, celle présentée dans le dernier problème montre qu'une trajectoire peut être modélisée par une parabole. Une bonne connaissance du chapitre est nécessaire pour aborder la question de mouvement dans un champ gravitationnel.

Présentation

En 25 pages ce chapitre apporte quelques outils supplémentaires à l'étude des fonctions. Avant tout il s'agit de comprendre les modifications apportées à une fonction lorsqu'on décale sa variable suivant une translation comme pour l'exemple suivant: \[ x \longmapsto x+2 \longmapsto f(x+2) \] ou lorsqu'on la multiplie par un scalaire: \[ x \longmapsto 2x \longmapsto f(2x) \] La même observation est faite quand ces modifications sont apportées non plus à la variable $x$ mais à sa valeur $f(x)$ par la fonction $f$. Ainsi, plutôt que de traiter du cas général de la composée de deux fonctions, le programme propose une première approche sur les exemples les plus simples mais fondamentaux pour saisir les transformations possibles, et donc les influences des divers paramètres dans l'expression d'une fonction.

Le cours débute par l'ajout de deux fonctions de référence, loin d'être entièrement nouvelles nous abordons leurs propriétés analytiques: la racine carrée et la valeur absolue, c'est tout naturellement que nous les utilisons aussitôt comme exemples pour les compositions par la suite avec la fonction inverse.

Découpage

1. Racine carrée
2. Valeur absolue
3. Composée: $x \mapsto f(x+\lambda) $
4. Composée: $x \mapsto f(\mu x) $
5. Composée: $x \mapsto f(x)+\lambda $
6. Composée: $x \mapsto \mu f(x) $
7. $\sqrt{f}$
8. $1/f$
9. $|f|$

Les techniques vues en Seconde sont bien sûr mises à contribution en permanence et on notera l'importance de la définition d'une fonction croissante et ses variantes. L'étudiant doit se familiariser avec les quantificateurs et leur manipulation pour simplifier le traitement des questions, les rendre ainsi systématiques.

Présentation

Deux approches principales de cet objet fondamental de l'Analyse: voir la suite comme une fonction définie uniquement sur un sous-ensemble particulier de $\mathbb{R}$ qui est $\mathbb{N}$. Ou alors considérer la suite comme un ensemble de nombres que l'on a numérotés. Bien sûr le résultat est le même mais l'intérêt est de bénéficier des outils déjà existants suivant le point de vue adopté, et les deux coexistent.

Nous abordons en 1ère S les possibilités de générer une suite, la notion de monotonie telle qu'elle existe pour les fonctions revue dans le cas particulier d'une suite. Aussi sont définies les suites dites majorées, minorées et bornées qui occupent dans l'espace des suites la même place que les fonctions continues au sein de l'ensemble plus générale des fonctions. On peut définir une suite à partir d'une autre déjà existante, et un cas particulier important concerne la somme des premiers termes.

Une fois donnés les termes $( u_0\, ; u_1\, ; u_2\, ; u_3\, \ldots )$ on pose le terme $S_n$ comme étant égal à la somme des $n$ premiers termes de $u$: \[ S_n = u_0+u_1+\ldots+u_{n-1} \] Comme fil conducteur deux familles servent en tant qu'exemples: les suites géométriques et arithmétiques.

Découpage

1. Motivation
2. Génération
3. Monotonie
4. Géométrique
5. Arithmétique
6. Somme
7. Bornes

Ouverture

Divers exposés seront faits autour des suites, d'ailleurs ces objets apparaissent définitivement dans le reste du cours à chaque chapitre.

Lien proie-prédateur

un classique de deux suites définies l'une en fonction de l'autre.

Suite de Fibonacci

L'une des premières études de population, mais aussi une suite aux propriétés innombrables. Apparue dans le Liber acci de Léonard de Pise dit Fibonacci.

Les nombres premiers

Un exemple de suite dont on ne connaît toujours pas s'il existe une formule permettant de calculer le énième terme. C'est l'objet du théorème fondamental de l'arithmétique sur la décomposition en facteurs premiers de tout entier naturel.

Présentation

Le chapitre aborde la partie la plus délicate pour la classe de Première. La notion de limite est nouvelle, si son intuition transparaît après l'étude des suites, la formalisation du concept reste difficile, car elle fait intervenir plusieurs quantificateurs et règles de comparaison, ainsi que des techniques d'encadrements faisant appel aux valeurs absolues.

Après l'exposé du célèbre paradoxe de Zénon, nous comprenons qu'il est vital de se mettre d'accord sur le sens de l'expression "une suite tend vers une valeur". Une fois la définition établie pour le cas de la limite infinie, nous montrons qu'il n'est pas nécessaire de la mettre en oeuvre dans tout calcul, mais il suffit d'utiliser les propriétés de linéarité de la limite, ainsi que des limites classiques.

Il apparaît au cours de la recherche de règles standards qu'il existe des configurations ne donnant pas un résultat général, nous les nommons formes indéterminées. Une sous-section est consacrée à l'opposé de $+\infty$ et une nouvelle forme indéterminée. Le point le plus difficile est alors d'expliquer le sens de l'expression "La suite $u$ tend vers une valeur finie" car la convergence dont il est question ici est une notion faisant appel à un encadrement et non une simple majoration. Là aussi, il existe des règles et des résultats de référence ainsi que d'autres formes indéterminées lorsque la limite est le nombre zéro.

Pour finir le chapitre, nous rappelons que les suites ne sont que des fonctions particulières, toutes les notions abordées depuis le début s'appliquent à l'identique aux fonctions dans le cas général. De plus, le concept de limite en un point devient intéressante, quand pour les suites seules les bornes $+\infty$ et $-\infty$ ont un intérêt.

Le chapitre se décompose en cinq sections et 22 pages.

Découpage

1. Notion et définition
2. Tendre vers l'infini
3. Calcul
4. Convergence
5. Cas des fonctions

Présentation

Le chapitre sur la dérivation est le pilier de la partie Analyse en classe de Première S. Nous l'abordons après avoir étudié la notion de limite, indispensable pour saisir la subtilité dans l'approximation d'une courbe par une droite. L'approche affine d'une courbe est le sujet de la première section, nous nous interrogeons sur l'idée d'approximation autour d'un point. Cette étude permet d'introduire en seconde section les définitions importantes, nombre dérivé, fonction dérivée, tangente.

Comme pour les limites, le calcul des dérivées peut se faire à partir de résultats de référence plutôt qu'en appliquant directement la définition, plus lourde en calculs. Au cours de la troisième section ces règles sont vues en dégageant des résultats pour les fonctions les plus classiques et pour les opérations de base. Ensuite, nous abordons les trois fonctions inverse, racine carrée et valeur absolue, Chacune admet un résultat particulier.

C'est l'occasion d'exposer la dérivée comme étant une vitesse à un sens plus abstrait. Ce résultat permet de tisser un lien entre la fonction dérivée et la fonction pour en déduire son sens de variation. En le points où la dérivée s'annule, la courbe admet une forme que l'on étudie, on parle d'inflexion. Ils forment des repères pour les changements de variation. Le chapitre se termine sur des exemples d'étude de fonctions en utilisant la nouvelle technique de dérivation.

Découpage

1. Approximation affine
2. Définitions
3. Calcul
4. Exemples
5. Notion de vitesse
6. Sens de variation
7. Point d'inflexion
8. Etude de fonction

Présentation

Le chapitre 6 est le premier de la partie Géométrie du programme. Les deux suivants sont Trigonométrie et Produit scalaire aux chapitres 7 et 8. D'abord il est préférable de revenir sur les notions acquises en Seconde générale autour des vecteurs, pour deux raisons principalement. Le concept de vecteur est aussi large que celui des fonctions, et on en voit que le point de vue géométrique en Seconde. Ensuite parce que cet outil s'avère utile dans la simplification des problèmes qui surviennent au cours des deux chapitres suivants en Géométrie.

Concrètement, les données purement géométriques sont transcrites en relations algébriques ou analytiques pour pouvoir être traitées par des méthodes systématiques, accessibles à des machines. Mais aussi parce que l'Analyse s'avère efficace et rapide dans les résolutions, si nous risquons de perdre en compréhension des mécanismes et relation entre objets géométriques (les figures sont plus intuitives), nous gagnons en vitesse de calcul et possibilités de résolution. En effet, il n'est pas utile de faire une construction, et certains résultats apparaissent de manière évidente par le calcul. Par exemple la donnée "Les deux droites sont orthogonales" seront traduites par une valeur "L'angle géométrique formé vaut 90 degrés" ou une relation entre les vecteurs directeurs " $\langle \vec{u} | \vec{v} \rangle = 0 $ ".

Découpage

Le chapitre s'étale sur 20 pages pour 4 sections:

1. Translation: autour d'un aperçu historique, on montre que les propriétés fondamentales des translations peuvent donner naissance à un nouvel objet qui les définit de manière algébrique.
2. Propriétés: tout ce qui caractérise une translation doit se retrouver sur un vecteur: direction, sens, longueur, somme, produit, proportionnalité, colinéarité.
3. Vecteur directeur: nous revenons sur l'équation d'une droite dans un repère cartésien. Une famille de vecteurs peut définir une droite et réciproquement. En particulier certains vecteurs directeurs sont très utilisés en Analyse.
4. Base vectorielle: on montre que deux vecteurs suffisent à repérer un plan. Un point et deux vecteurs forment une base, surtout l'accent est mis sur la relation entre les bases.

Nous concluons le texte sur une généralisation du concept. Ainsi il faut bien saisir que le vecteur a une existence très large au sein des mathématiques. Les nombres, les fonctions, les polynômes, les états d'un système mécanique ou informatique peuvent être vus comme des vecteurs. La question est alors de savoir ce qu'est l'espace qui les contient et les opérations que l'on peut effectuer. Pour réutiliser les propriétés que l'on établies dans le cas géométrique il faudra que l'une d'elles soit du même type que l'addition et l'autre ressemblante à la multiplication.

Présentation

La trigonométrie étudie l'ensemble des propriétés dans un triangle. Cela ne signifie pas que la seule application de cette discipline se fasse en géométrie, bien que le chapitre se limite d'abord à un exposé sur le plan et particulièrement pour le cercle unité. Le cours donne une grande importance à la notion d'angle, nous la revoyons pour la définir à partir des vecteurs et du cercle trigonométrique. Les ratios trigonométriques sont introduits à l'aide des théorèmes de Thalès et de Pythagore, nous donnons les résultats pour les angles de référence et les relations les plus classiques. Le chapitre se termine par l'analyse des équations faisant intervenir un cosinus ou un sinus.

Découpage

1. Définition de l'angle
2. Angles de référence
3. Angles orientés
4. Ratios trigonométriques
5. Résolution d'équations

Présentation

C'est le coeur de la partie Géométrie en classe de Première. Le produit scalaire est un outil analytique permettant d'étudier des propriétés de la Géométrie à partir des coordonnées, comme l'orthogonalité, la linéarité, le sens des vecteurs, le calcul d'aires, de normes etc... Ses applications sont nombreuses et dépassent largement le cadre de la Géométrie, comme pour les ratios trigonométriques.

Nous présentons en première section la définition et les propriétés élémentaires de cet outil, en restant dans le cadre de la géométrie du plan. Vient ensuite à la deuxième section la question du calcul du produit scalaire. Si la définition peut parfois suffire, elle est difficile d'emploi dans le cas où l'angle formé par les deux vecteurs étudiés est inconnu. Trois méthodes sont alors proposées.

Une fois les bases assimilées, l'une des principales applications du produit scalaire est l'étude de l'orthogonalité et le calcul d'un vecteur normal à une droite donné. Ce qui fait l'objet de la troisième section. Trois autres applications pratiques sont proposées, le théorème de Pythagore généralisé, on parle alors de théorème d'Al Kashi; puis l'étude d'un mouvement en physique: une roue se déplaçant suivant un plan incliné. Enfin on montre en quoi le produit scalaire permet de rapidement changer de base en calculant les nouvelles coordonnées.

La dernière section est aussi une application du produit scalaire, cette fois-ci à la trigonométrie et le calcul des ratios pour une nouvelle relation angulaire: la somme de deux angles. En particulier, appliquée au même angle cela donne un lien entre un angle et sa moitié. Un exercice permet de généraliser au tiers d'un angle.

Découpage

1. Propriétés
2. Calcul
3. Vecteur normal
4. Applications
5. Addition et duplication

Description

La première lecture du chapitre peut dérouter un élève qui s'était initié aux probabilités par l'étude des fréquences et de la combinatoire. Ici, nous présentons la théorie moderne des probabilités, la plus adaptée et la plus englobante. Elle permet d'aborder les problèmes contemporains quand les méthodes habituelles par combinatoire ne permettent de résoudre que des situations aux issues en nombre fini et possédant des symétries claires.

Nous rappelons en première partie le vocabulaire essentiel à l'étude de la discipline, il ne lui est pas propre mais à ce stade des études l'élève le rencontre en Probabilités. Vient ensuite la définition du concept de probabilité, nous considérons qu'il s'agit d'une fonction et établissons un lien entre le vocabulaire et des propriétés tirées de l'Analyse. La section suivante introduit l'outil de base de la théorie moderne: la variable aléatoire, qui est une fonction reliant les issues à des nombres réels. L'idée est aussi simple qu'efficace, elle reporte l'étude d'une expérience aléatoire sur une fonction avec tous les outils de l'Analyse à notre disposition, il s'agit alors de raisonner avec ce que nous avons appris de l'étude des fonctions pour résoudre des situations aléatoires.

Bien qu'il soit possible d'appliquer des règles de combinatoires apprises en classe de Seconde pour résoudre les problèmes à issues en nombre fini, nous appliquons les nouvelles méthodes pour permettre à l'élève de se faire une idée du changement dans la technique, avant d'aborder en Terminale les cas où seule la nouvelle théorie peut s'avérer efficace.

Quelques critères d'études apparaissent, on s'intéresse particulièrement à la valeur moyenne d'une expérience, appelée espérance et qui constitue la troisième section. Un autre sera l'écart entre les valeurs possibles et cette valeur moyenne: la variance. On étudie alors à la quatrième section le lien entre diverses expériences lorsqu'elles sont liées par un facteur linéaire.

La section suivante traite du sujet de répétition d'une expérience à l'identique, et de manière indépendante des autres expériences. On englobe alors plusieurs expériences sous une seule, la modélisation fait apparaître le vocabulaire des suites et des listes. L'espérance et la variance sont analysées entièrement pour les cas de deux ou trois issues possibles.

L'autre partie du chapitre concerne l'épreuve de Bernoulli qui est le modèle le plus basique d'une expérience aléatoire. On traite le sujet sur quatre pages avant de passer à son application dans la dernière section: la loi binômiale. C'est la répétition d'une expérience de Bernoulli. Tous les outils introduits dans ce chapitre sont utilisés dans cette dernière étude sur huit pages, se terminant par la présentation des coefficients binômiaux et le célèbre triangle de Pascal.

Découpage

1. Rappels
2. Variable aléatoire
3. Espérance
4. Variance
5. Répétition
6. Epreuve de Bernoulli
7. Loi binômiale

Description

Le dernier chapitre se divise en deux parties. La première revient sur deux notions connues depuis le collège: la moyenne et la médiane. Nous les traitons à l'aide des outils issus de l'étude des fonctions et des suites pour en donner une vision plus pointue. L'objectif est de décrire une série statistique au travers de ces critères, ainsi le diagramme en boîte fait son apparition pour compléter les méthodes à appliquer.

La seconde section est tournée vers une application de la loi binomiale: l'échantillonnage. Le problème est entièrement traité autour d'un exemple concret sur cinq pages, nous montrons la façon de modéliser, introduisons le vocabulaire et la résolution de quelques questions. Le point le plus délicat consiste à comprendre les limites du modèle et son interprétation, deux faces d'une même difficulté conceptuelle.

Découpage

1. Position - Dispersion
2. Echantillon