Exercice 1.4 - Etude d'une parabole avec (b=0)

Solution

Question 1 - Calcul des coefficients à partir des racines.

Résolution

Le fait que $-1$ et $+1$ soient racines donne la même contrainte sur les coefficients. En effet nous avons expliqué dans le cours qu'une telle expression appartenait à une fonction dite paire. Ainsi l'axe des ordonnées est un axe de symétrie. Fixer une valeur $\lambda$ pour une abscisse $x$ implique le même résultat pour son opposée $-x$. Nous avons choisi $f(1)=0$. Dès lors la valeur en -1 est aussi 0. L'équation vérifiée par $a$ et $c$ est la suivante: \[ a+c = 0 \] Les deux coefficients sont opposés. Vient ensuite la valeur en 2: $f(2)=\sqrt{5}$. Remplaçons la variable $x$ par la valeur 2, on obtient une équation en $a$ et $c$: \[ 4a+c = \sqrt{5} \] Ce qui en substituant $c$ par $-a$ donne le résultat: \[ a = -c = \frac{ \sqrt{5} }{3} \] On en déduit qu'il existe une unique solution au problème, c'est la fonction définie par: \[ x \mapsto \frac{ \sqrt{5} }{3} x^2 - \frac{ \sqrt{5} }{3} \]

Commentaire

Il y avait deux inconnues dans cette question, les coefficients $a$ et $c$. Pour les trouver nous avons posé un système de deux équations où ils apparaissaient. Puis une substitution a suffi. Autre remarque, trois informations sont données: les valeurs en -1, 1 et 2 pourtant nous n'obtenons que 2 équations. La parité de $f$ rend inutile l'une de ces informations.

Question 2 - Factorisation

L'expression précédente se factorise dans un premier temps par le coefficient $a$: \[ f(x) = \frac{ \sqrt{5} }{3} (x^2-1) \] Puis l'identité remarquable termine de donner la factorisation. Ou alors on se rappelle que -1 et 1 sont racines, dans ce cas: \[ f(x) = a (x-1)(x+1) \] Et le coefficient $a$ est connu. Quant au tableau des signes, il suffit de faire apparaître sur une ligne le terme $(x-1)$ puis $(x+1)$ et le coefficient $a$ étant positif n'intervient pas dans la modification du signe du produit.

\[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & & -1 & & +1 & \\ \hline \\ x+1 & - & 0 & + & & + \\ \hline \\ x-1 & - & & - & 0 & + \\ \hline \\ f(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} \]

Question 3 - Trouver une fonction différente avec des points en commun.

On entend par forme le fait que $g$ s'écrive analytiquement de la même facon: \[ g(x) = ax^2+c \] Nous reprenons les dénominations $a$ et $c$ mais il faut se garder de les confondre avec les coefficients de $f$. Puisque $g$ possède les mêmes racines on a toujours opposition entre $a$ et $c$. Seulement la valeur en 2 a diminué ce qui donne une parabole plus aplatie. \[ g(2)=1 \; \Rightarrow \; a \times 2^2 + c = 1 \; \Rightarrow \; a = \frac{1}{3} \]

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Question 4 - Généraliser la question 3.

Tout d'abord deux valeurs sont fixées: $h(-1)=h(1)=0$. Et la forme de $h$ est imposée: $(h(x)=ax^2+c)$ pour tout réel $x$. On nous donne deux réels $r$ et $s$ sans plus d'information et l'on voudrait améliorer notre connaissance de la fonction $h$. Comme pour $f$ et $g$ il n'est pas nécessaire d'en savoir plus pour conclure que $h$ se factorise comme suit: \[ h(x) = a (x-1)(x+1) \] En effet -1 et 1 sont racines. La seule inconnue est donc $a$, le problème consiste suivant les valeurs de $r$ et $s$ proposées à donner une expression de $a$. Une difficulté est dans un premier temps d'éliminer les situations impossibles, et avec celle-ci de savoir comment séparer les cas. Rappelons que l'on part d'une information très générale: \[ r \in \mathbb{R} \quad s \in \mathbb{R} \] Une disjonction de cas consisterait dans un premier temps à vérifier ce qui se passe si l'on sépare l'appartenance de $s$ à $\mathbb{R}$ de la façon suivante: \[ (s=0) \quad (s<0) \quad (s>0) \] C'est là un comportement classique dans la recherche que de distinguer les signes, mais rien ne dit qu'il y a mieux à faire. Le fil conducteur pour tous les cas restera l'équation: $h(r)=s$ qui s'écrit plus précisément: \[ a (r-1) (r+1) = s \]

Si $s$ est nul

L'équation obtenue est un produit composé de trois facteurs égal à 0. Ou bien $a$ est nul et alors $h$ est la fonction identiquement nulle. Dans ce cas peu importe la valeur de $r$ nous aurons toujours $h(r)=s$. En fait, quelque soit la valeur de la variable réelle $x$ on aura $h(x)=0$. Ou bien $a$ est non nul et dans ce cas $r$ ne peut avoir que deux valeurs possibles qui sont les racines -1 et 1.

Si $s$ est strictement positif

Le coefficient $a$ ne peut être nul et donc $h$ n'est pas identiquement nulle. De plus $r$ ne peut valoir -1 ou 1 sinon $h(r)$ serait nul. Puisque il ne peut prendre ces valeurs, nous pouvons diviser $s$ par $(r-1)(r+1)$. D'où: \[ a = \frac {s}{(r-1)(r+1)} \] Cette expression indique que pour tout $(s>0)$ et tout $r$ réel différent de -1 et 1 alors il existe une fonction $h$ vérifiant les conditions de la question. De plus nous obtenons une seule solution car le coefficient $a$ est fixé par la donnée du couple $(r,s)$.

Si $s$ est strictement négatif

L'observation du raisonnement précédent montre que nous n'avons pas utilisé la positivité de $s$ mais la négation de sa nullité. Le résultat est donc le même.

Conclusion

Finalement il y a deux cas à distinguer. Ou bien $s$ est nul et alors deux sous-cas apparaissent:

• $a=0$: la fonction $h$ est identiquement nulle. La valeur de $r$ peut être quelconque.
• $a \neq 0$: La fonction $h$ n'est pas identiquement nulle et puisque ses deux racines sont fixées, $r$ ne peut valoir que l'une d'elles. Il y a une infinité de possibilités pour $h$.

Ou bien $s$ est non nul et alors $r$ ne peut valoir -1 et 1. En dehors de celles-ci, il existe alors une seule fonction $h$ répondant à la question et son coefficient $a$ vaut l'expression donnée ci-dessus.

Nous aurions pu mener la recherche suivant les valeurs de $r$, auquel cas partager la réflexion en fonction du signe de $r$ n'est pas un bon choix. Mais plutôt en tenant compte de ces situations: \[ r \in \{ -1\, ; 1 \} \quad r \neq \{ -1\, ; 1 \} \]