Exercice 1.11 - Position relative de deux paraboles

Exercice 1.11 - Position relative de deux paraboles TekMath
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Première

Enoncé

Retrouver six configurations en étudiant $h$, préciser les racines des fonctions $f,g, h$ ainsi que les intervalles $(f>g)$ ainsi que $(f<g)$:

  1. $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} x^2+x+1\; $ et $\displaystyle \; g(x)=\frac{1}{2} x^2+1$

    $\displaystyle f(x)= x^2-12x+37\; $ et $\; g(x)= x^2-12x+36$
     

  2. $\displaystyle f(x)=x^2+\frac{1}{2}\; $ et $\; g(x)=x^2+x$

    $\displaystyle f(x)=x^2-9x+21\; $ et $\; g(x)=-x^2+11x-30$
     

  3. $\displaystyle f(x)=x^2+x+1\; $ et $\displaystyle \; g(x)=-x^2+2x-\frac{9}{8}$

    $\displaystyle f(x)=x^2-9x+19\; $ et $\; g(x)=-x^2+10x-24$

Indications

Comme pour les deux exercices précédents, on forme la différence $h$. Suivant le signe de $h$ on conclut sur les intervalles $(f>g)$ et $(f<g)$. Reste ensuite à faire correspondre les fonctions avec le bon graphique en s'aidant des positions, mais surtout des changements de position, ainsi que des intersections qui vont avec.

Notation pratique

On souhaite écrire l'ensemble des réels pour lesquels la valeur en $f$ est strictement plus grande que celle en $g$. De base, nous savons l'exprimer par: \[ \left\{ x \in \mathbb{R} \; / \; f(x) > g(x) \right\} \] Il y a plus court: \[ (f>g) \] Cette fois-ci les parenthèses ne sont pas là pour délimiter une expression mathématique insérée dans une phrase mais bien pour décrire un ensemble. Habitude très répandue dans les notations en Probabilités. De même nous écrirons plus simplement: L'ensemble $(f=g)$ pour désigner tous les réels $x$ vérifiant l'équation: $f(x)=g(x)$.

Solution

Question 1

(a)

La différence vaut: $h(x)=x$. La fonction $h$ est linéaire, la conclusion est la suivante:

  • $(f<g) = \mathbb{R}^{-*}$
  • $(f=g) = \{0\}$
  • $(f>g) = \mathbb{R}^{+*}$

Ce qui correspond au graphique de gauche.

(b)

La différence vaut: $h(x)=1$. La fonction $h$ est constante strictement positive, la conclusion est la suivante:

  • $(f<g) = \emptyset $
  • $(f=g) = \emptyset $
  • $(f>g) = \mathbb{R} $

Ce qui correspond au graphique de droite. Il y a comme une illusion d'optique nous faisant croire que les courbes se rapprochent de plus en plus. Mais en réalité notre oeil ne compare pas des valeurs de $f$ et $g$ aux mêmes abscisses. Pour un réel $x$ donné l'écart entre $f(x)$ et $g(x)$ reste le même, ainsi un segment vertical peut coulisser le long des deux courbes sur tout $\mathbb{R}$.

Question 2

(a)

$\displaystyle h(x)= -x+\frac{1}{2}$. Il s'agit du quatrième cas vu dans la section et le résultat est le suivant:

  • $\displaystyle (f<g) = ]\frac{1}{2}\, ; +\infty [$
  • $\displaystyle (f=g) = \{ \frac{1}{2} \}$
  • $\displaystyle (f>g) = ]-\infty\, ; \frac{1}{2} [$

Il y a une intersection, ce qui exclut le graphique de droite. Si un segment vertical se déplace avec une extrémité appartenant à chaque parabole, alors il rétrécie de manière linéaire, ce qui est la conséquence du coefficient directeur de la droite $\mathcal{C}_h$ et l'ordonnée à l'origine nous indique la taille du segment lorsqu'il passe en zéro. Il devient nul pour le réel $x$ annulant $h$, soit encore un demi. Puis ses bornes changent de position et il grandit de nouveau.

(b)

$h(x)=2x^2-22x+51$. On retrouve le 5ème cas. Le discriminant vaut -8, ainsi les deux courbes ne se rencontrent pas, et vu que $h(0)$ est strictement positif on en déduit que c'est $\mathcal{C}_f$ qui est au dessus de $\mathcal{C}_g$. Ce qu'on retrouve en comparant les branches, celles de $\mathcal{C}_f$ sont dirigée vers le haut. Le graphique de droite correspond à une telle situation.

Question 3

(a)

$\displaystyle h(x) = 2x^2-x+\frac{1}{8}$. Il s'agit du cinquième cas avec le discriminant nul. La racine de $h$ vaut un quart. La valeur $h(0)$ est strictement positive donc: \[ (f>g) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{1}{4} \} \] Quant au singleton formé par un quart il vaut $(f=g)$. C'est le graphique de gauche qui correspond.

(b)

$h(x)=2x^2-19x+43$. Le discriminant vaut 17 et les racines sont: \[ \frac{19 \pm \sqrt{17}}{4} \] Le signe de $h$ se déduit aisément et l'on conclut en notant $\beta$ la plus petite et $\alpha$ la plus grande des racines:

  • $\displaystyle (f<g) = ] \beta\, ; \alpha [$
  • $\displaystyle (f>g) = \mathbb{R} \setminus [\beta\, ; \alpha]$
  • $\displaystyle (f=g) = \{ \beta\, ; \alpha \}$

Cela termine la section avec un exemple du 5ème cas pour un discriminant strictement positif.