Exercice 1.12 - Parabole passant par des points donnés

Solution

Question 1

On part de l'hypothèse que les trois points sont quelconques, donc toutes les configurations sont possibles. Le fait de restreindre en supposant que deux d'entre eux sont confondus ne signifie pas que le troisième est distinct. Il peut être aussi confondu avec les deux autres. La question est précise: Combien. On ne cherche pas à savoir comment sont ces paraboles, si les branches sont dirigées en haut ou en bas, quel est leur axe de symétrie ou autre. Mais seulement quelle quantité. Soit il y en a un nombre fini et il faut donner la quantité exacte, soit il y en a une infinité, et on le prouve. On appelle $f$ une fonction susceptible de répondre aux contraintes.

Trois points confondus

Dans ce cas, il existe une infinité de paraboles. La contrainte imposée consiste en l'existence d'un point $A$ de coordonnées $(e\, ; f)$ pour lesquels les éventuels coefficients de $f$ vérifient: \[ ae^2+be+c=f \] Les coefficients sont ici les inconnues du problèmes. Les coordonnées $e$ et $f$ sont considérées comme connues et peuvent donc être exploitées pour exprimer les solutions. Voici la preuve algébrique qu'il existe une infinité de fonctions $f$ répondant au problème:

Fixons $b$ et $c$. Alors $a$ devient connu: \[ a =\frac{1}{e^2} (f-be-c) \] sauf si $e$ vaut zéro. Mais dans ce cas, cela signifie que $A$ est le point de la courbe dont l'abscisse est l'origine. L'équation de contrainte devient: \[ c=f \] L'inconnue $c$ est imposée et vaut $f$. Quant à $a$ et $b$ ils peuvent prendre n'importe quelle valeur, la contrainte sera vérifiée. D'où l'infinité de paraboles dans ce cas. Si $(e\neq 0)$ alors on retrouve l'équation ci-dessous où l'on divise par $e^2$. En fixant $b$ et $c$ on obtient la valeur de $a$. En laissant $c$ fixé, on constate qu'on est libre de poser n'importe quelle valeur pour $b$, il sera possible de choisir $a$. Enfin, le même constat est à faire sur $c$ alors que l'on aura encore rien fixé pour $b$, tout réel permet d'aboutir à une solution. Au final, dans cet ordre de choix, il nous est possible de fixer $c$ puis ensuite de choisir aussi $b$ de manière indépendante, enfin on trouvera qu'il existe une valeur unique pour $a$ permettant de créer une fonction $f$ répondant au problème: \[ f(x) = \frac{1}{e^2} (f-be-c) x^2 + bx + x \] Il est possible de procéder en choisissant arbitrairement $a$ puis $b$, la valeur de $c$ en découle, ou encore de n'importe quelle façon sur deux coefficients, le troisième trouvera son existence. La réponse à la question est la suivante:

Si les trois points sont confondus, alors le problème revient à savoir combien de paraboles passent par un point donné du plan. Il y en a une infinité quelle que soit le choix de ce point. La réponse aurait pu être donnée à partir d'une simple considération géométrique. Nous pouvons le prouver pour le point $A(0\, ;0)$ et il suffit de conclure avec une translation. Tout point de coordonnées $(e\, ; f)$ est le translaté de $(0\, ; 0)$. Une parabole qui passe par l'origine a une image par cette translation passant par le point $(e\, ; f)$.

Deux points distincts

Supposons que $A$ et $C$ sont confondus et $B$ est distinct de $A$. Cela ne change rien au problème. Il y a un cas particulier: si $A$ et $B$ sont alignés à la verticale il vient de toute évidence qu'aucune parabole ne les contient puisque nous cherchons celles qui sont liées à des fonctions. Il faudrait considérer le plan de manière générale et chercher les paraboles au sens large, d'un point de vue purement géométrique. Seulement, nous considérons dans notre problème uniquement celles de la forme: $(y=ax^2+bx+c)$ donc telles que l'axe de symétrie est parallèle à l'axe des ordonnées.

Soit à présent $A(e\, ; f)$ et $B(g\, ; h)$ avec $(e\neq g)$. Rappelons que les inconnues du problème sont $a,b,c$ et les quatre réels $e,f,g,h$ sont des données exploitables. Le cas général du problème fait qu'on en conserve une description littérale. Une fonction $f$ solution du problème vérifie le système: \[ \left\{ \begin{aligned} ae^2+be+c & =f  \\ ag^2+bg+c & = h \end{aligned} \right. \] Distinguons là encore deux cas:

$e$ et $g$ ne sont pas opposés

On pose la différence entre les deux équations: \[ a(e^2-g^2)+b(e-g)=f-h \] L'explication de la nouvelle hypothèse $(e\neq -g)$ apparaît ici, si $e$ et $g$ sont opposés, l'équation n'est pas exploitable, sinon on donne $a$ en fonction de $b$, c'est-à-dire que l'imposition de l'un entraîne celle de l'autre: \[ a = \frac{f-h}{e^2-g^2}  - \frac{b}{e+g} \] Dans le premier membre de droite la première fraction est fixée puisque composée uniquement de données, et la seconde ne dépend que de l'inconnue $b$. Si l'on choisit $b$, la valeur de $a$ est imposée, puis en exploitant l'une des deux équations du système posé plus haut il vient aussitôt: \[ c = f-ae^2-be \] La valeur de $c$ devient imposée. Ce qui nous intéresse ici est de voir que toute valeur de $b$ entraînera l'existence d'un réel $a$ et d'un réel $c$ telle que la fonction $f$ vérifie le problème. Ce qui signifie qu'il existe une infinité de paraboles: \[ \left\{ \begin{aligned} b & \in \mathbb{R} \\ a & = \frac{f-h}{e^2-g^2}  - \frac{b}{e+g} \\ c & = f-ae^2-be \end{aligned} \right. \] On peut terminer le travail de recherche en donnant l'expression de $f(x)$ uniquement en fonction des quatre données $e,f,g,h$ et du paramètre $b$.

$e$ et $g$ sont opposés

Dans ce cas $a$ et $b$ ne sont plus liés indépendamment de $c$. Si nous soustrayons une équation à l'autre le résultat : \[ a(e^2-g^2)+b(e-g)=f-h \] n'est pas exploitable puisque: \[ e^2-g^2 = (e-g)(e+g) =0 \] ainsi le coefficient $a$ est accompagné d'un facteur nul, ce qui ne permet pas de lier $a$ à $b$. Mais plutôt additionnons les deux équations du système, puisque $(e+g=0)$ et $(e^2=g^2)$ on a: \[ 2ae^2+2c=f+h \] Le fait de fixer l'un des deux coefficients $a$ ou $c$ entraîne une valeur pour l'autre, sauf si $(e=0)$. En dehors de ce cas on se retrouve avec une expression de $f$ à un degré de liberté: fixer $c$ donne une valeur à $a$: \[ a=\frac{f+h}{2e^2}-\frac{c}{e^2} \] Et aussitôt une valeur à $b$: \[ b = \frac{f-c}{e}-ae \] Si chaque choix de $c$ n'entraîne que l'existence d'un unique couple $(a,b)$ répondant au problème, la possibilité de fixer librement $c$ permet de conclure qu'il existe une infinité de solutions au problème.

Conclusion

Nous avons procéder par disjonction des cas, étant donné le niveau un peu plus technique du découpage, il est bon de vérifier que nous n'avons rien laisser de côté: la question est de savoir combien de paraboles passent par trois points quand au moins deux sont confondus. Nous avons agit de la façon suivante:

1. Les trois sont confondus.
2. Deux sont confondus et le troisième distinct

• Les deux points distincts forment une droite verticale.
• Les deux points ne forment pas une droite verticale.
  • Les deux points n'ont pas d'abscisses opposées.
  • Les deux points ont une abscisse opposée.

Question 2

La question est posée de manière générale. La réponse n'est pas l'unicité dans deux cas très particuliers.

Alignement vertical

Si les points sont alignés à la verticale il ne peut y avoir de solutions. Même dans le cas de deux points comme précédemment, en effet l'équation: \[ y = ax^2+bx+c \] entraîne une unique ordonnée pour chaque abscisse. Deux points alignés à la verticale donnent deux ordonnées possibles pour la même abscisse. En effet soit $A(e\, ; f)$ et $B(e\, ;h)$ où $(f\neq h)$. $A$ et $B$ sont alignés à la verticale et d'ordonnées différentes, donc les deux points sont distincts, ils vérifient les conditions imposées. Seulement: \[ f=ae^2+be+c=h \]

Alignement horizontal

Nous avons vu dans le cours et dans la question 1 de l'exercice que par deux points alignés à l'horizontal il passe une infinité de paraboles. Reprenons $A$ et $B$ cités plus haut dans la question 1, le système devient: \[ \left\{ \begin{aligned} ae^2+be+c & =f  \\ ag^2+bg+c & = f \end{aligned} \right. \] ceci parce qu'ils ont même ordonnée $f$. Quant à $e$ et $g$ nous savons juste qu'ils sont distincts d'après l'hypothèse de la question 2. La différence entre les deux équations donne: \[ a(e^2-g^2)+b(e-g)=0 \] Or $e$ et $g$ sont différents, en divisant par $(e-g)$ on obtient: \[ a(e+g)+b=0 \] Un troisième point $C(i\, ;j)$ vérifie aussi: \[ ai^2+bi+c=f \] Une opération similaire à ce qui précède donne: \[ a(e+i)+b=0 \] Or $e,g,i$ sont différents. Là encore nous plongeons encore dans une distinction:

$a$ est nul

Supposons que $a$ soit accepté comme étant nul, c'est-à-dire que l'on se restreint aux paraboles de la forme d'une droite. Pour rappel, une parabole telle que définie dans le cours est de la forme $(ax^2+bx+c)$ avec trois coefficients quelconques. Nous avons vu qu'il peut s'agir d'une droite. Si $a$ est nul alors $b$ aussi. Il reste: $c=f$. Ainsi il existe une unique parabole répondant au problème: \[ f(x)=f \] Ne pas confondre le réel $f$ fixé et qui est l'ordonnée des trois points alignés et la fonction $f$.

$a$ n'est pas nul

Dans ce cas le problème devient impossible car: \[ -\frac{b}{a} = e+i=e+g \] or $e,g,i$ sont supposés distincts.

La conclusion sur l'alignement horizontal est la suivante: Si trois points sont alignés ainsi il n'y a que la fonction constante égale à leur ordonnée commune qui est solution du problème. Une autre méthode consiste à raisonner sur le nombre de racines du polynôme susceptible de répondre au problème et de généraliser par translation. Ce que nous proposons ci-après:

Alignement oblique

Le problème consistant à résoudre le nombre de points d'intersection entre une parabole et une droite est équivalent à la résolution d'une équation du second degré, ceci est expliqué dans les sections 1.3 et 1.4. Or nous avons vu que lorsque $a$ est non nul, il ne peut y avoir plus de deux solutions distinctes. Pour en avoir trois distinctes, il faut que $a$ soit nul. Ce qui revient à étudier l'intersection entre deux droites. Pour qu'elles aient trois points en commun il faut qu'elles soient confondues.

Soient $A,B,C$ trois points distincts alignés, il existe toujours une droite passant par ces points. Et elle vérifie le problème. Le paragraphe précédant a donné une condition nécessaire, celui-ci donne une condition suffisante. Le problème admet bien une unique solution, il est inutile de donner la moindre équation, il s'agit de la droite elle-même.

Question 3

Interprétons les données: $A$ est l'origine du repère, si la courbe passe par ce point alors $c$ est nul puisque: $f(0)=c$. Les branches sont dirigées vers le haut signifie déjà qu'il y a des branches, donc que $a$ est non nul, de plus leur orientation indique plus précisément: $(a>0)$. $B$ est le sommet donc le milieu des deux racines. En effet, la courbe passe par $A$ donc la fonction a au moins une racine, puisque celle-ci n'est pas le sommet alors il y en a une deuxième. Et $B$ en est le milieu. La forme de $f(x)$ est évidente, on retrouve un cas simple: \[ f(x)=x(ax+b) \] Le milieu des racines vaut donc $-b/(2a)$ et correspond à 2 par hypothèse. D'où: \[ b=-4a \] Les deux racines sont 0 et 4, le choix du coefficient $(a>0)$ reste libre en dehors de son signe: \[ f(x)=ax(x-4) \] On propose deux courbes, l'une ayant comme point $B_1$ en posant $(a=1/4)$ et l'autre $B_2$ avec $(a=1)$.

[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"166","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"614","typeof":"foaf:Image","width":"732"}}]]

Question 4

Traitons un cas encore plus général, soient trois points $A,B,C$ de coordonnées respectives $(e\, ; f)$ et $(g\, ; h)$ et $(i\, ; j)$ ne se trouvant pas dans l'un des cas cités plus haut. Ils se sont pas alignés à la verticale, ni par trois ni par deux, ni à l'horizontale pour les trois. Le système est le suivant: \[ \left\{ \begin{aligned} ae^2+be+c & =f  \\ ag^2+bg+c & = g \\ ai^2+bi+c & = j \end{aligned} \right. \] La différence entre la première et la seconde nous a donné: \[ (*)\;  b=\frac{f-h}{e-g} - a (e+g) \] L'intuition est qu'il n'existe qu'une seule parabole passant par les trois points, l'objectif est donc de résoudre le système en trouvant pour chaque coefficient $a,b$ et $c$ sa valeur en fonction des six données du problème: $e,f,g,h,i,j$. Nous avons déjà une équation mettant en relation $a$ et $b$. Une autre du même type permettrait d'isoler l'un de ces coefficients. Or la symétrie qui existe entre les trois équations du système nous montre qu'en formant la différence entre la seconde et la troisième alors on aura la même équation entre $a$ et $b$ avec un remplacement des symboles: $h$ prend le rôle de $f$, $j$ celui de $h$, $g$ celui de $e$ et $i$ de $g$: \[ (**)\; b= \frac{h-j}{g-i} - a (g+i) \] Faisons la différence des deux équations (*) et (**). On élimine ainsi $b$ et $a$ peut être exprimé après quelques manipulations: \[ a= \frac{1}{i-e} \left( \frac{h-j}{g-i}-\frac{f-h}{e-g} \right) \] Ce qui donne en remplaçant $a$ par cette expression dans l'équation (*) la valeur de $b$: \[ b= \frac{f-h}{e-g} -\frac{e+g}{i-e} \left( \frac{h-j}{g-i}-\frac{f-h}{e-g} \right) \] Et enfin il suffit de reprendre n'importe laquelle des trois équations du système pour extraire $c$, par exemple: \[ c=f-ae^2-be \] L'essentiel n'est pas de donner une formule, mais de prouver qu'il existe une fonction $f$ dont la courbe est une parabole qui passe par $A,B,C$. Et qu'elle est unique. Et c'est ce que nous avons obtenu, chacun des trois coefficients $a,b,c$ existe et s'exprime uniquement en fonction des données, de sorte que cela fixe leurs valeurs respectives.

Suite de l'exercice

La suite de l'exercice se trouve à l'adresse internet suivante:

http://tekmath.com/exercice/exercice1-12-bis

Vous pouvez aussi utiliser le bouton en bas à droite pour naviguer d'une page à l'autre.