Solution

Question 1 - Une suite définie avec une parabole

La suite $u$ n'est rien d'autre qu'une fonction, en particulier c'est la restriction de $f$ à $\mathbb{N}$, c'est-à-dire la fonction $f$ elle-même bien qu'on lui ait donné un autre nom, ceci parce qu'une fonction est aussi définie par un domaine. Le tracé de $\mathcal{C}_f$ contient le graphe de $u$. Ce graphe étant l'ensemble des points du plan repérés par un couple $(n\, ; u_n)$. Il s'agit donc dans un premier temps de tracer la courbe liée à $f$. Or l'équation $f(x)=0$ a pour racines -1 et 2, la forme canonique trouvée : \[ f(x) = \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2 - \frac{9}{4} \] Nous traçons donc la parabole associée, en modifiant les échelles, avec un coefficient $0.1$ en ordonnée pour obtenir une répartition moins éparpillée:

[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"162","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"527","typeof":"foaf:Image","width":"670"}}]]

Les dix premiers termes sont $u_0$ jusqu'à $u_9$ et valent: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & -2 & -2 & 0 & 4 & 10 & 18 & 28 & 40 & 54 & 70 \\ \hline \end{array} \]

Question 2 - Suite générée par la fonction inverse.

Calcul des valeurs

Nous translatons d'abord le graphe de $g$ via le vecteur $(0\, ; 1)$ et ceci fait partie des résultats enseignés dans le chapitre 2. Les dix premiers termes de la suite $u$ vont de $u_3$ à $u_12$. Pour dix termes il y a neuf étapes, ainsi $(9+3=12)$ donne le dernier terme de la suite, pour se souvenir de ce résultat le mieux est de se rappeler ce qui sépare le maximum et minimum de l'ensemble $\{1\, ; 2\, ; 3\}$. Il y a deux étapes pour trois éléments.

La forme explicite de $u$ est la suivante : \[ \forall n \geq 3 \qquad u_n = 1+\frac{1}{n} \] Soit encore pour l'écrire directement sous la forme d'une fraction : $\displaystyle \frac{n+1}{n}$ .

La construction du tableau est immédiate : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline \\ u_n & \frac{4}{3} & \frac{5}{4} & \frac{6}{5} & \frac{7}{6} & \frac{8}{7} & \frac{9}{8} & \frac{10}{9} & \frac{11}{10} & \frac{12}{11} & \frac{13}{12} \\ \hline \end{array} \] C'est déjà l'occasion de s'initier au calcul des limites. La question se pose de savoir vers "quoi" se dirige le terme $u_n$.

Calcul d'une limite

Nous pouvons nous poser la question pour le graphe, soit le couple formé par l'abscisse $n$ et l'ordonnée $u_n$ ce qui revient au même dans l'étude de la question, la subtilité est qu'ici nous étudions alors une famille de points du plan repérés par coordonnées cartésiennes, quand le regard porté sur seulement $u_n$ consiste à estimer la valeur d'un réel, et donc sa direction sur la droite graduée, en particulier l'axe des ordonnées.

S'il est évident que la marche des entiers naturels indicés par $n$ a pour direction l'infini à une vitesse constante (+1 à chaque étape), le comportement de $u_n$ est légèrement plus technique. Il y a descente, donc $u_n$ ne se dirige pas vers l'infini ni vers une quelconque valeur plus grande que le premier terme par exemple, et même n'importe lequel de ses termes puisque la décroissance est stricte. Et ce résultat est simplement dû à la monotonie de la fonction $(x\mapsto g(x)+1)$ si l'on se souvient que $u$ est exactement cette fonction mais uniquement prise sur les entiers.

La suite $u$ est strictement décroissante et son premier terme est $u_3=4/3$. De plus elle est strictement positive : \[ \forall n \geq 3 \qquad u_n >0 \] On obtient un encadrement des termes $u_n$ entre 0 et quatre tiers. Notre intuition nous conduit à penser que $u_n$ ne peut aller au delà. Comment un terme pourrait s'approcher aussi près d'un nombre en dehors de l'intervalle fermé $\displaystyle [0\, ; \frac{4}{3} ]$ s'il ne peut franchir les frontières de l'intervalle. Mais c'est là un résultat qu'il convient de démontrer, le sujet est abordé au chapitre 4.

En attendant nous remarquerons que : \[ u_3 \approx 1.33 \quad u_4 =1.25 \quad u_5 = 1.2 \quad u_7 \approx 1.17 \; \ldots \; u_{100} = 1.01 \; \ldots \] Les termes se rapprochent de 1. La forme explicite donne exactement la vitesse de convergence : \[ u_n= 1+\frac{1}{n} \] Chaque terme de la suite est le nombre 1 augmenté de l'inverse de l'entier $n$. Or cet inverse est aussi petit que $n$ est grand. Mieux, la fraction $1/n$ tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini, et c'est là encore le sujet du chapitre 4, ce résultat est démontré pour la propriété 4.1 et pour le moment nous invitons le lecteur à calculer lui-même des valeurs $u_n$ d'indice toujours plus grand et d'observer la graphique de la courbe associé pour se donner une idée de la notion de convergence.

Graphique

Chaque bâtonnet dessiné au dessus de l'entier $n$ ci-dessous a pour longueur $u_n$. C'est une façon de représenter les termes de la suite.

[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"163","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"555","typeof":"foaf:Image","width":"791"}}]]

Solution

Question 1

Résolution

Les dix premiers termes de $u$ vont de $u_1$ à $u_{10}$. Même s'il est possible de définir $u_0$ et pourquoi pas $u_{-1}$ ainsi que tout indice entier relatif, l'essence de la définition tient dans la déclaration et non les possibilités. La déclaration s'est faite par l'expression $(n\geq 1)$ et c'est à partir de cette donnée que l'on cherche le premier terme. On peut se permettre pour si peu de valeurs de les calculer à la main, soit directement: \[ u_n=2n-7 \] ou par la relation de récurrence: \[ \begin{aligned} u_{n+1} & = 2(n+1)-7 \\ & =2n-7+2 \\ & =u_n+2 \end{aligned} \] On passe d'un terme à l'autre en ajoutant 2. Puisque $(u_1=-5)$ on obtient: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \\ u_n & -5 & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 \\ \hline \end{array} \] Puis vient la suite $v$ définie par: \[ v_n = u_{n-1}+3 \] L'erreur dans l'énoncé est évidente, on ne peut définir ni $v_0$, ni $v_1$. Ainsi $v$ existe à partir de $v_2$ et les dix premiers termes vont jusqu'à $v_{11}$ puisque $(11-2=9)$ ce qui donne 9 étapes, et il y a toujours un terme de plus que le nombre d'étapes. Le terme $v_n$ est lié à $u_{n-1}$ par une addition de 3. Ainsi il suffit de reprendre le tableau précédent et d'ajouter 3 à chaque terme dans la seconde ligne. Et l'on ajoute 1 sur la première ligne pour signifier le changement d'indice (on passe de $n$ à $(n-1)$ ) d'où: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n &  2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline \\ v_n & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 15 \\ \hline \end{array}\] A présent si l'on compare directement $u_n$ à $v_n$ on trouvera aussi un lien, une lecture directe des deux tableaux montre qu'il pourrait s'agir de: \[ v_n = u_n +2 \] En effet: \[ \begin{aligned} v_n & = u_{n-1}+3 \\ & = 2 (n-1) -7 + 3 \\ & = 2n-7 + 1 \\ & = u_n +1 \end{aligned} \] Cette formule nous permet de répondre de la manière la plus simple à la question sur la transformation géométrique. Pour un entier $n$ donné nous avons une relation entre $u_n$ et $v_n$, soit une relation entre les points de coordonnées $(n\, ; u_n)$ et $(n\, ; v_n)$. Pour une même abscisse, nous construisons deux points et l'écart entre leurs ordonnées respectives vaut 1: \[ v_n - u_n =1 \] Ceci est vrai pour tout entier $n$. Le résultat que nous énonçons s'applique donc pour les graphes de ces suites. Un graphe est un ensemble de la forme : \[ \{ M ( n\, ; u_n ) \quad n\in \mathbb{N} \} \] Ce qui se traduit par: l'ensemble des points $M$ du plan dont l'abscisse est un entier et l'ordonnée le terme de la suite $u$ associé. Ici, le graphe de $v$ se déduit par une translation de celui de $u$ dont le vecteur est vertical, plus précisément: \[ (0\, ; 1) \] Nous pouvons énoncer un résultat similaire directement depuis la définition de $v$. Puisque: \[ v_n = u_{n-1} +3 \] il y a un lien entre le terme d'indice $(n-1)$ pour $u$ et $n$ pour $v$. La translation possède une composante horizontale égale à 1, et verticale égale à 3.

Graphique

Nous plaçons le graphique, bien qu'il soit recommandé lors de la résolution de le produire en premier pour mieux approcher la solution. De plus, rappelons qu'une suite peut se voir comme restriction d'une fonction à la partie $\mathbb{N}$ incluse dans $\mathbb{R}$. Ce qui signifie que pour la construire, il suffit de savoir placer la courbe associée à la fonction $(x \mapsto 2x-7)$. Les valeurs aux abscisses entières sont les termes $u_n$ recherchés. De même pour $v$ avec la fonction translatée $(x \mapsto 2x-6)$, on pourra faire le lien avec la section impliquée du chapitre 2 sur les changements de variables, pour mieux apprécier le style différent lorsqu'on traite de ce sujet du point de vue des suites, où le caractère discret modifie la perception du lien entre $u$ et $v$. Le discret est ici le nom donné à cette séparation entre chaque élément de la suite.

Ci-dessous, le graphique représente en pourpre la droite d'équation $(x \mapsto 2n-7)$, les points dessinés en noir sont donc ceux qui composent le graphe de $u$ et les bleus ceux issus du graphe de $v$. Le décalage d'une unité est représenté en pointillé.

{C}[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"164","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"1205","typeof":"foaf:Image","width":"732"}}]]

Remarque

Les suites $u$ et $v$ possèdent un pas régulier, elles font partie de la famille des suites arithmétiques: \[ \begin{cases} u_{n+1} & = u_n +2 \\ u_1 & = -5 \end{cases} \] Et: \[ \begin{cases} v_{n+1} & = v_n +2 \\ v_2 & = -2 \end{cases} \] Le même lien existe entre un terme et le suivant, mais puisque nous partons de termes initiaux différents, les deux suites sont entièrement distinctes sur tout $\mathbb{N}$. Leur forme explicite est: \[ u_n = 2n-7 \qquad v_n = 2n-6 \]

Question 2

(a) Premiers termes

Calculons les termes de $u$ et de $v$, ceux de $w$ s'en déduisent par soustraction. Tout d'abord $u$ est la suite des entiers qui sont des carrés, mais ils ne sont pas numérotés dans l'ordre. Le premier entier qui soit un carré est zéro mais il n'est pas pris en compte. Le terme d'indice zéro est lié au premier carré non nul. Puis le reste s'enchaîne normalement. Ainsi, on ne lit pas $u_n=n^2$ mais plutôt on applique un changement d'indice décalé vers l'avant: $u_n = (n+1)^2$. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ u_n & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 \\ \hline \end{array}\] Quant à la suite $v$ il s'agit des carrés augmentés de 1. Cette fois-ci zéro est pris en compte: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ v_n & 1 & 2 & 5 & 10 & 17 & 26 & 37 \\ \hline \end{array}\] Pour obtenir $w$ visuellement on aligne les deux tableaux et on soustrait à $u_n$ la quantité $v_n$ pour chaque colonne $n$: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ w_n & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ \hline \end{array}\] Il semblerait que $w$ soit la suite des nombres pairs, mais un constat ne vaut pas une preuve: \[ \begin{aligned} w_n & = u_n - v_n \\ & = (n+1)^2 - \left( n^2+1 \right) \\ & = n^2+2n+1 - n^2 -1 \\ & = 2n \end{aligned} \]

(b) Comparaison des suites

La comparaison peut se faire en différenciant les termes généraux de $u$ et $v$. On compare leur valeur d'un point de vue de l'écart, soit la distance qui les sépare pour deux termes de même indice. Il peut s'agir aussi d'un rapport entre les termes pour estimer la taille d'un terme en fonction de l'autre. Ici nous avons: \[ u_n-v_n= w_n=2n \] Ainsi l'écart entre deux termes $u_n$ et $v_n$ est proportionnel à $n$ d'un facteur 2. Pour le rapport: \[\begin{aligned}  \frac{u_n}{v_n} & = \frac{(n+1)^2}{n^2+1} & = 1+\frac{2}{n+1/n} \end{aligned} \] On peut le mettre sous la forme: \[ u_n = \left( 1 + \frac{2}{\delta_n} \right) v_n \] Les deux termes sont liés par un facteur sous forme d'une somme. Elle indique que le terme $u_n$ vaut $v_n$ additionné à une quantité supplémentaire. Plus $n$ devient grand et plus $\delta_n$ aussi. Ainsi la fraction $(2/\delta_n)$ diminue en valeur et tend vers zéro plus précisément. Quand $n$ tend vers l'infini les termes $u_n$ et $v_n$ ont tendance à s'approcher toujours plus au point qu'on peut approximer lorsque $n$ est grand: \[ u_n \approx (1+\varepsilon) v_n \] où le nombre $\varepsilon$ majore la fraction $2/\delta_n$. Puisqu'elle ne fait que diminuer, on se permet de la majorer par un nombre ne dépendant pas de $n$, et qui est aussi petit que l'on veut à condition d'aller chercher toujours plus loin. Les termes $u_n$ et $v_n$ ne se valeront jamais mais ils seront en comparaison de leur valeur assez proches. Ce qui peut paraître paradoxal quand on lit la différence: \[ u_n-v_n=2n \] puisque l'écart qui sépare deux termes est toujours plus grand. C'est juste que l'écart entre un terme $u_{n+1}$ et $u_n$ ainsi que $v_{n+1}$ et $v_n$ l'est tout autant.

Si l'on compare $w_n$ à $u_n$, il suffit de reprendre le lien entre les trois suites pour écrire: \[ u_n-w_n = v_n = n^2+1 >0 \] La différence est strictement positive pour tout entier $n$, donc chaque terme $u_n$ est strictement plus grand que chaque terme $w_n$. On dit que la suite $u$ majore $w$ sur tout $\mathbb{N}$, il arrive parfois qu'une suite en majore une autre uniquement sur quelques entiers. Le rapport donne: \[ \frac{u_n}{w_n} = 1+\frac{1}{2} (n+1/n) \] Les deux suites n'ont pas une valeur qui finit par se ressembler, au contraire, $u$ devient toujours plus imposante par rapprt à $w$. Le membre de droite sur l'équation ci-dessus est une somme. L'entier 1 indique que $u_n$ vaut au moins une fois $w_n$. Le nombre à droite tend à ressembler à la moitié de l'entier $n$. En effet, la valeur de $1/n$ comparée à $n$ devient toujours plus négligeable au fut et à mesure qu'on augmente la valeur de $n$, ils sont inversement proportionnels pour être plus précis. Ainsi lorsque $n$ devient grand, on écrit: \[ \frac{1}{2} (n+1/n) \approx \frac{1}{2} n \] de la même façon que lorsqu'on considère un milliard augmenté de un milliardième, dont on prend la moitié, cela est presque égal à la moitié d'un milliard.

(c) Comparaison entre termes

Après avoir mis en relation un terme de la suite $u$ avec celui de la suite $v$ de même indice, nous observons ce qu'il en est au sein d'une même suite. On compare les termes de $u$ entre eux, plus particulièrement nous recherchons le lien entre un terme et le suivant, pour comprendre le pas de la progression: \[ \begin{aligned} u_{n+1} & = (n+1+1)^2 \\ & = n^2+4n+4 \\ & = n^2+2n+1+(2n+3) \\ & = (n+1)^2+(2n+3) \\ & = u_n + (2n+3) \end{aligned} \] Plusieurs conclusions apparaissent, d'abord le signe de l'écart: \[ u_{n+1}-u_n > 0 \] nous enseigne que la suite est croissante. Le terme qui suit est toujours plus grand. De plus nous connaissons l'expression de cet écart: \[ 2n+3 \] nous voyons dans la suite du cours qu'il s'agit d'une progression arithmétique. Certes l'écart est toujours plus grand, et on peut dire mieux: il progresse à pas constant. A chaque nouveau saut d'étape, on ajoute deux untiés supplémentaire par rapport au saut précédent.

[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"165","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"591","typeof":"foaf:Image","width":"496"}}]]

De même pour $v$ et $w$ on trouve: \[ \begin{aligned} v_{n+1} & = (n+1)^2+1 \\ & = n^2+(2n+1)+1 \\ & = v_n + (2n+1) \end{aligned} \] La différence entre un terme et son suivant pour $v$ perd deux unités en comparaison à la différence entre les termes de $u$. Mais la nature est la même, il s'agit d'un décalage de type affine, comme pour les fonctions de la forme $(ax+b)$ nous avons ici $(an+b)$. Quant à la progression elle-même, on dit qu'elle est de type quadratique car dépendant du carré de la variable $n$.

On a pour $w$ une différence constante, alors que la progression est elle linéaire: \[ w_{n+1}-w_n = 2(n+1)-2n=2 \] On apprendra sur le cours des dérivées ce lien entre progression et différence de manière plus ciblée autour d'un point. On peut assimiler la différence entre deux termes d'une suite comme une notion de dérivée adaptée aux suites.

(d) Expression

Puisque: \[ u_{n+1}-u_n = 2n+3 \] et que: $w_n=2n$, on obtient en combinant ces deux résultats: \[ w_n=u_{n+1}-u_n-3 \] De même: \[ w_n=v_{n+1}-v_n-1 \] On peut aussi écrire $w_n$ en fonction d'un seul terme de la suite $u$ en posant: \[ w_n=2\sqrt{u_{n-1}} \qquad \forall n > 0 \]

Solution

Question 1 - Récurrence linéaire

Pour se faire une idée de la progression d'une suite, rien de tel que le calcul des premiers termes: \[ u_1=-2u_0 \quad u_2=4u_0 \quad u_3=-8u_0 \quad u_4=16u_0 \] Un raisonnement par descente nous donne: \[ u_n=(-2)^n u_0 \] Tous les termes de la suite dépendent directement de $u_0$. Etant la forme de l'expression (un produit) il est bon de distinguer l'étude suivant la nullité et le signe de ce premier terme.

Si $(u_0=0)$ alors tous les termes de la suite sont nuls et $u$ est qualifiée de constante. Si $(u_0>0)$ alors le signe de $u_n$ dépend de celui de la puissance de $-2$. En fait, il en est de même dès que $u_0$ est non nul, il n'est pas utile de distinguer les signes. La suite n'a pas de monotonie, son signe est alterné. Il n'est donc pas utile de comparer $u_{n+1}$ à $u_n$.

On parle de récurrence car le calcul de $u_{n+1}$ s'exprime en fonction de la seule variable $u_n$ et elle est linéaire car: \[ u_{n+1} = f(u_n) \] où la fonction $f$ est linéaire: $f(x)=2x$.

Question 2 - Récurrence quadratique

Dans ce cas la fonction $f$ est quadratique: $f(x)=x^2$. Les premiers termes s'expriment ainsi: \[ u_1=u_0^2 \quad u_2=u_0^4 \quad u_3=u_0^8 \quad u_4=u_0^{16} \] Tous les termes sont des puissances du premier. Plus précisément on a: \[ u_n = u_0^{2^n} \] Encore une fois, il s'agit de produits, on vérifie les cas de nullité puis suivant le signe.

Si $u_0$ alors tous les termes sont nuls. La suite $u$ est constante.

Si $(u_0>0)$ alors $(u_n>0)$ pour tout $n$. Mais cela n'indique rien sur la monotonie si ce n'est qu'il peut y en avoir une. Pour tout $n$ on compare $u_{n+1}$ et $u_n$, c'est-à-dire un nombre et son carré. Or le chapitre 2 nous apprend qu'il y a deux cas stricts:

1. $u_n>1$. Dans ce cas le carré est strictement plus grand que le nombre. Alors: $u_{n+1}>u_n$.
2. $0<u_n<1$. C'est la situation inverse: $u_{n+1}<u_n$.

Seulement le résultat dépend de la position de $u_n$ par rapport à 1. Rien ne dit que pour tout $n$ nous aurons cette configuration. En effet, pour conclure sur une monotonie il faut donner un résultat pour tout $n\in \mathbb{N}$ ou au moins à partir d'un certain rang. Pour lever la difficulté, nous faisons remarquer le résultat suivant: \[ u_0>1 \quad \Rightarrow \quad \forall p \; \; u_0^p >1 \] Si le premier terme est au dessus de 1 alors tous les autres aussi. De même si $u_0$ est compris entre 0 et 1 alors tous les autres le seront. Finalement nous avons pour le cas $(u_0>0)$ trois possibilités: ou bien $(u_0>1)$ et alors la suite est strictement croissante. Ou bien $(0<u_0<1)$ et alors elle est strictement décroissante. Reste la situation $(u_0=1)$ où $u$ est constante égale à 1.

Si $(u_0<0)$ alors l'astuce pour s'éviter le moindre calcul consiste à écrire: $u_1=u_0^2$. Et voir que tous les termes de la suite $u$ s'expriment en fonction de $u_1$ qui est strictement positif: \[ u_n=u_1^{2^{n-1}} \] De plus $u_1$ est strictement positif et on a les trois mêmes possibilités que précédemment que l'on rattache à $u_0$ de la manière suivante:

1. Si $(u_0<-1)$ alors $u$ devient strictement croissante à partir du rang 1.
2. Si $(u_0=-1)$ alors $u$ est stationnaire à partir du rang 1.
3. Si $(-1<u_0<0)$ alors $u$ devient strictement décroissante à partir du rang 1.

Question 3 - Formule explicite

Ici chaque terme dépend directement de son indice, $u$ est la fonction cubique restreinte aux seuls entiers naturels. Nous savons que la fonction $(x \mapsto x^3)$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Il en est de même pour toute restriction du moment que les termes sont pris dans l'ordre. Il n'est pas utile de former un calcul mais pour information, l'écart grandit à la vitesse quadratique: \[ u_{n+1}-u_n = 3n^2+3n+1 \]

Question 4 - Suite dépendant d'une autre suite.

Tout d'abord, rappelons que l'objectif est l'étude de la monotonie de $u$ et rien d'autre. Pour simplifier, nous voyons que retirer 1 à chaque terme ne change pas une monotonie. Ainsi on peut se contenter d'étudier la suite de terme général $\sqrt{v_n}$. De plus la fonction racine carrée est définie sur tout $\mathbb{R}^+$ et tous les termes de $v$ sont supposés positifs, ce qui implique la bonne définition de $u$. Ceci étant dit, la fonction racine carrée a la particularité d'être strictement croissante. Nous avons vu au chapitre 2 que composer avec une telle fonction conserve entièrement la monotonie de la première. Ainsi étudier $u$ revient à étudier $v$. Elles ont même monotonie.

Solution

Question 1- Premiers termes d'une suite géométrique.

Exemple 1

$(u_0=2)$ et $(q=3)$. La raison vaut 3, donc chaque terme est le triple du précédent, et l'on démarre à partir de 2: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & 2 & 6 & 18 & 54 & 162 & 486 & 1458 & 4374 & 13122 & 39366 \\ \hline \end{array} \] On montre dans la suite du cours la formule: \[ u_n=q^n \times u_0 \] qui dans ce cas vaut: \[ u_n=2 \times 3^n \]

Exemple 2

$(u_0=-1)$ et $(q=2)$. La raison vaut 2, donc chaque terme est le double du précédent, et l'on démarre à partir de -1: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & -1 & -2 & -4 & -8 & -16 & -32 & -64 & -128 & -256 & -512 \\ \hline \end{array} \] Ici le terme général s'exprime ainsi: \[ u_n=-2^n \] C'est la suite opposée à la suite des puissances de 2.

Exemple 3

$(u_0=10)$ et $(q=1/4)$. La raison vaut un quart, donc chaque terme est le quart du précédent, dit inversement un terme est le quadruple du suivant. Et l'on démarre à partir de 10: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & 10 & \frac{5}{2} & \frac{5}{8} & \frac{5}{32} & \frac{5}{128} & \frac{5}{512} & \frac{5}{2048} & \frac{5}{8192} & \frac{5}{32768} & \frac{5}{131072} \\ \hline \end{array} \] dans ce cas: \[ u_n=10 \times \left( \frac{1}{4} \right)^n = \frac{5}{\displaystyle 2^{2n-1}} \]

Question 2 - Calcul de la raison d'une suite géométrique.

On sait que $u_3$ vaut 25 et on sait aussi le relier à $u_1$ en appliquant deux fois de suite la définition d'une suite géométrique: \[ u_3=q \, u_2=q \, (q \, u_1) = q^2 \, u_1 \] Et on sait que $u_1$ vaut 5, d'où une équation dont la seule inconnue est celle que l'on recherche: \[ q^2=5 \] Il y a deux possibilités: \[ q=\pm \sqrt{5} \] Une seule est positive. Ce qui donne une seule solution: $q=\sqrt{5}$. Le premier terme vérifie: \[ u_1=q \, u_0 \] D'où: $u_0=\sqrt{5}$. Si l'on avait supposé $(q \leq 0 )$ alors ce serait l'opposé de la racine carrée de 5. Et le premier terme serait aussi l'opposé.

Question 3 - Exemple d'une suite géométrique qui n'est pas monotone.

Soit un entier $n$ quelconque: \[ u_{n+1}=(-1)^{n+1}=-1 \times u_n \] Ceci est l'expression d'une suite géométrique. Tous les termes de la suite sont reliés au suivant par une expression faisant intervenir une constante. Il est essentiel de trouver comme résultat une constante, par exemple: \[ u_{n+1}=(n+1) \times u_n \] ne représente pas une suite géométrique, le passage d'un terme à l'autre ne se fait pas avec la même raison. La conclusion est que $u$ définie dans la question est géométrique de premier terme 1 et de raison -1. On dit aussi qu'elle est alternée en raison d'un changement de signe à chaque étape. Et périodique car elle reproduit le même enchaînement $\{-1\, ; 1\}$. En deux étapes on revient à la même position, soit une période égale à 2.

Question 4 - Algorithme de calcul des termes d'une suite géométrique.

Cet algorithme est exposé dans la rubrique consacrée /livre/suite-géométrique il faut par contre modifier la fonction pour permettre à l'utilisateur d'indiquer combien de termes $N$ il veut dans son tableau. La structure générale est la suivante, en nommant $G$ la fonction prenant en argument un nombre $q$, un autre $u_0$ puis un entier $N$ et renvoie l'unique tableau rassemblant dans l'ordre les $N$ premiers termes de la suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$:

$G(q,u_0,N)$

Initialiser $u$ Tableau $N$ éléments, premier indice 0

$u[0] \leftarrow u_0$

Pour $i$ de 1 à $N$ Faire

$u[i] \leftarrow q \times u[i-1]$

FinPour

Afficher $u$

Solution

Question 1 - Trouver un terme à partir du premier et de la raison.

On applique la propriété 3.3: \[ u_{10}=q^{10}\, u_0=\frac{1}{\displaystyle 2^{10}} \times 1024 \] Or 1024 est la puissance dix de 2, d'où: \[ u_{10}=1 \]

Question 2 - Trouver la raison à partir de deux termes.

On a: \[ u_4 = q^4\, u_0 \] En exploitant les deux hypothèses $(u_0=3)$ et $(u_4=75)$ on trouve l'équation: \[ q^4=25 \] L'extraction de la racine carrée dans les deux membres montre que: \[ q^2=\pm 5 \] Or $q^2$ est positif, donc seule la valeur positive sera prise en compte. En revanche on garde les deux possibilités pour la nouvelles extraction: \[ q= \pm \sqrt{5} \] Il y a donc deux solutions qui satisfont au problème. Ceci est récurrent dans les problèmes de recherche de signe. Si une puissance paire intervient, elle occulte le signe, et si c'est une puissance impaire alors le signe sera mis en évidence.

Question 3 - Trouver la raison et le premier terme à partir de deux autres.

Nous montrons par l'exemple la propriété 3.4 qui suit dans le cours: \[ u_5=q^5\, u_0 \qquad u_2=q^2\, u_0 \] Si la raison est nulle alors tous les termes deviennent nuls, ce qui n'est pas le cas, donc $(q\neq 0)$. On peut diviser par ce nombre et se servir de \[ u_0= \frac{1}{q^2} u_2 \] Ce qui permet de relier $u_5$ à $u_2$: \[ u_5=\frac{q^5}{q^2}\, u_2=q^3\, u_2 \] En remplaçant ce deux termes par leurs valeurs respectives on trouve: \[ q^3=\frac{1}{8} \] Comme précisé à la question 2, lorsque la puissance est impaire, il y a une seule possibilité. D'un point de vue analytique, cela revient à traiter une fonction strictement monotone telle que $(x \mapsto x^3)$. La raison $q$ vaut un demi et permet de remonter au premier terme: \[ u_0=\frac{1}{q^2}\, u_2=2^2\times 8=32 \]

Question 4 - Caractériser une suite géométrique dont un terme est nul.

Soit $N$ l'entier pour lequel $u$ s'annule. Or la propriété 3.3 donne: \[ u_N=q^N\, u_0=0 \] Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Ou bien $u_0$ est nul, et dans ce cas puisque pour tout entier $n$ on a $u_n$ qui est un produit dont $u_0$ est l'un des facteurs (Toujours la propriété 3.3 mais appliquée à tous les termes de la suite) alors tous sont nuls et la suite $u$ est la suite nulle. Et tout est possible quant à la valeur de $q$.

Ou bien $q^N$ est nul et dans ce cas peu importe la valeur de $N$ on a toujours une unique solution à cette équation qui est $(q=0)$. Toutes les valeurs sont possibles pour $u_0$, et la suite $u$ devient stationnaire dès le rang 1 égale à 0.

Solution

Question 1 - Premier terme négatif et raison positive.

Par exemple $(u_0=-1)$ et $(q=1)$ vérifient les conditions. Tous les termes sont égaux à $u_0$.  Dans le cas plus général où $q$ est strictement positif il vient que toutes ses puissances le sont. Ainsi le facteur $q^n$ ne modifie par le signe de l'expression $q^n\, u_0$ qui vaut $u_n$ dont nous étudions le signe. On en conclut que tous les termes adoptent le même signe que l'autre facteur qui est $u_0$. La conclusion se formalise: \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad u_n < 0 \]

Question 2 - Premier terme positif et raison négative.

Puisque $(q<0)$  les puissances paires seront strictement positives et les autres à l'opposé: \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad \begin{cases} q^{2n} & >0 \\ q^{2n+1} & <0 \end{cases} \] Il reste à multiplier ce résultat à un nombre $u_0$ strictement positif, donc qui ne modifie en rien le résultat: \[ \begin{cases} u_{2n} & >0 \\ u_{2n+1} & <0 \end{cases} \]

Question 3 - Premier terme et raison négatifs.

Identique à la question précédente sauf si le dernier argument, le fait que $u_0$ soit strictement négatif rend les résultats opposés: \[ \begin{cases} u_{2n} & <0 \\ u_{2n+1} & >0 \end{cases} \]

Question 4 - Algorithme de calcul d'un terme à partir d'un autre terme et de la raison.

L'algorithme se nomme $T$ et prend quatre arguments: un nombre $a$, un entier $p$ pour indiquer la position de $a$ dans la suite, un entier $q$ précisant la raison de la progression géométrique, et enfin $N$ un entier identifiant l'indice du terme à calculer. L'algorithme direct appliquant à la lettre la propriété 3.4 est un simple calcul suivi de l'affichage du résultat:

$T(a,p,q,N)$

Afficher $q^{N-p} \times a$

Fin

Seulement le calcul peut devenir très lourd si la différence $(N-p)$ est grande. Le programme aura à effectuer autant de multiplications moins une. Nous faisons appel à une procédure intermédiaire qui redéfinit le calcul d'une puissance et nous la nommons $\text{Puiss}(q,x)$ où $q$ est le nombre à élever à la puissance l'entier $x$. L'astuce consiste à décomposer $x$ suivant sa division euclidienne par 2. En effet, supposons que nous calculions $q^{10}$. La méthode directe demande à poser 9 multiplications: \[ q \times \ldots \times q \] Le programme se charge de trouver le résultat à $q\times q$ et il le multiplie à $q$ et ainsi de suite. Alors qu'il existe une autre méthode, on créé une variable intermédiaire $z$: \[ q \leftarrow q\times q \] Puis on passe directement à $q^4$ en calculant: $z \times z$ On peut pour l'instant écrase la valeur de $z$ en lui assignant ce nouveau résultat: \[ z \leftarrow z \times z \] Ainsi l'adresse mémoire $z$ reçoit la valeur de $q^4$. On modifie à nouveau par le procédé: $ z \leftarrow z \times z $. La valeur sauvegardée est $q^8$. Pour arriver à $q^{10}$ il nous suffit d'utiliser la valeur de $q^2$ mais puisqu'on l'a ecrasé il faut la recalculer. L'idée consiste alors à conserver cette valeur au début dans une autre variable $y$ par exemple. Nous reviendront plus en détail sur ce genre d'algorithme dans la rubrique consacré, il s'agissait avant tout de sensibiliser aux techniques d'économies dans le calcul.

Question 5 - Algorithme de calcul du signe de n'importe quel terme.

Il y a la méthode directe qui consiste à calculer la valeur du terme d'indice $N$ avec la propriété 3.4 mais dont le défaut est qu'elle lance un calcul que nous n'exploitons que pour son signe. L'idée est ici de remplacer les vraies valeurs par d'autres plus simples, et le calcul effectué devient rapide quelque soit les données entrées. On introduit dans l'algorithme deux variables $X$ et $Y$ qui prendront soit la valeur $+1$ soit la valeur $-1$. On effectuera le produit $XY$ et le signe recherché est celui du nombre: \[ q^{N-p} \times a \] On lance la fonction $S$ avec comme entrées $(a,p,q,N)$. On associe à $X$ la valeur $+1$ si $(a>0)$ et $-1$ si $(a<0)$. Il y a un travail supplémentaire à effectuer pour $\displaystyle q^{N-p}$. Si la différence $(N-p)$ est paire alors on associe à $Y$ la valeur $+1$. Sinon il faut vérifier le signe de $q$ qui est le même que sa puissance. L'objectif est de remplacer le calcul du nombre $(q^{N-p} \times a)$ qui peut s'avérer long par celui-ci: \[ \pm 1 \, \times \pm 1 \] qui est immédiat:

$S(a,p,q,N)$

Si $(a=0\, $ ou $\, q=0)$ Alors

Afficher "Le terme est nul"

Sinon

Si $(a>0)$ Alors $(X \leftarrow 1)$ Sinon $(X \leftarrow -1)$ FinSi

Si $(N-p)$ EstPair Alors $(Y \leftarrow 1)$

Sinon

Si $(q>0)$ Alors $(Y \leftarrow 1)$ Sinon $(Y \leftarrow -1)$ FinSi

FinSi

FinSi

Renvoyer Signe$(X \times Y)$

On utilise une fonction Signe qui vérifie le signe d'un nombre donné directement. Et une fonction EstPair qui indique si un nombre est pair. On les retrouve dans tous les langages informatiques.

Solution

<à suivre, n'hésitez pas à commenter pour obtenir le corrigé>

Solution

<à suivre>

Solution

<à suivre>

Solution

<à suivre>

Solution

<à suivre>