Exercice 2.5 - Valeur absolue et inégalités

Solution

Question 1 - Distance entre deux nombres inférieure à un réel donné.

Résoudre une inéquation de la forme $f(x)\leq g(x)$ c'est chercher l'ensemble des abscisses $x$ sur $\mathbb{R}$ dont l'image par $f$ est plus petite que celle par $g$. C'est-à-dire chercher les parties de la courbe liée à $f$ qui sont sous celle de $g$. La fonction $f$ définie par $fx)=\left| x-a\right| $ est  la valeur absolue décalée par une translation horizontale de vecteur $(a\, ; 0)$. Dit autrement, il suffit de tracer la fonction valeur absolue en prenant comme origine le point $(a\, ;0)$. La fonction $g:x\mapsto \delta$ est constante, sa courbe est une droite horizontale. La résolution du problème : \[ |x-a| \leq \delta \] consiste à trouver l'ensemble des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés sous la "barre" $\delta$. Comme nous l'avons vu dans le cours, on peut aussi interpréter cela de manière géométrique. L'inéquation est vérifiée par l'ensemble des $x$ éloignés de $a$ d'une distance inférieure ou égale à $\delta$. L'ensemble solution $S_1$ est donc le segment centré en $a$ et de longueur $2\delta$ puisque la distance entre $a$ et chaque extrémité vaut $\delta$ . \[ S_1 = [ a-\delta\, ; a+\delta] \] Le fait que $\delta$ soit strictement positif montre que le segment est non vide et même non réduit au singleton $a$. Ce résultat est valable pour tout $a$ réel.

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Question 2 - Distance entre deux nombres inférieure à un réel donné.

Soit $S_2$ l'ensemble des solutions de l'inéquation : $f(x)>g(x)$. Les deux inéquations dont les solutions sont $S_1$ et $S_2$ forment une disjonction des cas. Tout réel $x$ vérifie ou bien la première ou bien la deuxième. Non seulement il en vérifie une, mais en plus il ne peut en vérifier qu'une. On en conclut : \[ S_1 \cup S_2 = \mathbb{R} \] d'après le fait que tout réel $x$ vérifie au moins l'une des deux. Et : \[ S_1 \cap S_2 = \emptyset \] du fait qu'aucun réel ne peut vérifier les deux. D'où le résultat : \[ S_2= ] -\infty\, ; a-\delta [ \; \cup \; ] a+\delta\, ; +\infty [ \] Résoudre $f(x)\geq g(x)$ consiste à réunir les solutions des deux problèmes : \[ f(x) > g(x) \qquad f(x)=g(x) \] Quant à la première inéquation, les solutions sont les éléments de $S_2$. Il reste à déterminer les réels vérifiant l'égalité: \[ |x-a| = \delta \] Les deux réels situés à une distance $\delta$ du nombre $a$ sont $(a-\delta)$ et $(a+\delta)$. On remarquera qu'il s'agit bien de la frontière entre $S_1$ et $S_2$. D'où l'ensemble $S_3$ cherché : \[ S_3 = ]-\infty\, ; a-\delta] \, \cup \, [a+\delta\, ; +\infty [ \]

Question 3 - Système d'inéquations avec valeur absolue.

On applique les résultats trouvés pour $(a=5\, ; \delta=2)$ en prenant $S_1$ et $(a=1\, ; \delta=3)$ en prenant $S_3$. Un système impose l'intersection entre les ensembles solutions de chaque inégalité. D'où l'ensemble : \[ ]3\, ; 7[ \quad \cap \quad ]-\infty\, ; -2] \, \cup \, [ 4\, ; +\infty [ \] Ce qui donne: $[4\, ; 7[$. Il s'agit de l'ensemble des réels situés à une distance inférieure stricte à 2 du nombre 5 et supérieure à 3 du nombre 1. L'entier 4 est compris et 7 est exclu. L'idéal dans la résolution est de vérifier géométriquement en superposant deux droites graduées pour chaque inégalité.

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Question 4 - Système de valeurs absolues avec 4 paramètres.

L'ensemble solution de l'inégalité : \[ |x-a| < \delta \] est d'après la question 1 : \[ S_1 = ] a-\delta\, ; a+\delta [ \] Puis l'ensemble $S_2$ solution de l'autre inégalité est : \[ S_2 = ] -\infty\, ; b-\lambda [ \; \cup \; ] b+\lambda\, ; +\infty [ \] L'hypothèse $(\delta>0)$ permet d'affirmer que quelle que soit la valeur de $a$ l'ensemble $S_1$ est non vide. L'hypothèse $(\lambda>0)$ n'a aucun intérêt particulier si ce n'est de situer $\lambda$ plus précisément. Mais cela ne change rien à la nature des ensembles $S_2$ possibles. Nous pourrions conclure que l'ensemble solution $S$ du système est l'intersection entre $S_1$ et $S_2$ mais soyons plus précis sur les diverses configurations.

Etude détaillée

Pour construire $S_1$ nous prenons les points autour de $a$ d'une distance plus petite que $\delta$. Pour $S_2$ il s'agit au contraire de considérer ceux qui sont suffisamment éloignés de $b$ d'une distance $\lambda$. Il y a quatre paramètres dans ce problème: $a,b,\delta,\lambda$. Pour simplifier, supposons que $b$ soit fixé n'importe où, ce qui n'enlève rien à la généralité du problème. Nous faisons se déplacer $a$ sur toute la droite réelle pour conserver l'aspect général. Cette manière de procéder, nous l'appliquons car après observation du dessin ci-dessous, il apparaît que l'ensemble $S_2$ lié à $b$ possède deux branches de longueurs infinies, alors que pour toute valeur de $\delta$ l'ensemble $S_1$ sera borné, c'est-à-dire de longueur finie.

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$a$ est loin de $b$

Lorsque $a$ est suffisamment loin de $b$ au point que la longueur $\delta+\lambda$ ne suffit pas à les joindre alors tout l'ensemble $S_1$ est inclus dans $S_2$. Et puisque nous en prenons l'intersection, le résultat est : \[ S=S_1 \] Ceci se produit lorsque la distance $|b-a|$ est supérieure stricte à $\delta+\lambda$. Mieux, les deux ensembles $S_1$ et $S_2$ sont ouverts. Si la distance $|b-a|$ vaut exactement $\delta+\lambda$ alors le résultat reste inchangé. D'où : \[ |b-a| \leq \delta+\lambda \iff S=S_1 \] Il existe une configuration où $a$ est à gauche de $b$ que nous exposons ci-dessous, et une autre où $a$ est à droite de $b$. On remarquera qu'il importe peu de comparer ici $\delta$ et $\lambda$. Ce qui diffère de la situation suivante.

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$a$ est proche de $b$

Il reste à traiter le cas manquant, lorsque $a$ et $b$ sont plus proches l'un de l'autre que la somme $\delta+\lambda$. Tout d'abord en faisant venir $a$ de la gauche de $b$ jusqu'à ce que $S_1$ comporte des éléments qui ne sont pas dans $S_2$ il existe une configuration où cela se fait sans que $S_1$ ne touche la partie droite de $S_2$. Et ceci est valable quelque soit les valeurs de $\delta$ et $\lambda$. Le dessin ci-dessous illustre la situation avec $a$ à l'intérieur du segment exclu par $S_2$, c'est-à-dire lorsque $\delta$ est strictement plus petit que $\lambda$, ce qui n'est nécessaire, $\delta$ peut être plus grand, la situation reste envisageable. On a : \[ S = ] b-\lambda\, ; a+\lambda [ \]

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Si $(\delta<\lambda)$ alors on peut envisager la possibilité de voir $S_1$ complètement inclus dans le segment $]b-\lambda\, ; b+\lambda[$. Dans ce cas il n'y a pas de solution: $S=\emptyset$ .

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Mais si $(\delta>\lambda)$ alors il y a la possibilité de voir $S_1$ atteindre les deux parties de $S_2$. On aura : \[ S= ] a-\delta\, ; b-\lambda [ \; \cup \; ]b-\lambda \, ; a+\delta [ \]

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Enfin dans tous les cas, $S_1$ finit par n'avoir d'intersection qu'avec la partie droite de $S_2$ sans être entièrement inclus : \[ S = ] b+\lambda\, ; a+\lambda [ \]

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Toutes les situations ont été abordées, il y en a deux principalement. La première fut traité simplement, quant à la deuxième elle contient quatre sous catégories: deux cas qui peuvent se produire quelles que soient les valeurs de $\delta$ et $\lambda$ et deux autres cas suivant que $(\delta>\lambda)$ ou $(\delta<\lambda)$. L'égalité n'apporte rien de nouveau.

Question 5 - L'inconnue est plus proche d'un entier que d'un autre.

Cette fois-ci les deux membres de l'inégalité sont variables et constituent des distances. Fixons $n$ et $m$ en restant dans le cadre général, sans imposer de contrainte dessus. Mieux, l'hypothèse qu'ils sont entiers n'a pas d'importance. Plaçons les sur la droite graduée, il y a trois régions qui se forme, en supposant que $(n<m)$ la région à gauche de $n$ comprend uniquement des réels dont la distance à $n$ est plus petite strictement que celle à $m$. Celle à droite de $m$ ne vérifie pas l'inégalité. Quant au segment $[n\, ; m]$ il y a en lui deux sous parties. En notant $i$ leur milieu, il apparaît que sur $[n\, ; i[$ nous vérifions l'inégalité mais pour pour $[i\, ; m]$. D'où l'ensemble solution : \[ n<m \Rightarrow S_1 = ] -\infty \, ; i [ \] où : $i=\displaystyle \frac{n+m}{2} $ . Si $(n>m)$ alors les rôles entre $n$ et $m$ sont inversés, on prend le complémentaire de $S_1$ en prenant garde de retirer $i$ car l'inégalité est stricte : \[ S_2 = ]i\, ; +\infty[ \] Enfin si $(n=m)$ alors il n'y a pas de solution car cela revient à résoudre une inégalité de la forme $X<X$. Nous avons raisonner en utilisant notre intuition, ce qui n'est pas complètement rigoureux, bien que le discours soit clair. Voici la formalisation pour le cas $(n<m)$ :

1. Si $(x<n,m)$ alors $(n-x<m-x)$ et chacun est positif, donc cela revient à écrire: $|n-x|<|m-x|$ ce qui est équivalent à l'inégalité de la question. Ainsi, tout réel $x$ plus petit strictement que $n$ et $m$ la vérifie.
2. Si $(x>n,m)$ alors $|x-n|<|x-m|$ revient à écrire $(x-n<x-m)$ c'est-à-dire $(m<n)$ ce qui contredit l'hypothèse $(n<m)$. Il n'y a pas de réel vérifiant l'inégalité se situant à la fois au dessus de $n$ et $m$.
3. Si $(n<x<m)$ alors l'inégalité s'écrit: $(x-n<m-x)$ . Ce qui est équivalent à : \[ x<\frac{n+m}{2}=i \] D'où l'introduction de $i$ et le partage du segment $[n\, ;m]$ .

On donne l'exemple de $S_1$ :

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