Solution

Question A1 - Calcul du vecteur $\overrightarrow{AM_n}$ et de sa norme.

L'abscisse du vecteur vaut : \[ x_{M_n} - x_A \] et son ordonnée est \[ y_{M_n}-y_A \] On a le résultat: \[ \overrightarrow{AM_n} \; \begin{pmatrix} n-7 \\ \frac{2n}{3}+2 \end{pmatrix} \] Le carré de sa norme est donnée par la formule : \[ AM_n^2 = (n-7)^2 + \left( \frac{2n}{3} +2 \right) ^2 \] Ce qui donne: \[ AM_n^2 = 13 \, \left( \frac{n}{3} \right)^2 - 34 \, \left( \frac{n}{3} \right) + 53 \]

Question A2 - Tableau de valeurs

L'idéal si le calcul se fait à la main est d'écrire $AM_n^2$ uniquement avec des entiers en sortant le dénominateur commun : \[ AM_n^2 = \frac{1}{9} (13n^2-102n+477) \] Le tableau est le suivant : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ AM_n^2 & 53 & \frac{388}{9} & \frac{325}{3} & 32 & \frac{277}{5} & \frac{252}{9} & 37 \\ \hline \end{array} \] Il est utile de vérifier les valeurs approchées, cela permet de prendre conscience d'une décroissance suivi d'une croissance des valeurs. La suite des questions consiste à mettre en évidence l'endroit du changement de direction et le lien entre ces longueurs. De plus, il faut toujours conservé à l'esprit que le dessin en préambule doit être complété au fur et à mesure, cela permet de garder un point de vue géométrique, le plus naturel qui soit.

Question A3 - Suite liée à la norme

La suite $u$ représente un dixième du carré de la longueur $AM$ . D'après la question 2, on remarque qu'il s'agit de la restriction aux entiers de la fonction: \[ x \mapsto \frac{1}{90} (13 x^2 - 102 x + 477) \] Le graphe de la fonction est le suivant:

Pour ce qui est de sa restriction aux entiers, on les représente sous forme de bâtonnets:

Question A4 - Propriétés de la suite

La différence vaut: \[ u_{n+1}-u_{n} = \frac{1}{90} (26n-89) \] Elle est de type affine et assez proche de l'expression $(3n-1)$

(a) Croissance

C'est un résultat qu'on lit sur la différence. Soit $n$ un entier, on a l'équivalence: \[ u_{n+1}-u_n \geq 0  \iff n \geq \frac{89}{26} \] Or la fraction trouvée vaut environ $3.4$ et le premier entier à être plus grand que ce nombre est 4. L'équivalence s'écrit alors en remplaçant cette fraction par 4. On en déduit que $u$ est croissante si et seulement si $n$ est plus grand que 4.

(b) Limite et minorant

Le calcul de la limite d'un polynôme consiste à vérifier la limite du terme de plus haut degré. Pour en arriver à une telle propriété on peut écrire  : \[ u_n = \frac{n^2}{90} \left( 13 + \frac{102}{n} + \frac{477}{n^2} \right) \] On commence par analyser l'expression, il s'agit d'un produit. Le premier facteur $\displaystyle \frac{n^2}{90}$ a pour limite $+ \infty$ . Quant au second, il s'agit d'une somme. On calcule la limite de ses trois termes: \[ \lim 13 = 13 \qquad \lim \frac{102}{n} = 0 \qquad \lim \frac{477}{n^2} = 0 \] On additionne les 3 limites car elles sont toutes finies, on trouve 13. Et on multiplie avec la première. Il s'agit d'une forme: \[ + \infty \times 13 \] On multiplie l'infini positif par un nombre strictement positif, cela donne: \[ \lim u = + \infty \] On trouvait directement le résultat en observant le terme de plus haut degré: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{13}{90} n^2 = +\infty \] Puisque $u$ est croissante à partir de $(n=4)$ alors: \[ \forall n \geq 4 \quad u_n \geq u_4 \] Tous les termes sont plus grands que le précédent, et le plus petit est le premier à partir duquel il y a croissance, c'est-à-dire $u_4$ . Ainsi la famille infinie: \[ \{u_4\, ; u_5\, ; u_6 \,; \ldots \} \]  admet un minorant qui est $u_4$ . Il reste les quatre termes: \[ \{ u_0\, ; u_1\, ; u_2\, ; u_3 \} \] Puisqu'ils sont en nombre fini, il est inutile de les étudier, la famille est nécessairement minorée. Il y a toujours un minimum pour un nombre fini de termes. En particulier, on remarque : \[ u_{n+1}-u_n <0 \iff 0 \leq n \leq 3 \] La suite $u$ est strictement décroissante sur les quatre premiers termes. Le minorant sur cette partie est donc $u_3$ . Une comparaison indique : \[ u_4-u_3=\frac{1}{90} (26\times 3-90) < 0 \] Le minimum de la suite est $u_4$

(c) Suite à indices négatifs

Le terme $u_n$ est lié au point $M_n$ qui est le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ associé à l'abscisse $n$ . Rien n'empêche de définir le point $M_n$ et donc le terme $u_n$ aux abscisses entières négatives, et même aux rationnels, ou aux réels. Ce qui dans ce dernier cas revient juste à écrire: $u_x=f(x)$ . On développe $u_{7-n}$ et on trouve: \[ \forall n \in \mathbb{Z} \quad u{7-n} -u_n = 22n-77 \] Si l'on rajoute la condition $(n<4)$ cette quantité est strictement négative. D'où: \[ \forall n<4 \quad u_{7-n} < u_n \] Cette inégalité se traduit par le dessin suivant:

De même : \[ u_{8-n} - u_n = -4n+16 \] qui est strictement positive lorsque $(n<4)$ et dont la représentation géométrique est la suivante :

Fin de la question 4

Solution

Question A5 - Une base adaptée au problème.

Le dessin a été proposé dans la correction de la question A2. Nous le proposons ici avec une grille de taille 1 pour les cases.

(a) Base

On a montré dans le cours que tout couple de vecteurs non colinéaires forment une base du plan. Cela se traduit par la formule: \[ \det \left( \vec{u} \, ; \vec{w} \right) \neq 0 \] pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ . On tient compte ici de $\overrightarrow{M_0A}$ et $\overrightarrow{M_0M_1}$ qui vérifient bien la condition de non colinéarité, on exprime leur déterminant pour le prouver, sachant que les coordonnées sont les suivantes: \[ \overrightarrow{M_0A} \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{M_0M_1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2/3 \end{pmatrix} \] D'où le résultat: \[ \det \left( \overrightarrow{M_0A}\, ; \overrightarrow{M_0M_1} \right) = 7 \times \frac{2}{3} - (-2+1) = \frac{20}{3} \]

(b) Décomposition

En règle générale, une décomposition utilise la relation de Chasles. Elle consiste entre autres à introduire un point, pour savoir lequel il suffit de faire un dessin:

Nous écrivons $\overrightarrow{AM_n}$ en introduisant $M_0$ : \[ \overrightarrow{AM_n} = \overrightarrow{AM_0} + \overrightarrow{M_0M_n} \] On obtient une somme dont le premier élément est un vecteur de la base, il n'y a plus besoin de le modifier si ce n'est de préciser que le sens est opposé à celui de la base: \[ \overrightarrow{AM_0} = -1 \times \overrightarrow{M_0A} \] Ainsi la première coordonnée sera $-1$ . Pour la seconde, nous remarquons que les points $M$ sont placés sur une droite et à des abscisses entières, une application directe du théorème de Thalès donne: \[ \frac{M_0M_1}{M_0M_n} = \frac{1}{n} \] La seconde coordonnée est $n$ : \[ \overrightarrow{AM_n} = (-1) \, \overrightarrow{M_0A} + (n) \overrightarrow{M_0M_1} \] Ceci est valable pour tout entier relatif $n$ .

(c) Calcul de norme et du produit scalaire

Le calcul des normes se fait avec les coordonnées: \[ M_0A = \sqrt{ 7^2 + (-2)^2} = \sqrt{53} \approx 7.28 \] De même pour $M_0M_1$ : \[ M_0M_1 = \sqrt{ 1^2 + \left( \frac{2}{3} \right) ^2 } = \frac{1}{3} \, \sqrt{13} \approx 1.20 \] Le produit scalaire se calcule facilement lorsque les coordonnées sont connues: \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \; | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = 7 \times 1 + (-2) \times \frac{2}{3} = \frac{17}{3} \approx 5.67 \] Si les deux vecteurs étaient colinéaires, le produit scalaire vaudrait le produit des normes, soit : \[ \sqrt{53} \times \frac{1}{3} \times \sqrt{13} \approx 8.79 \]

Question A6 - Encadrement de l'angle $\gamma$

Les formules sont montrées dans le chapitre 7 intitulé "Trigonométrie" : \[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \]

(a) Duplication de l'angle

L'angle $\pi/3$ est le double de $\pi/6$ . Le premier vaut $60^\circ$ et le second $30^\circ$ . Et l'on a montré la formule dite de duplication de l'angle: \[ \cos^2 \theta = \frac{\cos (2\theta) + 1}{2} \] Nous noterons à présent $\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et la formule sera utilisée sous la forme : \[ \cos \theta = \sqrt{ \frac{x+1}{2}} \] où $x$ est le nombre $\cos (2\theta)$ .

(b) Suite d'angles

L'angle $\pi/12$ ( $15^\circ$ en degrés) est la moitié de $\pi/6$ d'où: \[ \cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{2}} \] avec le nombre $a$ défini à la question précédente. Puis l'angle $\pi/24$ ( $7^\circ 30'$ en degrés et minutes) est la moitié de $\pi/12$ avec la même formule, on remplace $x$ par le résultat trouvé pour $\cos (\pi/12)$ et cela donne: \[ \cos \frac{\pi}{24} = \sqrt{ \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{2}} +1}{2}} \] On simplifie l'expression en faisant apparaître le numérateur et dénominateur, sous forme de racines carrées: \[ \frac{ \sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2 \sqrt{2}}} \] Puis l'angle $\pi/48$ qui vaut 3 degrés et 45 minutes est la moitié de $\pi/24$ . La formule donne: \[ \cos \frac{\pi}{48} = \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} \] On enchaîne de la même manière pour les deux angles suivants: \[ \cos \frac{\pi}{96} = \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} }{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}} \] cet angle vaut $1^\circ 52' 30''$ . Le dernier angle $\pi/192$ en est la moitié, c'est-à-dire 56 minutes d'arc et 15 secondes. Presque 1 degré (qui vaut 60 minutes d'arc) et son cosinus est donné par: \[ \cos \frac{\pi}{192} =  \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} }}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}}} \] Le cosinus de l'angle nul vaut 1, et celui de $\pi/192$ en est proche, il vaut environ $0.999 866$ . En découpant l'angle $\pi$ en 192 parties nous obtenons le demi-disque et ses parties suivantes:

(c) Encadrement

Nous n'avons pas d'information sur l'angle $\gamma_0$ sauf son cosinus, puisqu'il apparaît dans le calcul du produit scalaire de la question  5(c) : \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = \frac{17}{3} \] Dans le chapitre "Produit scalaire" nous montrons aussi la formule : \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = M_0A \times M_0M_1 \times \cos \gamma_0 \] D'où le résultat exact: \[ \cos \gamma_0 = \frac{17}{\sqrt{13}\sqrt{53}} \] Ce nombre vaut environ $0.648$ et nous allons calculer les cosinus des angles: \[ \cos \left( p \frac{\pi}{192} \right) \] pour l'entier $p$ variant de 0 à 192. Une propriété de cette suite est sa stricte décroissance. Le maximum est en $(p=0)$ et il s'agit du cosinus de l'angle nul, qui vaut 1. Et son minimum est le dernier terme, qui est négatif. Ainsi il existe un entier $p_0$ tel que : \[ \cos \left( p_0 \frac{\pi}{192} \right) > \cos \gamma_0 > \cos \left( (p_0+1) \frac{\pi}{192} \right) \] Plutôt que de tout calculer, utilisons la fonction arc-cosinus sur la calculatrice qui à partir d'un cosinus, donne l'angle qui lui correspond entre $0$ et $\pi$ . On trouve: \[ \gamma_0 \approx 0.866 \, \text{rad} \] En divisant cet angle par $\pi/192$ on trouve: \[ \frac{\gamma_0}{\pi/192} \approx 52.945 \] On prend alors $p_0=52$ et on vérifie que les cosinus sont rangés dans l'ordre recherché: \[ \cos \left( 52 \times \frac{\pi}{192} \right) \approx 0.659346 \] Puis l'angle suivant: \[ \cos \left( 53 \times \frac{\pi}{192} \right) \approx 0.646956 \] On constate l'encadrement sachant que: \[ \cos \gamma_0 \approx 0.647648 \] Et il est plus proche de l'angle $53\pi/192$ . Cela correspond environ à un angle compris entre 49 degrés et 50. On met en évidence ci-dessous les secteurs concernés en rouge, le 52ème et le 53ème:

Question A7 - Suite d'angles $\gamma$ .

(a) Suite à deux valeurs

Le vecteur $\overrightarrow{M_0M_n}$ est colinéaire à $\overrightarrow{M_0M_1}$ donc l'angle $\gamma_n$ est soit identique à $\gamma_0$ soit il vaut un demi-tour en plus. On a: \[ \forall n \in \mathbb{Z} \qquad \overrightarrow{M_0M_n} = n \overrightarrow{M_0M_1} \] Ainsi pour les entiers positifs, le sens est le même. D'où: \[ \forall n \in \mathbb{N} \qquad \gamma_n = \gamma_0 \] Pour les entiers relatifs strictement négatifs il s'agit de l'opposé. Ainsi on peut décomposer l'angle: \[ \gamma_n = (\overrightarrow{M_0A}\, ; \overrightarrow{M_0M_1}) + \pi \] où $\pi$ représente le tour effectué $(\overrightarrow{M_0M_1}\, ; \overrightarrow{M_0M_n}) $ D'où: \[ \forall n <0 \qquad \gamma_n = \gamma_0 + \pi \] On en déduit le cosinus qui est opposé pour un angle et l'autre: \[ \forall n \in \mathbb{Z}\setminus \{0\} \qquad \cos (\gamma_n) = \frac{n}{|n|} \cos (\gamma_0) \] cette façon de présenter permet de tout réunir sous une seule formule.

(b) La suite $p$

La suite $p$ est constante pour $n$ entier naturel est vaut $p_0$ soit 52. Si $(n<0)$ il s'agit de l'angle $(\gamma_0+\pi)$ . L'encadrement est le suivant: \[ p_0 \, \frac{\pi}{192} + \pi \leq \gamma_0+\pi \leq (p_0+1) \, \frac{\pi}{192} + \pi \] En factorisant les deux membres aux extrêmes par $\pi/192$ on trouve: \[ \forall n<0 \qquad p_n = 192 + 52 = 244 \]

Fin de la question A7

Solution

Question A8 - Etude détaillée de l'angle $\alpha$ .

(a) Produit scalaire

Rappelons le calcul du produit scalaire pour deux vecteurs $\vec{u}$ de coordonnées $(x\, ; y)$ et $\vec{w}$ de coordonnées $(x'\, ; y')$ : \[ \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle = xx'+yy' \] L'expression de ce produit scalaire montre que l'opération est symétrique: \[ \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle = \langle \vec{w} \, | \vec{u} \rangle \] Ainsi les vecteurs peuvent être permutés cela ne change rien au résultat. De plus l'opération est homogène: \[ \langle \lambda\vec{u} \, | \vec{w} \rangle = \lambda \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle \] Cela suivant la première comme la seconde variable, la preuve est immédiate. Enfin, l'opération est linéaire suivant la première variable: \[ \langle (\vec{u}+\vec{v}) \, | \vec{w} \rangle = \langle \vec{u} \, | \vec{w} \rangle + \langle \vec{v} \, | \vec{w} \rangle \] Par symétrie, l'opération est aussi linéaire suivant la seconde variable. Ainsi nous pouvons écrire en utilisant l'argument de symétrie: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = \left\langle \overrightarrow{AM_0} \, | \overrightarrow{AM_n} \right\rangle \] Puis avec $\overrightarrow{AM_0}=\overrightarrow{M_0A}$ et $\overrightarrow{AM_n}=\overrightarrow{AM_0} + n \overrightarrow{M_0M_1}$ on trouve: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0A} \right\rangle - n \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle \] Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même vaut le carré de sa norme. On simplifie en reliant les deux produits scalaires demandés en écrivant: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = M_0A^2 - n \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle \] On peut voir ce produit scalaire comme une fonction de $n$ décroissante, dont le maximum est atteint en $(n=0)$ . On représente ci-dessous le configuration pour $(n=6)$ :

(b) Suite de cosinus

En utilisant la définition de l'angle $\alpha_n$ nous pouvons aussi exprimer le produit scalaire ainsi: \[ \left\langle \overrightarrow{AM_n} \, | \overrightarrow{AM_0} \right\rangle = AM_n \times AM_0 \times \cos \alpha_n \] Connaissant les valeurs de ces longueurs et la valeur du produit scalaire, on trouve: \[ \cos \alpha_n = \frac{1}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} \, (-17n+159) \] valable pour tout entier relatif $n$ . Une calculatrice permet d'afficher la courbe $(x \mapsto cos \alpha_x)$:

(c) Suite $r$

Il s'agit de trouver un entier $r_n$ permettant d'encadrer l'angle $\alpha_n$ entre deux secteurs multiples de l'angle de référence $\pi/192$ . Nous avons illustré ce problème pour les questions A6 et A7. La difficulté est qu'ici l'angle $\alpha_n$ évolue d'une manière difficile à cerner. Cela revient à résoudre pour tout entier $r$ compris entre 0 et 192 à priori, les inéquations : \[ \cos \frac{\pi r}{192} \geq \cos \alpha_n \] en la variable $n$ . On peut y aboutir en utilisant une machine que l'on programme.

Observons les premiers termes de la suite $\alpha$ : \[ \cos \alpha_0 = 1 \Rightarrow \alpha_0 = 0 \] C'est le cas lorsque $M_n$ vaut $M_0$ , le triangle $AM_0M_n$ étudié est plat. L'entier $r_0$ peut valoir 0 ou -1 au choix. Puis: \[ \cos \alpha_1 = \frac{71}{\sqrt{53}\sqrt{97}} \] Ce qui donne un cosinus proche de $0.990227$ à $10^{-6}$ près. Avec la fonction arc-cosinus, nous trouvons que $\alpha_1$ vaut $0.1399$ radians environ et donc son rapport avec l'angle $\pi/192$ donne $8.55$ . Ce qui signifie qu'on peut poser $r_1=8$ . L'opération est toujours la même, on cherche une valeur approchée du cosinus de $\alpha_n$ , puis on en déduit une valeur de l'angle, que l'on divise par $\pi/192$ . Le résultat est un nombre décimal dont la partie entière donne le nombre entier $r_n$ recherché. Nous trouvons:  \[ \cos \alpha_2 = \frac{25}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \] Ce qui donne $r_2=18$ . Commençons par dresser un tableau des premières valeurs de la suite $r$ . La formule fait intervenir l'arc-cosinus noté acos: \[ r_n = \textrm{E} \left[ \frac{192}{\pi} \times \textrm{acos} \left( \frac{-17n+159}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} \right) \right] \] où E est la fonction partie entière. D'où: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline \\ r_n & 30 & 44 & 57 & 68 & 78 & 87 & 93 & 99 & 103 & 107 & 110 & 112 & 114 \\ \hline \end{array} \] Les premières valeurs sont plus éloignées que par la suite. Puis il y a un écart entre $r_n$ et son successeur qui se réduit, et nous le voyons en calculant les autres valeurs jusqu'à $r_25$ qui vaut $r_24$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\ \hline \\ r_n & 116 & 118 & 119 & 120 & 121 & 122 & 123 & 124 & 125 & 125 & 126 & 126 & 127\\ \hline \end{array} \] Les valeurs continuent de se tasser, 129 est la première valeur admise par trois termes de la suite $r$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 \\ \hline \\ r_n & 127 & 128 & 128 & 129 & 129 & 129 & 130 \\ \hline \end{array} \] Puis 35 est le premier indice pour lequel la suite $r$ atteint la valeur 130. A présent, au lieu de chercher la valeur $r_n$ pour chaque indice, nous nous limitons à indiquer à partir de quel indice la suite prend une certaine valeur: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ r_n & 130 & 131 & 132 & 133 & 134 & 135 & 136 & 137 & 138 & 139 & 140 \\ \hline \\ n & 35 & 39 & 44 & 51 & 60 & 74 & 97 & 142 & 272 & 5086 &  \\ \hline \end{array} \] On montre qu'à partir de 139 la suite $r$ est stationnaire. Ce que nous expliquons après.

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Il reste à étudier $r$ pour les indices négatifs. Nous laissons de côté pour l'instant cette partie de l'étude.

(d) Limites

Commençons par $\alpha_n$ . En développant son expression, pour séparer les termes suivant leur comportement en l'infini: \[ \cos \alpha_n = - \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{\displaystyle 13-\frac{102}{n}+\frac{477}{n^2}}} + \frac{159}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} \] Dans le membre de droite, le terme de droite tend vers 0 si $n$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ Le membre de gauche tend vers : \[ - \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \] lorsque $n$ tend vers $+\infty$ . Ce qui correspond à l'opposé du cosinus de $\gamma_0$ . Ainsi : \[ \lim_{+\infty} \cos \alpha_n = -\cos \gamma_0 \] Pour calculer la limite en $-\infty$ on doit remarquer que le développement n'est pas valable pour $n$ négatif, car nous avons fait entrer $n$ dans la racine carrée. Mais plutôt: \[ \forall n <0 \quad \cos \alpha_n =  \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{\displaystyle 13-\frac{102}{n}+\frac{477}{n^2}}} + \ldots \] D'où une limite opposée, et plus précisément égale à celle de $\gamma_0$ : \[ \lim_{-\infty} \cos \alpha_n = \cos \gamma_0 \] Pour aboutir aux limites de $r$ en ses bornes, nous devons passer par celles de l'angle $\alpha$ . En $+\infty$ le cosinus de $\alpha_n$ tend vers l'opposé de celui de $\gamma_0$ . Puisque ces angles sont plus petits que $\pi$ et d'après une formule de trigonométrie liant un angle et son supplémentaire, on a: \[ \lim_{+\infty} \alpha_n = \pi - \gamma_0 \] On note cette limite $\alpha_+$ . Avec l'encadrement trouvé à la question A6, en remarquant qu'il s'agit d'inégalités strictes, nous en concluons: \[ \pi - 52 \times \frac{\pi}{192} > \alpha_+ > \pi - 53 \times \frac{\pi}{192} \] Soit le résultat: \[ 140 \times \frac{\pi}{192} > \alpha_+ > 139 \times \frac{\pi}{192} \] Or à partir de $(n=5086)$ nous avons vu que l'angle $\alpha_n$ vérifie cette inégalité. Ainsi $r$ est stationnaire à partir de ce rang, ce qui indique qu'elle admet la valeur 139 comme limite en $+\infty$ .

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En $-\infty$ la suite des cosinus tend vers celui de $\gamma_0$ . Etant donné le sens des angles, nous en déduisons la limite notée $\alpha_-$ : \[ \lim_{-\infty} \alpha_n = 2\pi - \gamma_0 \] Puis celle de $r$ s'en déduit en encadrant: \[ 2\pi - 52 \frac{\pi}{192} > \alpha_- > 2\pi - 53 \frac{\pi}{192} \] La suite $r$ décroît lorsque $n$ décroît vers $-\infty$ . Elle dépasse la valeur 332 sans jamais passer sous 331. D'où: \[ \lim_{-\infty} r_n = 332 \] Elle est aussi stationnaire, propriété que l'on montrera plus tard dans cet article.

(e) Convergence de $\alpha$

Nous avons prouvé la convergence de $\alpha$ dans la question précédente. Nous donnons les valeurs approchées des limites: \[ \alpha_+ \approx 2.27529 \, \textrm{rad} \quad (130°21'52'') \] Le résultat en minutes et secondes d'arc se fait suivant une procédure classique. On récupère la partie décimale en degrés, qu'on multiplie par 60, la partie entière du résultat donne les minutes, le reste décimal est multiplié par 60, la partie entière du nouveau résultat donne les secondes d'arc. De même: \[ \alpha_- = \pi + \alpha_+ \]

Quant aux cosinus, leurs valeurs approchées sont les suivantes: \[ \cos \alpha_+ = -0.648 \qquad \cos \alpha_- = - \cos \alpha_+ \] Ci-dessous, une partie de la courbe $(x \mapsto \cos \alpha_x)$ sur l'intervalle $[0\, ; 40]$ . On a volontairement réduit les dimensions en abscisses, ainsi 1 unité en ordonnée correspond à 4 en abscisse. On repère le maximum en $(x=0)$ ce qui correspond à un angle nul puisque $M_x$ se confond avec $M_0$ . Puis, nous pouvons ajouter l'observation d'un point pour lequel le cosinus s'annule, c'est la caractéristique d'un angle droit qui se produit lorsque $x$ vaut 159/17, soit environ 9.35. Le point est situé sur le segment $[M_9\,  M_{10}]$ . La courbe est strictement décroissante et tend vers le cosinus de l'angle limite $\alpha_+$ .

Nous donnons l'aspect de la courbe en tenant compte des angles $\alpha_n$ pour $n$ négatif. Le maximum reste en $M_0$ , seul point où le cosinus vaut 1. La fonction tend vers le cosinus de l'autre angle limite $\alpha_-$ quand $x$ tend vers $-\infty$ . Pour une meilleure observation, l'abscisse est multipliée par un facteur 0.2 et l'ordonnée par 3.

Fin de la question A8

Solution

Question A9 - Etude de l'angle $\beta$ .

(a) Calcul du cosinus

On peut étudier la suite $\beta$ en passant par celle de son cosinus comme pour les deux suites d'angles $\gamma$ et $\alpha$ . Ceci en écrivant le produit scalaire des deux vecteurs formant l'angle $\beta_n$ de deux façons. Le calcul direct donne: \[ \left\langle \overrightarrow{M_nM_0}\, | \, \overrightarrow{M_nA} \right\rangle = n(n-7) + \left( \frac{2n}{3}-1+1 \right) \left( \frac{2n}{3}+2 \right) \] Ce qui donne: $\displaystyle \frac{1}{9} (13n^2-51n) $ . Puis une autre formule donne le résultat en fonction des normes des vecteurs et du cosinus de l'angle formé: \[ M_nM_0 \times M_nA \times \cos \beta_n \] Le calcul des longueurs donne: \[ M_nM_0 = \sqrt{ n^2+\frac{4}{9} n^2} = \frac{\sqrt{13}}{3} n \] et l'on connaît déjà $M_nA$ . On trouve alors une formule ressemblante à celle du cosinus de $\alpha_n$ : \[ \cos \beta_n = \frac{1}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} (13n-51) \] Le même facteur accompagne une expression affine en la variable $n$ . A partir de là il est possible d'étudier $\beta_n$ en cherchant une suite d'entiers $s_n$ tels que: \[ s_n \frac{\pi}{192} \leq \beta_n \leq (s_n+1) \frac{\pi}{192} \] mais ce serait ne pas profiter des connaissances acquises sur les deux autres angles ainsi que de la règle: \[ \forall n > 0 \qquad \alpha_n+\gamma_n+\beta_n= \pi \] Les trois angles d'un triangle forment un angle de 180 degrés. Ci-dessous la situation pour $(n=6)$ en se rappelant que $\gamma_n$ est constant égal à $\gamma_0$ pour $n$ positif et vaut $(\gamma_0+\pi)$ si $n$ est strictement négatif :

La relation est différente si $n$ est strictement négatif, les angles sont tous extérieurs et on trouve : \[ \begin{align*} \alpha_n+\beta_n+\gamma_n & = (2\pi-\alpha)+(2\pi-\beta)+(2\pi-\gamma) \\ & = 6\pi-(\alpha+\beta+\gamma) \\ & = 5\pi \end{align*} \] où les angles $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont les complémentaires des angles $\alpha_n, \beta_n$ et $\gamma_n$ . On l'illustre avec l'exemple $(n=-3)$ ci-dessous :

(b) Somme des angles d'un triangle

Avec cette relation triangulaire, pour $n$ entier positif on a: \[ \beta_n = (\pi-\gamma_0) - \alpha_n \] On a volontairement mis entre parenthèse la partie constante, ainsi $\beta$ et $\alpha$ sont liées par une relation affine. Pour $n$ strictement négatif on trouve: \[ \beta_n = \gamma_0 - \alpha_n \] On peut ainsi encadrer $\beta_n$ en se servant de la suite $r$ . Le résultat pour $\gamma_0$ a été donné à la question 6c et il est le suivant: \[ 52 \frac{\pi}{192} \leq \gamma_0 \leq 53 \frac{\pi}{192} \] Puis pour $n$ positif on a montré que: \[ r_n \frac{\pi}{192} \leq \alpha_n \leq (r_n+1) \frac{\pi}{192} \] pour la suite $r$ explicitée à la question 8c. Ce qui donne avec en utilisant la relation de cette question: \[ \pi - 53 \frac{\pi}{192} - (r_n+1) \frac{\pi}{192} \leq \,  \beta_n \, \leq \pi - 52 \frac{\pi}{192} - r_n \frac{\pi}{192} \] D'où le résultat en factorisant par l'angle de référence: \[ \forall n>0 \qquad (138-r_n) \frac{\pi}{192} \leq \,  \beta_n \, \leq (139-r_n) \frac{\pi}{192} \] Se servir de cet encadrement ne suffit pas pour conclure à la convergence de la suite $\beta$ . En effet on peut au mieux préciser que les termes en l'infini seront autour des valeurs $(138-r)$ et $(139-r)$ . L'égalité de départ nous donne le résultat sur la convergence. En effet, $(\pi-\gamma_0)$ est une constante et la suite $\alpha$ converge. Donc la quantité suivante converge: \[ (\pi-\gamma_0) - \alpha_n \quad \longrightarrow \quad \pi-\gamma_0-\alpha_+ \] la limite est celle en $+\infty$ . Pour $n$ strictement négatif on rappelle que $\gamma_n$ vaut $\gamma_0$ auquel on rajoute $\pi$ , la relation triangulaire est différente du fait du choix du sens des angles, côté négatif ils sont tous extérieurs : \[ \forall n <0 \qquad \beta_n = 4\pi - \gamma_0 - \alpha_n \] Ce qui donne la limite suivante: \[ \beta_- = 4\pi-\gamma_0-\alpha_- \] On utilise le résultat de la question A8d pour conclure que : \[ \beta_+=0 \qquad \beta_-=2\pi \] En effet: $\alpha_+=\pi-\gamma_0$ et $\alpha_- = 2\pi-\gamma_0$ . Dans les cas positifs et négatifs, l'angle $\beta$ tend à être nul modulo $2\pi$ . Tout se passe comme si $M_n$ se dirigeait vers un point à la fois sur la droite $\mathcal{C}_f$ et aussi sur sa parallèle en $A$ . Ces deux droites sont pourtant distinctes.

Graphiquement, on observe l'angle $\beta$ tendre vers 0 pour $n$ se dirigeant vers $+\infty$ et vers $2\pi$ si $n$ tend vers $-\infty$ . Ci-dessus, le cas $(n=42)$ pour lequel $\beta_{42}$ vaut moins de 7 degrés et $\alpha$ à peu près 123 degrés.

Question A10 - Calcul des angles en degré.

(a) Etude de quelques termes

Reprenons la formule donnant les cosinus. On note $P(n)$ le polynôme en la variable $n$ suivant: \[ P(n) = 13n^2-102n+477 \] On écrit: \[ \cos \alpha_n = \frac{1}{\sqrt{53}\sqrt{P(n)}} (-17n+159) \] Remarquons la ressemblance avec l'expression de liée à l'angle $\beta_n$ : \[ \cos \beta_n = \frac{1}{\sqrt{13}\sqrt{P(n)}} (13n-51) \] Il suffit d'appliquer les formules, nous ajoutons à la réponse les cas $(i=1)$ et $(i=2)$ . On pense aussi à simplifier les fractions, sachant que 13 et 53 sont premiers et restent inchangés, la valeur de $P(n)$ possède un facteur dont on peut extraire une racine carrée et trouver une simplification avec le facteur affine $(-17+159)$ dans le cas de $\alpha_n$ et $(13n-51)$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \cos \alpha_i & \frac{71}{\sqrt{53}\sqrt{97}} & \frac{25}{\sqrt{53}\sqrt{13}} & \frac{9}{\sqrt{53}\sqrt{2}} & \frac{91}{\sqrt{53}\sqrt{277}} & \frac{37}{\sqrt{53}\sqrt{73}} \\ \hline \end{array} \] Pour l'angle $\beta_n$ on trouve : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \cos \beta_i & \frac{-19}{\sqrt{13}\sqrt{97}} & \frac{-5}{13} & \frac{-1}{\sqrt{13}\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{13}\sqrt{277}} & \frac{7}{\sqrt{13}\sqrt{73}} \\ \hline \end{array} \] On constatera le lien entre les dénominateurs, le facteur accompagnant la racine carrée de 53 pour $\alpha_n$ est le même que celui associé à la racine carrée de 13 pour $\beta_n$ . De plus en posant la différence: \[ -17n+159 \, - \, (13n-51) = -20n+210 \] on verra que la différence des numérateurs est un multiple de 10, y compris après simplification.

(b) Calcul d'un angle en degrés

Une fois la valeur exacte du cosinus trouvée, on applique la fonction réciproque qui est l'arc-cosinus (touche acos sur une calculatrice) et le résultat est l'angle en radians ou degrés suivant l'option choisie. Si le résultat est en radian, on multiplie par $180/\pi$ pour l'avoir en degré. On obtient un nombre décimal, la partie entière est le nombre de degrés, ce qui reste ne dépasse pas un degré. Il s'agit d'une fraction d'un degré, dont on extrait le nombre de soixantièmes parties d'un degré. En multipliant la partie décimale par 60 on trouve un autre nombre décimal dont la partie entière est le nombre de minutes d'arcs recherché. Le même procédé permet d'extraire le nombre de minutes d'arcs. Par exemple, pour $\alpha_1$ on trouve: \[ \alpha_1 = \textrm{acos} \; \left( \cos \alpha_1 \right) \times \frac{180}{\pi} = 8.017\, 093 \ldots \] en utilisant l'option radian de la calculatrice. Le résultat est un nombre décimal dont il faut choisir à quelle précision on s'arrête. Cherchons les résultats à une seconde d'arc près. Or celle-ci vaut un trois mille six centièmes de degrés et est encadrée sous forme décimale par : \[ 0.000\, 277 < \frac{1}{3600} < 0.000\, 278 \] Ce qui signifie qu'une approximation à $(3\times 10^{-4})$ n'apparaît pas sur la précision recherchée. Nous pouvons donc nous contenter de 5 chiffres après la virgule, cela suffit amplement. Pour $\alpha_1$ nous avons trouvé qu'il correspond à 8 degrés et un reste décimal, que l'on calcule: \[ 0.017\, 09 \times 60 = 1.0254 \] On en déduit qu'il y a une minute d'arc à prendre en compte et un reste que l'on calcule: \[ 0.025\, 4 \times 60 = 1.524 \] Le reste est plus proche de 2 secondes d'arcs que d'une seule mais nous cherchons la valeur par défaut, d'où : \[ \alpha_1 = 8^\circ 1' 1'' \] L'explication du calcul est le suivant: \[ A \, \textrm{rad} \equiv X^\circ Y' Z'' + R \] où $A$ est la valeur de l'angle en radians, et $X,Y,Z$ sont les trois entiers servant à l'écrire en degrés et $R$ est un reste plus petit qu'une seconde d'arcs. Si nous voulons tout écrire en degrés il suffit de multiplier $A$ par $180/\pi$ et $Y$ vaut un soixantième de degré, donc on divise $Y$ par 60, et $Z$ par 3600. D'où l'égalité: \[ A \times \frac{180}{\pi} = X + \frac{Y}{60} + \frac{Z}{3600} + R \] On sait aussi que $Y$ ne dépasse pas 60 et $Z$ ne dépasse pas 60. Le membre de gauche est donné par le calcul à la machine de l'expression : \[ \alpha_n = \textrm{acos} \; \left( \cos \alpha_n \right) \times \frac{180}{\pi} \] On trouve un nombre dont la partie entière correspond à $X$ . Il reste à sortir $Y$ en multipliant par 60 la partie décimale: \[ 60 \times \left( \frac{Y}{60} + \frac{Z}{3600} + R \right) \] On trouve un nombre dont la partie entière est $Y$ . En effet $Z$ est plus petit que 60 et $R$ plus petit qu'une seconde d'arc, soit plus faible que $1/3600$ . Il reste encore à multiplier par 60 ce qui reste: \[ 60 \times \left( \frac{Z}{60} + 60 R \right) \] La partie entière est le nombre de secondes d'arc par défaut et $3600R$ désigne le reste plus petit que 1. On donne ci-après les valeurs pour les angles $\alpha_i$ $(0<i<6)$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \alpha_i & 8^\circ 1' 1'' & 17^\circ 44' 40'' & 29^\circ 3' 16'' & 41^\circ 19' 9'' & 53^\circ 29' 54'' \\ \hline \end{array} \] L'objectif est de vérifier à quel niveau de précision nous aboutissons en passant par l'utilisation de la fonction arc-cosinus programmée sur machine, et l'approximation faite sur la conversion en degrés. Nous appliquons la formule du cosinus pour $\beta_n$ et non la relation liant les trois angles: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \beta_i & 122^\circ 20' 50'' & 112^\circ 37' 11'' & 101^\circ 18' 35'' & 89^\circ 2' 42'' & 76^\circ 51' 57'' \\ \hline \end{array} \]

(c) Erreur de précision

Pour $i$ entier positif la somme des angles vaut 180 degrés. En appliquant la formule: \[ \gamma_i = 180 - (\alpha_i+\beta_i) \] on trouve la valeur approchée de $\gamma_i$ . Pour tout $i$ de 1 à 5 on trouve la même valeur: \[ \alpha_i+\beta_i = 130^\circ 21' 51'' \] Soit en les retirant à 180 degrés: \[ \gamma_i = 49^\circ 38' 9'' \] Reprenons la valeur exacte de $\gamma_0$ qui est d'après la question 6: \[ \gamma_0 = \textrm{acos} \, \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \] Une valeur approchée à $10^{-10}$ près est 49.6354634269 degrés, en utilisant les minutes et secondes on trouve: \[ \gamma_0 \approx 49^\circ 38' 7'' + R \] où $R$ est le reste qui correspond à environ deux tiers d'une seconde. La valeur approchée de $\alpha_i$ et $\beta_i$ était par défaut donc la différence avec 180 donne une valeur par excès, et l'on trouve un décalage de plus d'une seconde d'arc.

Question A11 - Calcul des angles lorsque $AM$ est minimale

Il faut savoir que la notion de distance d'un point à une droite existe, elle est la plus petite distance que l'on peut former entre le point extérieur et les points de la droite. Une propriété fondamentale est que cette distance est toujours atteinte pour tout couple de point et droite donnés, de plus le point de la droite en lequel elle est atteinte forme une perpendiculaire avec le point extérieur. En somme, nous l'appelons $N$ et il correspond au point mobile $M_x$ tel que $\beta_x$ soit égal à 90 degrés. L'énoncé suppose son existence mais les questions (a) et (b) devraient être traitées après les questions (c) (d) et (e) si l'on ne connaît pas cette propriété.

(c) Parabole

Nous avons vu que $u_n= P(n)/90$ . Ainsi le graphe de la suite $u$ est une sous partie d'une parabole dont nous avons déjà tracé le graphe, elle n'admet pas de solution, ce qui correspond au fait que pour tout point $M_x$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ la distance $AM_x$ est non nulle. Les branches sont dirigées vers le haut, il existe donc un minimum à la fonction et cela se traduit par l'existence d'un point $N$ minimisant la distance $AM_x$ .

(d) Sommet

Pour une équation de type: $ax^2+bx+c$ le sommet est donné par le quotient $\displaystyle \frac{-b}{2a}$ qu'on retrouve rapidement en posant le milieu de deux racines dans le cas où elles existent. Dans le cas du problème on trouve: \[ \frac{102/90}{2\times(13/90)} = \frac{51}{13} \] C'est l'abscisse de $N$ .

(e) Encadrement

Une valeur approchée de l'abscisse de $N$ est 3.923 et l'on en déduit qu'il est proche de $M_4$ du côté de $M_3$ : \[ N \in \left[ M_3 M_4 \right] \] Pour rappel lorsque $x$ croît l'angle $\beta_x$ décroît et vaut environ 101 degrés en $M_3$ et 89 en $M_4$ , l'angle droit est franchi entre les deux points.

(a) (b) Angles liés à $N$

On peut encadrer les trois angles : \[ \alpha_3 \leq \alpha_N \leq \alpha_4 \] sachant que la suite $\alpha$ est croissante alors que la suite $\beta$ décroît donc les inégalités sont opposées: \[ \beta_3 \geq \beta_N \geq \beta_4 \] et enfin $\gamma_x$ reste constant pour tout $x$ positif: \[ \gamma_N = \gamma_0 \] On peut préciser aussi que $\beta_N=90^\circ$ . On trouve pour $\alpha_N$ la valeur suivante: \[ \alpha_N \approx 40^\circ 21' 52'' \] avec un reste approchant un tiers d'une seconde d'arc.

fin de la question A11

Solution

Question B12 - Prouver l'existence d'un minimum par la dérivation.

L'expression de $\delta$ est donnée à la question A1: \[ \delta (x) = \frac{1}{9} (13x^2-102x+477) \] La dérivée est définie sur tout $\mathbb{R}$ et vaut: \[ \delta'(x) = \frac{26}{9} x - \frac{102}{9} \] Elle s'annule une seule fois en le point d'abscisse: \[ x = \frac{102}{26} = \frac{51}{13} \] Elle est négative avant cette abscisse et positive ensuite. Le tableau de variation est le suivant: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 51/13 & & +\infty \\ \hline \\ \delta'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \\ \delta(x) & & \searrow & m & \nearrow & \\ \hline \end{array} \] il existe un minimum pour la fonction $\delta$ noté $m$ . Cela donne un point $N$ sur la droite $\mathcal{C}_f$ réalisant un minimum pour le carré de la distance $AM_x$ . Une distance étant toujours positive, $N$ réalise le minimum de la distance $AM_x$ . Et la valeur de $\delta$ en ce point se calcule: \[ \begin{align*} m = \delta(x_N) & = \frac{1}{9} (13 \times \left( \frac{51}{13} \right) ^2-102 \times \frac{51}{13} + 477) \\ & = \frac{400}{13} \end{align*} \]

Question B13 - Calcul des cosinus lorsque le minimum est atteint.

$N$ est situé à droite de $M_0$ d'où la valeur de $\gamma$ et de son cosinus, qui sont des constantes de chaque côté de $M_0$ : \[ \cos \gamma_N = \cos \gamma_0 = \frac{17}{\sqrt{53} \sqrt{13}} \] Les formules trouvées pour les suites $\alpha$ et $\beta$ sont en fait valables pour toute abscisse $x$ réelle. Ainsi nous pouvons considérer les fonctions $\alpha$ et $\beta$ définies par: \[ \forall x \in \mathbb{R} \quad \cos \alpha(x) = \frac{-17x+159}{\sqrt{53} \sqrt{P(x)}} \qquad \cos \beta(x) = \frac{13x-51}{\sqrt{13} \sqrt{P(x)}} \] Il apparaît que $\beta(x_N)$ est nul, cela dénote un angle droit entre les droites $\mathcal{C}_f$ et $(AN)$ . Quant au cosinus de l'angle $\alpha$ en $N$ on trouve après calcul : \[ \cos \alpha(x_N) = \frac{20}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \]

Question B14 - Racine carrée d'une fonction connue.

L'expression de $d$ est la suivante: \[ d(x) = \frac{1}{3} \sqrt{P(x)} \] On passe de $\delta$ à $d$ en extrayant la racine carrée de la première. Nous avons vu dans le chapitre 2 que la fonction racine carrée ne modifie pas le sens de variation, ni les racines d'une fonction. Tout d'abord, il est normal de retrouver le même domaine de définition, $\delta$ étant d'ailleurs strictement positive, la fonction $d$ l'est aussi. De plus, nous venons de rappeler que $d$ est décroissante jusqu'à $x_N$ puis croissante. Tandis que la courbe représentative de $\delta$ est une parabole, celle de $d$ a une forme proche de la parabole avec des branches moins tirées vers l'infini, les valeurs de $\delta$ proches de 1 resteront peu changées. Résumons:

domaine de $d$

$\mathcal{D}_d = \mathcal{D}_{\delta}=\mathbb{R}$

variation

\[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 51/13 & & +\infty \\ \hline \\ d(x) & & \searrow & \sqrt{m} & \nearrow & \\ \hline \end{array} \]

extrema

La fonction $d$ admet un minimum et il vaut: \[ d(x_N) = AN = \frac{20}{\sqrt{13}} \] On pourra noter le rapprochement avec le cosinus de $\alpha$ : \[ \cos \alpha (x_N) = \frac{1}{\sqrt{53}} AN \]

limites

La fonction $\delta$ diverge en $-\infty$ et $+\infty$ et ses limites sont toutes deux $+\infty$ . Le passage à la racine carrée conserve ce résultat, puisque si une quantité tend vers $+\infty$ alors sa racine carrée aussi. D'où : \[ \lim_{\pm \infty} d(x) = +\infty \]

graphe

Les valeurs approchées sont: $x_N \approx 3.923$ et $AN \approx 5.547$ .

Question B15 - Tracé des deux courbes.

Nous calculons les valeurs $\delta(x)$ pour les entiers de 0 à 3 autour du minimum $x_N$ et puisque les branches tendent à ressembler à des droites, nous calculons ensuite moins de valeurs. Par exemple nous prendrons $\delta(x)$ pour $x$ valant -10 puis -5 puis -2. Cela donnera un résultat par symétrie pour les valeurs $(2x_N-x)$ pour tout $x$ calculer. Ce qui donne avec une précision de $10^{-2}$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & -10 & -5 & -2 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \\ d(x) & 17.63 & 12.07 & 9.02 & 7.88 & 6.57 & 6.01 & 5.66 \\ \hline \end{array} \] Soit le graphe suivant, sur lequel nous n'indiquons pas les points symétriques:

Question B16 - Minimum de la fonction $d$ et lieu de points.

La fonction $\delta$ s'écrit dans le cas général: \[ \delta (x) = (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 \] et la fonction $d$ reste sa racine carrée. On développe $\delta$ sachant que pour le terme $(y-y_A)^2$ on prend en compte la relation $(y=mx+\lambda)$ : \[ \begin{align*} (y-y_A)^2 & = y^2-2yy_A+y_A^2 \\ & = (mx+\lambda)^2-2(mx+\lambda) y_A + y_A^2 \\ & = m^2 x^2 + 2m(\lambda-y_A)x + (y_A-\lambda)^2 \end{align*} \] Ce qui donne: \[ \delta (x) = (m^2+1) \textbf{x}^2 -2[x_A+m(y_A-\lambda)] \textbf{x} + [x_A^2+(y_A-\lambda)^2] \] La fonction est un polynôme du second degré. L'objectif est de montrer qu'elle admet un minimum car par passage à la racine carrée, cela restera le cas pour la fonction $d$ . Or il suffit de voir que le terme en $x^2$ est strictement positif pour tout coefficient directeur $m$ , on en déduit que les branches sont dirigées vers le haut. Dans ce cas la parabole admet un minimum. La résolution de la question peut s'arrêter là, nous approfondissons pour donner deux cas.

Discriminant

On calcule le discriminant de $\delta(x)$ : \[ \Delta = 2^2 \left( x_A+m(y_A-\lambda) \right)^2-4(m^2+1) \left( x_A^2+(y_A-\lambda)^2 \right) \] En développant on trouve une simplification: \[ \Delta = -4 \left( mx_A -(y_A-\lambda) \right) ^2 \] Il s'agit de l'opposé d'un produit de 4 par un carré. Le discriminant est négatif en général et peut s'annuler.

Cas nul

$\Delta=0 \iff y_A = mx+\lambda$ . Ce qui se traduit par l'appartenance à la droite $\mathcal{C}_f$ . On vient de montrer que $d(A,f)$ est nul si et seulement si $A$ est situé sur la droite représentant $f$ .

Lieu des points $d(B,f)=0$

Reprenons les notations de l'énoncé, on cherche l'ensemble des points $B$ tels que $d(B,f)$ soit nul. Soit $B$ un tel point, on note $x_B$ et $y_B$ ses coordonnées qui nous sont inconnues et que nous devons chercher. La distance à $f$ est nulle est une propriété qui se traduit par \[ \exists x \quad \delta(x)=0 \] Il y a existence d'un réel $x$ tel que la fonction $\delta$ s'annule en $x$ . La mise en équation a donné l'équivalence: \[ \delta(x)=0 \iff \Delta = 0 \] On a une solution si et seulement si le discriminant est nul, car il ne peut être strictement positif. Et la réponse est alors: \[ d(B,f) = \mathcal{C}_f \] L'ensemble des points $B$ vérifiant le problème est la droite $\mathcal{C}_f$ . Nous avons fonctionner par résolution d'équation, mais le bon sens doit nous rappeler que la fonction $d$ associe à tout point du plan sa distance à la droite $\mathcal{C}_f$ , c'est-à-dire que parmi l'ensemble des points $M$ de la droite on associe la distance $BM$ la plus petite. Dire que $d(B,f)$ est nulle c'est dire qu'il existe un point $M$ tel que $BM$ soit nulle, ce qui est équivalent à l'égalité $(B=M)$ et aussi à l'appartenance de $B$ à la droite. Il est important de raisonner par équivalence quand cela est possible pour conclure sur la totalité de l'ensemble cherché.

Lieu des points $d(B,f)=1$

Il suffit de chercher quelques points sur le plan pour comprendre qu'il va s'agir de la réunion de deux droites parallèles à $\mathcal{C}_f$ distantes chacunes d'une distance égale à 1. Montrons le de manière algébrique: soit $B$ un point tel que $d(B,f)=1$ alors on a l'équation à résoudre en $x$ (passage au carré) : \[ \delta(x)=1 \] Le développement apporte un petit changement au niveau de la constante, nous avions vu dans le début de la question l'expression générale de $\delta$ , ici l'équation du second degré à résoudre sera la même sauf qu'il faut retirer 1 à la constante : \[ \delta (\textbf{x}) -1 = (m^2+1) \textbf{x}^2 -2[x_B+m(y_B-\lambda)] \textbf{x} + [x_B^2+(y_B-\lambda)^2 - 1 ] \] Plutôt que de recalculer tout le discriminant notons le précédent (lié à la distance nulle) $\Delta$ et celui-ci (lié à la distance 1) $\Delta_1$ . Alors on a pour la deux la forme: \[ \Delta = b^2-4ac \] où $a,b,c$ sont les trois coefficients dans l'équation $(\delta(x)=0)$ et : \[ \Delta_1 = b^2-4a(c-1) \] Ainsi on obtient: \[ \Delta_1 = \Delta+4a \] sachant que $a$ vaut $(m^2+1)$ on a le discriminant : \[ \Delta_1 = \Delta +4(m^2+1) \] On reconnaît la différence entre deux carrés, une identité remarquable permet de factoriser le discriminant $\Delta_1$ et d'obtenir : \[ \Delta_1 = 4 \left( y_B-mx_B-\lambda+\sqrt{m^2+1} \right) \left( -y_B+mx_B+\lambda+\sqrt{m^2+1} \right) \] A présent que l'expression est posée, raisonnons sur cet ensemble: $d(B,f)=1$ . Ceci est équivalent à dire que l'équation $\delta(x)=1$ admet au moins une solution. C'est-à-dire que $\Delta_1$ est soit nul soit strictement positif. Si le discriminant est strictement positif alors cela voudrait dire qu'il y aurait deux solutions distinctes, et c'est impossible, le minimum est atteint de manière unique car un seul point $M$ formera l'angle droit avec $B$ et la droite $\mathcal{C}_f$ . Ainsi $B$ est a une distance 1 de la droite représentative de $f$ si et seulement si $\Delta_1$ est nul. Cela est équivalent pour les coordonnées de $B$ de vérifier l'une des deux équations suivantes: \[ y_B = mx_B+\lambda-\sqrt{m^2+1} \] ou : \[ y_B=mx_B+\lambda+\sqrt{m^2+1} \] Chacune de ces équations représente une droite. Les deux droites sont parallèles à $\mathcal{C}_f$ car le coefficient directeur est le même. Elles diffèrent par l'ordonnée à l'origine. Pour $f$ il s'agit de $\lambda$ et pour les deux autres il s'agit de $\lambda$ auquel on retire ou ajoute le nombre strictement positif $\sqrt{m^2+1}$ . On remarquera qu'il s'agit de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côté 1 et $m$ . Ci-dessous, l'exemple pour \[ m = \frac{1}{2} \qquad \lambda=-3 \] En voici le graphe: 

Question B17 - Ensemble des fonctions à une distance imposée du point $A$ .

Ici le problème est inversé, la donnée est le point $A$ et on cherche l'ensemble des fonctions $f$ telles que la distance à $A$ soit de 2. Rappelons que la distance est atteinte en un point $M$ vérifiant l'orthogonalité entre la droite $\mathcal{C}_f$ et $(AM)$ .

Si l'on trace une droite quelconque partant de $A$ et qu'on prend les deux points $M$ et $M'$ de part et d'autre de $A$ à une distance 2. Les seules fonctions $f$ possibles sont celles dont la droite représentative possède soit $M$ soit $M'$ et est perpendiculaire à $(AM)$ . Il n'y a que deux possibilités. En faisant ensuite "tourner" la première droite tirée sur $A$ , on en conclue que l'ensemble des droites possibles est l'ensemble des tangentes au cercle de centre $A$ et de rayon 2. Ci-dessous un dessin avec 13 droites, il s'agit de celles formant un angle multiple de 30 degrés, de 0 à 360, on note que le cercle se profile:

Pour finir, lorsqu'on applique une rotation de 5 degrés, soit un total de 73 droites dessinées tangentes au cercle de centre $A$ et de rayon 2:

Question B18 - Définition de la distance séparant deux fonction affines et son calcul.

Cas nul

La distance $d(f,g)$ est nulle si et seulement si il existe un point $A$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ et un point $B$ appartenant à $\mathcal{C}_g$ tels que $AB$ soit nulle. C'est-à-dire si et seulement si les deux droites ont un point en commun. La distance $d(f,g)$ est nulle si et seulement si les deux droites sont concourantes (voire sont confondues)

Cas non nul

La distance est non nulle si et seulement si elles ne s'intersectent pas, c'est-à-dire qu'elles sont parallèles. On note $m$ le coefficient directeur commun et $\lambda$ et $\mu$ leur ordonnée à l'origine. On note $M$ le point de la droite représentant $f$ d'abscisse 0 et $P$ celui de $g$ d'abscisse 0. Enfin $N$ formant un triangle rectangle avec les deux autres de la manière suivante:

Le problème consiste à calculer la longueur $MN$ . On simplifie le problème en translatant les droites pour que $M$ corresponde à l'origine $(0,0)$ . Les nouvelles équations sont les suivantes: \[ f \; : \; y=mx \qquad g \; : \; y=mx+(\mu-\lambda) \] qu'on a trouvé par translation. $N$ est le point d'intersection entre la droite représentant $g$ et celle qui est perpendiculaire à $\mathcal{C}_f$ et passant par $M$ . On la note $\mathcal{D}$ et son équation est : \[ y=ax+b \] son coefficient $a$ vaut $(-1/m)$ par orthogonalité, lorsque $m$ est non nul. Et $b$ vaut 0 puisqu'elle passe par l'origine $M$ . Les coordonnées de $N$ vérifie donc l'équation: \[ \begin{cases} y_N & = -\frac{1}{m} x_N \\ y_N & = mx_N+(\mu-\lambda) \end{cases} \] D'où la solution: \[ x_N = \frac{m}{m^2+1} (\lambda-\mu) \qquad y_N = \frac{-1}{m^2+1} (\lambda-\mu) \] Sachant que $M$ est l'origine, alors la longueur $MN$ vaut: \[ \sqrt{x_N^2+y_N^2} = \frac{ \left| \lambda-\mu \right| }{\sqrt{m^2+1}} \]

Fin de la question B18 et fin du problème.