Solution

Question 1 - Calcul des vecteurs directeurs pente et unitaire.

Calcul des coordonnées

Le coefficient directeur de $f$ est $\sqrt{7}$ qu'on retrouve en ordonnée du vecteur pente qu'on note $\vec{v}$ . Son abscisse est 1 : \[ \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{7} \end{pmatrix} \] Le vecteur unitaire $\vec{u}$ est lié à $\vec{v}$ par la relation : \[ \vec{u} = \frac{1}{v} \vec{v} \] Cette opération permet de rendre n'importe quel vecteur (non nul) unitaire. La norme du vecteur $\vec{v}$ se calcule d'après le théorème de Pythagore: \[ v = \sqrt{ 1^2 + \displaystyle \sqrt{7} ^2 } = \sqrt{8} \] La racine carrée de 8 s'écrit aussi sous la forme $2\sqrt{2}$ et on aboutit aux coordonnées de $\vec{u}$ : \[ \vec{u} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{7} \end{pmatrix} \]

Graphique

{C}[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"236","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"461","typeof":"foaf:Image","width":"291"}}]]

On choisit par exemple de placer $A$ sur l'axe des abscisses. Il a alors pour coordonnées $(1/\sqrt{7}\, ; 0)$ . Il reste deux possibilités pour $B$ et on choisit de le placer plus en avant. Ses coordonnées ne sont pas l'objet de la question, mais nous pouvons les calculer. Il suffit de constater que son abscisse $x_B$ et son ordonnée $y_B$ sont liées par deux relations: \[ \begin{cases} y_B = \sqrt{7} x_B - 1 & \text{car il est sur la droite} \\ (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 = 25 & \text{car $AB$ vaut 5} \end{cases} \] Les coordonnées de $A$ étant connues le système se résout aisément. Une autre méthode consiste directement à calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ car nous connaissons un point, sa longueur et le vecteur $\vec{u}$ avec lequel il est colinéaire. Sachant que ce dernier est unitaire, on obtient la relation: \[ \overrightarrow{AB} = 5 \times \vec{u} \] qui donne les deux coordonnées : \[ \overrightarrow{AB} = \frac{5}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{7} \end{pmatrix} \] Ce qui répond à la question posée. Si en plus on veut connaître les coordonnées de $B$ il suffit de translater $A$ par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ce qui donne : \[ x_B = x_A + \frac{5}{2\sqrt{2}} \qquad y_B = y_A + \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} \]

Question 2 - Intersection de droites et colinéarité.

L'équation $(f=g)$ est équivalente après simplification à : \[ (\sqrt{7}-m) x = 2 \] Il n'y a pas de solution pour $(m=\sqrt{7})$ et il s'agit de la situation où les deux droites sont parallèles. L'observation de l'ordonnée à l'origine (-1 pour l'une et +1 pour l'autre) indique qu'elles ne peuvent être confondues. Il vient alors deux cas possibles:

$m=\sqrt{7}$ : dans ce cas, il n'y a pas de solution.

$m \neq \sqrt{7}$ : il existe une seule solution, c'est-à-dire un seul point d'intersection $I$ d'abscisse : \[ x_I = \frac{2}{\sqrt{7}-m} \] et dont l'ordonnée se calcule en utilisant l'équation cartésienne de l'une des deux droites étudiées. Par exemple avec $g$ : \[ y_I = \frac{2m}{\sqrt{7}-m} +1  = \frac{\sqrt{7}+m}{\sqrt{7}-m} \]

Vecteur unitaire $\vec{w}$

Il y a deux vecteurs unitaires, pour chaque sens, $\vec{w}$ et le calcul donne : \[ \vec{w} = \pm \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \] Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires si et seulement si les deux droites sont parallèles, ce qui correspond au cas $(m=\sqrt{7})$ . Cela nous évite de poser le déterminant, mais on peut retrouver vite le résultat ainsi. Ci-dessous, on dessine le cas $(m=-1)$ :

{C}[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"237","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"425","typeof":"foaf:Image","width":"387"}}]]

Question 3 - Etude d'une famille de tangentes à une parabole.

Le discriminant vaut 13 et les deux racines sont : \[ \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \] La dérivée se calcule terme à terme : \[ h'(x) = 2x-3 \] C'est une fonction affine qui s'annule en le point d'abscisse $3/2$ et négative avant et positive après. Ce qui permet de dresser le tableau de variations de la fonction $h$ : \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 3/2 & & +\infty \\ \hline \\ h'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \\ h(x) & & \searrow & -13/4 & \nearrow & \\ \hline \end{array} \] L'équation de la tangente en le point $M$ à la parabole est donnée par la formule : \[ y = h'(x_M) (x-x_M) + h(x_M) \] on remplace $x_M$ par le réel $m$ et on développe, ce qui donne : \[ y = (2m-3) x - (m^2+1) \] La droite a pour coefficient directeur un nombre qui est $h'(m)$ et donc qui s'annule une fois, la tangente en le sommet $3/2$ est horizontale. Les tangentes pour les points situés à gauche du sommet sont décroissantes et celles à droite sont croissantes au sens strict. L'ordonnée à l'origine est toujours située sous le nombre -1.

Question 4 - Comparaison entre deux tangentes.

L'illustration qui suit représente le cas $(m=2)$ . On rappelle que le point $N$ est fixe et $M$ mobile sur la parabole.

[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"238","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"605","typeof":"foaf:Image","width":"331"}}]]

Sachant que $h(-2)$ vaut 9 on a : \[ \overrightarrow{NM} = \begin{pmatrix} m+2 \\ m^2-3m-10 \end{pmatrix} \] La tangente $\mathcal{T}_M$ a pour coefficient directeur $(2m-3)$ ce qui donne le vecteur pente : \[ \vec{u}_M = \begin{pmatrix} 1 \\ 2m-3 \end{pmatrix} \] Pour connaître celui de la tangente en $N$ il suffit de remplacer $m$ par l'abscisse correspondante, c'est-à-dire -2 et on trouve : \[ \vec{u}_N = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix} \] Le déterminant vaut alors : \[ 1 \times (-7) - (2m-3) \times 1 = -2m-4 \] Il est nul en le réel -2, ce qui correspond au cas où $M$ rencontre $N$ . Enfin il est strictement négatif à droite de -2 et strictement positif à gauche.

Solution

Question 1 - Déterminant de deux vecteurs. Inversion d'un système.

Le déterminant $\det(\vec{u}\, ; \vec{v})$ vaut $(1 \times 1 - 2 \times 2)$ soit $-3$ . De plus on a le système : \[ \begin{align*} \vec{u} & = \vec{\imath} + 2 \vec{\jmath} \\ \vec{v} & = 2 \vec{\imath} + \vec{\jmath} \end{align*} \] On peut multiplier la première équation par 2 et lui ôter la seconde pour obtenir le vecteur $\vec{\jmath}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . De même pour obtenir $\vec{\imath}$ . On trouve : \[ \vec{\imath} = -\frac{1}{3} \vec{u} +\frac{2}{3} \vec{v} \qquad \vec{\jmath} = \frac{2}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{v} \] Les coefficients recherchés sont alors : \[ \alpha = \delta = -\frac{1}{3} \qquad \beta = \gamma = \frac{2}{3} \] Ci-dessous l'ancien repère représenté avec l'origine $O$ et les deux vecteurs de la base $(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})$ directeurs des axes $(Ox)$ et $(Oy)$ avec enfin les nouveaux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ que nous plaçons ailleurs pour plus de lisibilité.

{C}[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"239","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"455","typeof":"foaf:Image","width":"600"}}]]

Question 2 - Nouvelles coordonnées des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$.

Le couple de vecteurs $(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})$ forme l'ancienne base. Et le couple $(\vec{u}\, ; \vec{v})$ la nouvelle. Si l'on considère un vecteur quelconque $\vec{a}$, ses coordonnées dans l'ancienne base sont les coefficients $p$ et $q$ qui apparaissent lorsqu'on l'écrit en fonction de $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ . Nous avons vu dans le cours qu'il est possible d'exprimer tout vecteur $\vec{a}$ à l'aide d'un même couple de vecteurs fixés, dès lors qu'ils sont non colinéaires. Ainsi le couple $(\vec{u}\, ; \vec{v})$ est une base. On a déjà trouvé l'expression du vecteur $\vec{\imath}$ sur cette base. Ses coordonnées sont donc lisibles dans la réponse à la question 1 : \[ \vec{\imath} \; \left(-\frac{1}{3} \, ; \frac{2}{3} \right) \; \text{dans la nouvelle base} \] De même pour le vecteur $\vec{\jmath}$ dont les coordonnées sont $(2/3 \, ; -1/3)$ dans la nouvelle base. Ci-dessous, nous présentons la façon d'obtenir les anciens vecteurs vecteurs à partir d'une combinaison des nouveaux, à gauche pour $\vec{\imath}$ et à droite pour $\vec{\jmath}$ .

[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"240","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"358","typeof":"foaf:Image","width":"600"}}]]
 

Question 3 - Nouvelles coordonnées de points.

Soit $A(x,y)$ un point du plan de coordonnées $x$ et $y$ dans l'ancienne base. Cela se traduit par la relation: \[ \overrightarrow{OA} = x \vec{\imath} + y \vec{\jmath} \] Il nous suffit d'exprimer les vecteurs de l'ancienne base dans la nouvelle pour obtenir les nouvelles coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OA}$ et cela donne alors aussi les nouvelles coordonnées de $A$ : \[ \begin{align*} \overrightarrow{OA} & = x \vec{\imath} + y \vec{\jmath} \\ & = x \left( -\frac{1}{3} \vec{u} +\frac{2}{3} \vec{v} \right) \; + \; y \left( \frac{2}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{v} \right) \\ & = \frac{2y-x}{3} \vec{u} + \frac{2x-y}{3} \vec{v} \end{align*} \] Le point $A$ possède comme nouvelle abscisse le réel $(2y-x)/3$ et comme nouvelle ordonnée le réel $(2x-y)/3$ . Il n'est pas utile pour traiter la question d'aborder le cas général comme nous venons de le faire, mais cela permet de clarifier le sujet. Le point $(1\, ; 0)$ noté $I$ est l'extrémité du vecteur $\vec{\imath}$ lorsque l'origine est $O$ donc ses coordonnées sont déjà calculées dans la réponse à la question 2, il s'agit de celles du vecteur $\vec{\imath}$ . De même les coordonnées du point $(0\, ; 1)$ noté $J$ sont celles du vecteur $\vec{\jmath}$ .

Ci-dessous, nous modifions la grille pour qu'elle corresponde à la nouvelle base. Et en jaune nous explicitons les coordonnées du vecteur $\vec{\imath}$ suivant cette nouvelle base. Les projections suivant les nouveaux axes ne sont pas orthogonales à l'arrivée, mais elles sont toujours des projections parrallèlement à une droite donnée.

[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"241","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"614","typeof":"foaf:Image","width":"784"}}]]
 

Question 4 - Equations des axes suivant le repère.

Dans l'ancien repère l'axe $(O\vec{\imath})$ est la droite d'équation $(y=0)$ . Dans le nouveau repère constitué du même point $O$ et des nouveaux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ on suppose que son équation est paramétrée par les deux réels $m$ et $\lambda$ par la relation : \[ \forall X, Y \in \mathbb{R} \quad Y=mX+\lambda \] La méthode consiste à utiliser deux points appartenant à l'axe qui sont $O$ et $J$ . Comme $O$ ne change pas de coordonnées alors, en remplaçant $X$ et $Y$ par zéro on trouve que $\lambda$ est nul. Puis $I$ appartient à cet axe, on remplace $X$ et $Y$ par ses nouvelles coordonnées pour trouver $m$ : \[ \frac{2}{3} = m \times \left( -\frac{1}{3} \right) \] Le coefficient $m$ vaut -2. Le même procédé permet de trouver un coefficient directeur égal à -1/2 et une ordonnée à l'origine nulle pour l'axe $(O\vec{\jmath})$ .

Question 5 - Equation d'une droite dans le nouveau repère.

Dans l'ancienne base

Le coefficient directeur se calcule en posant le taux d'accroissement entre $A$ et $B$ : \[ m = \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} = \frac{3-2}{6-2} = \frac{1}{4} \] Puis on utilise par exemple l'appartenance de $B$ à la droite pour en déduire l'ordonnée à l'origine : \[ y_B = m x_B + \lambda \] et on obtient : $ \lambda = 3/2 $ .

Dans la nouvelle base

Diverses approches sont possibles. Nous proposons celle qui passe par le calcul des nouvelles coordonnées de $A$ et $B$. Pour cela on cherche les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : \[ \overrightarrow{OA} = 6 \vec{\imath} + 3 \vec{\jmath} = 3  (2 \vec{\imath} + \vec{\jmath}) = 3 \vec{v} \] De même on trouve que : \[ \vec{u}+\vec{v} = 3 (\vec{\imath}+\vec{\jmath}) \] et comme $\overrightarrow{OB}$ correspond à 2 fois le vecteur $(\vec{\imath}+\vec{\jmath})$ on en déduit qu'il vaut les deux tiers du vecteur somme $(\vec{u}+\vec{v})$ . D'où les coordonnées dans la nouvelles base: \[ A(0\, ; 3) \qquad B\left( \frac{2}{3}\, ; \frac{1}{3} \right) \] L'appartenance de $A$ à la droite donne directement l'ordonnée à l'origine puisque c'est $A$ qui correspond à ce point dans le nouveau repère. Et on trouve $m$ avec l'appartenance de $B$ : \[ \lambda = 3 \qquad m = -\frac{7}{2} \] La droite représentait une fonction linéaire dans l'ancienne base, ici elle est affine. Mais elle reste droite, car les caractéristiques géométriques restent inchangées.  Ci-dessous nous représentons en vert la droite $(AB)$ et l'on remarquera que $(OA)$ correspond à l'axe des ordonnées (pour le nouveau repère) . Il est intéressant de positionner le point qui est d'abscisse 1 dans la nouvelle base, il suffit de se déplacer à partir de $A$ suivant $\vec{u}$ puis suivant $-7\vec{v}/2$ .

{C}[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"242","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"732","style":"text-align: center; ","typeof":"foaf:Image","width":"1004"}}]]

Question 6 - Invariance de certaines propriétés par changement de base.

Tout d'abord remarquons que deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires. On a en fait une seule question à se poser : montrer que la colinéarité est conservée lors d'un changement de base. C'est une évidence. Prenons seulement l'exemple de l'exercice entre les deux bases $(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})$ et $(\vec{u}\, ; \vec{v})$ . Soit deux vecteurs $\vec{p}$ et $\vec{q}$ qui sont colinéaires du point de vue de l'ancienne base. On sait qu'il existe un nombre $k$ tel que : \[ \vec{p} = k \vec{q} \] On remarquera au passage que la base n'intervient pas dans cette relation, c'est intrinsèque aux deux vecteurs $\vec{p}$ et $\vec{q}$ mais pour s'en convaincre prenons les coordonnées de chacun des vecteurs, on suppose qu'il s'agit de $p_1$ et $p_2$ pour $\vec{p}$ et $q_1$ et $q_2$ pour $\vec{q}$ dans l'ancienne base. C'est-à-dire : \[ \begin{align*} \vec{p} & = p_1 \vec{\imath} + p_2 \vec{\jmath} \\ \vec{q} & = q_1 \vec{\imath} + q_2 \vec{\jmath} \end{align*} \] Le changement de base permet d'écrire le vecteur $\vec{p}$ suivant la nouvelle base : \[ \vec{p} = \frac{-p_1+2p_2}{3} \vec{u} + \frac{2p_1-p_2}{3} \vec{v} \] La colinéarité donne les deux égalités $(p_1=kq_1)$ et $(p_2=kq_2)$ dès le départ. Ce qui donne: \[ \frac{-p_1+2p_2}{3} \vec{u} + \frac{2p_1-p_2}{3} \vec{v} = k \frac{-q_1+2q_2}{3} \vec{u} + k \frac{2q_1-q_2}{3} \vec{v} \] Le membre de gauche de cette dernière égalité est le vecteur $\vec{p}$ exprimé dans la nouvelle base et le membre de droite est $k$ fois le vecteur $\vec{q}$ exprimé dans la nouvelle base. La proportionnalité s'exprime avec le même coefficient $k$ dans l'ancienne et la nouvelle base.