Exercice 3.10 - Somme de termes, cas général.

Enoncé

Soit $u$ une suite arithmétique de raison $a$, de premier terme $u_0$, de suite somme associée $S$. Soient $r$ et $s$ deux entiers vérifiant : $r > s \geq 1$ .

1. Exprimer la quantité $(u_s+\ldots+u_r)$ en fonction des termes de la suite $S$ .
    
2. Exprimer cette même quantité en fonction de $r, s, u_r$ et  $u_s$ .
    
3. Exprimer la aussi en fonction de $r, s, u_0$ et $a$ .
    
4. Déduire pour un entier $(n \geq 1)$ donné les quantités $(u_n+\ldots+u_{2n})$ ainsi que $(u_n+\ldots+u_{n^2})$ en fonction de $n, u_0$ et $a$ .
    
5. Calculer $u_9+\ldots+u_{81}$ sachant que $u_0=1$ et $a=3$ .