Exercice 4.6 - Convergence et calcul de limite

Exercice 4.6 - Convergence et calcul de limite
convergence
limite
disjonction des cas
TekMath
Livre
Première

Enoncé

Pour l'ensemble des questions, on demande la limite en précisant si la convergence est par valeurs inférieures ou supérieures. Il faudra aussi distinguer tous les cas possibles avec $a,b,c,d$ réels.

  1. Calculer $\displaystyle \lim \frac{c}{an+b}$
     
  2. Montrer que $\displaystyle \lim \left( 1- \frac{1}{n+1} \right) = 1^- $ . Calculer $\displaystyle \lim \left( 1+ \frac{dn^2}{an^2+bn+c} \right) $ .
     
  3. Soit $\displaystyle u_n = \frac{an+b}{cn+d} $ . Etudier la monotonie et la convergence de $u$ .

Indications

  1. Vu le nombre de cas, il vaut mieux remplacer les réels $a,b,c$ par des nombres. Distinguer les cas postifs, négatifs strictement, et nuls. Puis généraliser.
  2. Montrer que la limite est 1, puis qu'elle est atteinte par valeurs inférieures, c'est-à-dire que les termes de la suite sont situés sous cette limite. Il est inutile de considérer de nombreux cas, ce sont les réels $a$ et $d$ qui entrent en jeu dans le calcul de la limite demandée ensuite.
  3. Le cas $a=0$ a été abordé. Prendre quelques exemples.

Solution

<à suivre>