Solution

Question 1- Equation de droite passant par deux points donnés.

Les points $A$ et $B$ ne sont pas alignés à la verticale, on peut donc trouver une équation de la forme \[ y=ax+b \] pour la droite $\mathcal{D}$ . Quant au coefficient directeur il se calcule à l'aide des quatre coordonnées par la formule: \[ \begin{align*} a & = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \\ & = \frac{0.49-0.25}{0.7-0.5} \\ & = \frac{0.24}{0.2} \\ & = 1.2 \end{align*} \] Puis l'ordonnée à l'origine peut se déterminer en appliquant l'équation à la relation d'appartenance $(B \in \mathcal{D} )$ . Le coefficient $b$ résout alors l'équation: \[ 2.5 = 1.2 \times 0.5 + b \] D'où le résultat: $b=0.35$ . L'équation recherchée est: \[ \mathcal{D} \; : \quad y = 1.2 \times x + 0.35 \] Le tracé donne, avec une grille de précision $10^{-1}$:

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Question 2 - Critère de bonne approximation.

Graphiquement nous constatons que la droite approche la courbe surtout entre $A$ et $B$. Le critère de bonne approximation énoncé en page 91 consiste à affirmer que pour toute précision $\delta$ on peut trouver un intervalle $\mathcal{I}$ contenant $A$ tel que tous les points de cet intervalle aient une image par $f$ proche de leur image par $g$ d'un écart plus faible que $\delta$.

La démonstration est classique. On part d'un réel strictement positif $\delta$. On considère que $\mathcal{I}$ existe déjà, et on choisit un réel $x$ en faisant partie. On estime la quantité \[ | f(x)-g(x) | \] L'objectif est de chercher une condition nécessaire sur $x$ telle que cette quantité soit plus petite que $\delta$. Et on observe si elle est aussi suffisante. Cela produit une condition nécessaire et suffisante sur l'intervalle $\mathcal{I}$ pour vérifier le critère.

En dehors de l'aspect purement technique, il est bon de constater l'aspect géométrique du critère, il est mentionné dans le cours. La droite $\mathcal{D}$ coupe la parabole en $A$, donc on peut s'approcher autant qu'on le souhaite des valeurs de $f$ en passant par $g$ qui est ici l'équation de la droite. Le calcul de $f(x)-g(x)$ donne: \[ f(x)-g(x) = x^2-1.2 x+0.35 \] Cette quantité désigne l'écart entre les deux courbes pour deux points situés sur une même verticale, elle tient compte du signe. Graphiquement elle est négative entre $B$ et $A$ et positive ailleurs. On reproduit ci-dessous la courbe représentant cette différence:

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On retrouve bien la région sur laquelle elle est négative et le reste est positif. Pour connaître la valeur absolue, on conserve la partie de la courbe située au dessus de l'axe des abscisses, et ce qui est en dessous est transformé par symétrie axiale comme ceci a été expliqué dans le chapitre 2, lorsqu'on compose avec une valeur absolue.

La résolution du problème consiste à trouver un intervalle $\mathcal{I}$ centré autour de $0.7$ tel que les éléments de $\mathcal{I}$ aient une image par $|f(x)-g(x)|$ plus petite que $\delta$. Graphiquement cela revient à résoudre ce qui suit:

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La symétrie de la parabole autour de la droite $(x=0.6)$ implique de rechercher l'extrémité droite du segment $\mathcal{I}$ qu'on a imposé centré en $A$. Avant d'entamer tout calcul, il faut savoir que la question est résolue, dans le sens où puisque 0.7 est une racine de la différence $f(x)-g(x)$ il advient d'après le théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe un intervalle centré en $0.7$ tel que tous les éléments de celui-ci aient une image par $f(x)-g(x)$ plus petite que $\delta$.

Question 3 - lien entre la précision $\delta$ et la taille de l'intervalle $\mathcal{I}$ .

On écrit: \[ \mathcal{I} = [ 0.7-\mu \, ; 0.7+\mu ] \] L'intervalle est centré en $A$ et le nouveau paramètre $\mu$ désigne l'ajustement à trouver en fonction de la précision $\delta$ recherchée. La symétrie indiquée précédemment implique qu'un majorant de la fonction $|f-g|$ est sa valeur en l'extrémité droite: \[ \forall x \in \mathcal{I} \qquad |f(x)-g(x)| \leq f(0.7+\mu)-g(0.7+\mu) \] Sa valeur est: \[ \mu (\mu+0.2) \] On doit la majorer par $\delta$. D'où l'inéquation du second degré reliant $\delta$ aux bornes de l'intervalle: \[ \mu^2+0.2\, \mu -\delta < 0 \] La résolution donne deux solutions: \[ \frac {-0.2 \pm \sqrt{0.04+4\delta}}{2} \] entre lesquelles la quantité est strictement négative. Ainsi une condition nécessaire est, en simplifiant les solutions trouvées: \[ \mu \in ] \frac{1}{10} (-1-\sqrt{1+100\delta}) \, ; \frac{1}{10} (-1+\sqrt{1+100\delta}) [ \] Seules les valeurs positives de $\mu$ sont utiles. Au final le lien est le suivant: \[ 0 < \mu < \frac{1}{10} \left( \sqrt{100\delta+1} - 1 \right) \]

Résumé

Nous avons tracé deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$ . L'une liée à $f$ et l'autre à $g$ . Nous avons étudié l'écart qui existe entre les deux quantités $f(x)$ et $g(x)$ . Ce qui représente la distance entre un point d'une courbe à celui situé sur la même verticale et sur l'autre courbe. L'étude se fait sur la fonction $|f-g|$ . Pour une précision fixée $\delta$ il apparaît que l'intervalle $\mathcal{I}$ centré en $0.7$ et de longueur \[ \frac{1}{5} \left( \sqrt{100\delta+1} - 1 \right) \] vérifie le critère de bonne approximation, et il est l'intervalle le plus grand. On trouve la valeur maximale de $\mu$ en tenant compte de la valeur en $(0.7+\mu)$ de la fonction $|f-g|$ représentée en bleu sur le dessin ci-dessous. La région grisée est celle où $\mathcal{D}$ est proche de la parabole $\mathcal{C}_f$ d'une distance inférieure à $\delta$. A gauche de $0.7$ elle est au dessus et à droite au dessus, en $0.7$ elle atteint la parabole au point $A$.

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Question 4 - Intervalle le plus grand sur lequel l'approximation jugée satisfaisante.

Une fois la question 3 entièrement traitée, celle-ci devient immédiate, il suffit d'appliquer la formule trouvée. Pour $\delta=0.5$ le maximum pour $\mu$ est: \[ \frac{1}{10} \left( \sqrt{51}-1 \right) \] soit environ $0.614$, d'où un intervalle $\mathcal{I}$ approchant: \[ ] 0.086 \, ; 1.314 [ \] Pour une précision plus fine $(\delta=0.1)$ le paramètre $\mu$ sera au plus égal à: \[ \frac{1}{10} \left( \sqrt{11}-1 \right) \] soit environ $0.232$ . L'intervalle sera environ: \[ ] 0.468\, ; 0.932 [ \] Certes il est plus resserré mais nous constatons que pour une précision 5 fois plus importante, le paramètre $\mu$ n'a été divisé que par 3 environ.

Question 5 - Calculs avec un point $M$ mobile.

Le coefficient vaut: \[ \frac{0.49-m^2}{0.7-m} = 0.7+m \] et le paramètre $b$ se déduit en appliquant la relation $ A \in (AM) $ : \[ b = 0.49 - (0.7+m) \times 0.7 = -0.7\, m \] On retrouve les résultats de la question 1 si l'on remplace $m$ par $0.5$ . L'équation de $(AM)$ est: \[ y = (m+0.7) x -0.7m \]

Question 6 - Comparaison de droites suivant le critère de bonne approximation.

On peut prendre comme critère de comparaison l'intervalle $\mathcal{I}$ pour une précision $\delta$ donnée. On calcule deux intervalles, l'un étant lié à la droite $(AB)$ et l'autre à $(AM)$ . On considère que la meilleure approximation est faite pour la droite ayant l'intervalle le plus grand. Seulement, il se peut  qu'une fonction ait un intervalle plus grand mais que l'écart moyen à l'intérieur reste moins bon que pour l'autre fonction.

Prenons un exemple: soit la fonction $f$ d'équation $(f(x)=1)$ à approcher, certes cela n'a aucun intérêt d'approcher une fonction aussi simple, mais nous le faisons pour donner un exemple simple à comprendre. Les deux courbes suivantes approchent $\mathcal{C}_f$ . L'une d'elle est la droite d'équation $(y=0.8)$ et elle reste dans une ragion grisée de largeur $\delta=1$ . Tandis que l'autre courbe est une parabole qui passe dans la région grisée sur un plus court intervalle. Ainsi elle est une moins bonne approximation au sens des tailles d'intervalles. En revanche, la parabole peut atteindre de meilleure précisions. En effet, si nous imposons $(\delta=0.1)$ alors la droite $(y=0.8)$ n'aura aucun intervalle sur lequel elle approche $(y=1)$ alors que la parabole en possèdera toujours un quelque soit la valeur de $\delta$.

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Le critère de bonne approximation peut être l'intervalle le plus grand pour une précision donnée, mais aussi la meilleure précision pour un intervalle fixé à l'avance. C'est ce qui fait qu'on ne peut conclure entre $(AB)$ et $(AM)$ .

Question 7 - Notion de dérivation.

Nous n'égalisons pas $M$ et $A$ mais plutôt en étudiant l'équation de $(AM)$ nous observons ce qui se passe lorsque $M$ tend vers $A$ .  Alors $m$ devient très proche de $0.7$ au point de l'approcher. Ainsi l'équation tend vers: \[ y = 1.4 x - 0.49 \] Le coefficient directeur devient le double de l'abscisse du point $A$. La droite $(AM)$ tend vers une droite particulière appelée tangente de $\mathcal{C}_f$ en $A$ . 

Solution

Résolution géométrique

Soit $A(a\, ; f(a) )$ un point de la courbe $\mathcal{C}_f$ dont la fonction $f$ vérifie la propriété énoncée. Le taux est constant pour tout $M(m\, ; f(m) )$ . Soit $M_1$ un premier point. On a comme taux entre $A$ et $M_1$ le nombre $c$ qui représente le coefficient directeur de la droite $(AM_1)$ . Soit à présent un point $M_2$ appartenant à la courbe distinct de $M_1$ . Le taux étant constant, le coefficient directeur de $(AM_2)$ est le même que celui de $(AM_1)$ . Les deux droites sont parallèles. Puisqu'elles partagent le point $A$ on en déduit qu'elles sont confondues.

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Puisque ces deux droites sont confondues, le point $M_2$ appartient à la droite $(AM_1)$ . A présent, toute la subtilité du raisonnement repose sur la gestion des quantificateurs. A savoir que nous avons raisonné sur n'importe quel point $A$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ . Laissons le fixe pour l'instant. De plus nous avons choisit n'importe lequel des points $M_1$ de la courbe. Laissons le fixe. Jusqu'ici il nous est permis de faire appel à la propriété, puisque le taux est le même en tout point $A$ à partir de n'importe quel autre point $M_1$ . Or le raisonnement continue avec un point $M_2$ quelconque de la courbe. Le résultat s'applique donc à tout point $M$ de la courbe:

Tout point $M$ de la courbe se situe sur la droite $(AM_1)$ qui ont été fixés au préalable. La courbe est contenue dans une droite, son équation est donc affine.

Résolution analytique

Pour tout réel $a$ et réel $m$ on a: \[ \tau = \frac{f(a)-f(m)}{a-m} \] qu'on suppose constant égal au nombre $c$ . Or nous avons vu dans le cours une propriété pour la fonction $g$ définie par: $g(x)=cx$ . Son taux $\tau_g$ est constant pour tout $a$ et à partir de tout $m$ et vaut $c$ , ainsi nous pouvons écrire: \[ \tau - \tau_g = 0 \] Nous voyons aussi que cette différence de taux est elle-même un taux, celle de la fonction $f-g$ .

Nous avons vu qu'une fonction constante a pour taux 0. Qu'en est-il de la réciproque? Soit $h$ une fonction de taux nul. Alors: \[ \forall x \neq m \qquad \frac{h(x)-h(m)}{x-m} = 0 \] Fixons $x$ en un point quelconque, par exemple 1. Alors: \[ \forall m \; \in \; \mathbb{R}\setminus \{ 1 \} \qquad h(m)=h(1) \] Nous en déduisons que $h$ est constante. Il y a donc équivalence entre les deux propriétés:

• Une fonction est constante
• Une fonction admet un taux nul

Ainsi la fonction $(f-g)$ est constante. Soit $b$ cette constante. Sachant l'expression de $g$ on en déduit celle de $f$ : \[ \forall x \in \mathbb{R} \qquad f(x) = cx+b \]

Solution

Question 1 - Calcul de l'équation d'une tangente.

Nous traçons la courbe $\mathcal{C}_f$ liée à la fonction cubique et les tangentes demandées. Leur équation se déduit directement de l'expression de $f$ et $f'$ trouvée dans le cours ainsi que de la formule donnée en page 95 : \[ \mathcal{T}_{-1} \; : \; y = f(-1) \left( x- (-1) \right) + f(-1) \] Ce qui donne : $ y = 3x+2 $ . De même, pour 0 on trouve l'axe des abscisses comme tangente. Et en $+1$ il s'agit de la droite $\mathcal{T}_{+1}$ d'équation : \[ y = 3x-2 \] On en déduit les tracés suivants avec une grille de précision $0.5$ :

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Question 2 - Position relative de la courbe cubique à ses tangentes.

Méthode

Il suffit d'effectuer la différence entre $f(x)$ et la quantité $y(x)$ liée à la tangente en $-1$ : \[ f(x)-y(x) = x^3-3x-2 \] Il s'agit ensuite d'étudier le signe de cette quantité. Suivant le signe on en déduit les positions. Or il s'agit d'une équation cubique, nous ne disposons pas forcément des connaissances pour la résoudre. Ceux qui observent attentivement l'équation : \[ x^3-3x-2 = 0 \] verront que $+2$ est solution mais cela ne suffit pas. Rappelons toutefois que l'équation indique les abscisses en lesquelles il y a intersection entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente en $-1$ . Or, par définition, elles se croisent en $-1$ . Ce nombre est une racine de l'équation et nous pouvons affirmer qu'il existe trois réels $a,b,c$ tels que : \[ x^3-3x-2 = (x+1) (ax^2+bx+c) \] En développant cette expression : \[ x^3-3x-2 = ax^3+(a+b) x^2 + (b+c) x +c \] Il vient par identification : \[ \begin{cases} a = 1 \\ a+b = 0 \\ b+c = -3 \\ c = -2 \end{cases} \] D'où : \[ a=1 \quad b=-1 \quad c=-2 \] Nous nous retrouvons à résoudre l'équation du second degré: \[ x^2-x-2 = 0 \] On trouve un discriminant égal à $9$ et donc deux racines qui sont $-1$ et $+2$ . Ainsi le polynôme $(x^3-3x-2)$ admet $-1$ comme racine double et $+2$ comme racine simple: \[ x^3-3x-2 = (x+1)^2 (x-2) \] Pour une racine simple il y a changement de signe mais pour une racine double il n'y en a pas. Ainsi il y a un signe pour l'expression $(f-y)$ avant $+2$ et un autre différent après $+2$ et elle ne s'annule qu'en $-1$ et $+2$

Conclusion

Avant $+2$ la courbe cubique est en dessous de sa tangente en $-1$ : \[ \forall x \in ] -\infty\, ; 2 [ \setminus \{-1\} \qquad f(x) < y(x) \] Et après $+2$ elle est définitivement au dessus: \[ \forall x \in ] 2\, ; +\infty [ \qquad f(x) > y(x) \] Elles se rencontrent en deux points : $-1$ et $+2$ .

Les autres tangentes

La tangente en $0$ se confond avec l'axe des abscisses. Il suffit donc d'étudier le signe de $f(x)$ pour connaître sa position. Il est connu que: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline \\ f(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} \] La tangente est au dessus de la courbe avant $0$ et au dessus après, elles se coupent en $0$ uniquement.

La méthode pour comparer avec la tangente en $+1$ est identique. On pose: \[ f(x)-y(x) = x^3-3x+2 \] Sachant que $+1$ est racine, il existe $a,b,c$ tels que: \[ f(x)-y(x) = (x-1)(ax^2+bx+c) \] On trouve encore $(a=1)$ et $(c=-2)$ mais $(b=1)$ cette fois-ci. Le discriminant reste inchangée et les deux racines de l'équation: \[ x^2+x-2 = 0 \] sont alors $-2$ et $+1$ . Il y a une symétrie avec l'étude faite sur la tangente en $-1$ et celle-ci. Cette fois-ci on conclut que sur $] -\infty\, ; -2 [$ la courbe est en dessous de la tangente $\mathcal{T}_1$ . Sur $[-2 \, ; +\infty [$ la courbe est au dessus avec une intersection en $-2$ et $+1$ . On trace ci-dessous les trois courbes étudiées avec une échelle réduite pour l'ordonnée (on multiplie par le facteur $0.3$ en ordonnée) :

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Question 3 - Calcul d'angle entre droites à partir de leur équation cartésienne.

Soit $x$ un réel, la tangente en $x$ a pour équation, en prenant $X$ comme la variable d'abscisse et $Y$ l'ordonnée: \[ Y = f'(x) (X-x) + f(x) \] Soit en développant un peu:  \[ Y = 3x^2 \, X \, - \, 2x^3 \] Il faut bien comprendre que la variable s'appelle $X$ et $x$ est un réel fixé. La tangente en $x$ coupe l'axe des ordonnées en le point $P$ de coordonnées $(0\, ; -2x^3)$ et l'axe des abscisse en le point $Q$ de coordonnées $\displaystyle (\frac{2}{3} x \, ; 0 ) $

L'angle $\displaystyle \vartheta = \widehat{QPO}$ recherché peut être calculé à partir de sa tangente, qui est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent du triangle $OPQ$ ci-dessous:

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La formule est la suivante: \[ tan \vartheta = \frac{OQ}{OP} = - \frac{1}{3x^2} \] On peut se servir de la fonction arctan (nommée arc tangente) qui est l'opération inverse de la tangente et permet de retrouver un angle à partir de sa tangente: \[ \vartheta = \arctan \left( -\frac{1}{3x^2} \right) \]

Quelques valeurs particulières

Lorsque $x$ tend vers $0$ la fraction $(-1/(3x^2)$ tend vers $-\infty$ . Ce qui donne un angle qui tend vers $-\pi/2$ . On retrouve l'orthogonalité entre les deux axes. Si $x$ tend vers $+\infty$ alors la fraction tend vers 0 ce qui donne un angle qui tend vers $0$ . Enfin on peut s'interroger sur l'abscisse des points pour lesquels l'angle vaut $\pi/4$ ou $\pi/3$ et $\pi/6$ . Plutôt que de passer par l'arc tangente, il suffit de vérifier des propriétés sur le triangle. Pour que $\vartheta$ soit égal à $45^\circ$ il faut et il suffit que $OQ$ soit égal à $OP$ (triangle isocèle). Pour un angle de $30^\circ$ on cherche $OQ$ qui vaut la moitié de $OP$ et l'inverse pour $60^\circ$ .

Solution

Cas 1 - $f$ est quelconque et $g$ constante.

Somme avec une constante.

Puisque $f$ est quelconque nous ne pourrons apporter plus de précision. La fonction $g$ est constante. Ecrivons : \[ \forall x \in \mathbb{R} \quad g(x)=G \] La fonction $S$ s'écrit: \[ S(x) = f(x)+G \] Et sa dérivée est égale à celle de $f$ : \[ S'(x) = f'(x) \] C'est un résultat fondamental. Si deux fonctions sont égales à une constante additive près (c'est l'expression pour décrire le lien entre $S$ et $f$ ) alors elles ont même dérivées. Ceci parce que leur différence est une fonction constante. On l'interprète graphiquement en observant des variations identiques, même si les valeurs prises ne sont pas les mêmes, le mouvement décrit par les deux courbes est le même.

Produit avec une constante.

Si l'on multiplie une fonction $f$ par une constante $g$ alors on multiplie la dérivée par la même constante. Ainsi: \[ P'(x) = f'(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \] Comme $g$ est constante, sa dérivée est nulle, d'où: \[ P'(x) = G \, f'(x) \] Ceci parce que pour deux abscisses $x$ et $m$ données, leurs ordonnées sont écartées d'un facteur $G$ lorsqu'on les multiplie par ce même facteur: \[ \frac{P(x)-P(m)}{x-m} = G \, \frac{f(x)-f(m)}{x-m} \] En passant à la limite on trouve $P' = G \times f'$ .

Cas 2 - $f$ est un polynôme et $g$ est linéaire.

La somme entre $f$ et $g$ est un polynôme. Si $f$ est de degré $n$ avec les coefficients $a_p$ affectés au degré correspondant à l'indice p variant de $0$ à $n$ alors: \[ S(x) = a_n x^n + \ldots + a_2 x^2 + (a_1+\rho) x + a_0 \] où $\rho$ est le coefficient directeur de $g$ . Dériver un polynôme s'effectue terme à terme d'après la formule de la dérivée d'une somme. Un monôme $x^p$ se dérive en $px^{p-1}$ . On retire un degré en multipliant le monôme par le degré qu'il possédait. D'où : \[ S(x) = na_n x^{n-1} + \ldots + 2a_2 x + a_1 + \rho \] On pourrait plus simplement écrire: \[ S'(x)=f'(x)+g'(x) = f'(x)+\rho \] Si l'on multiplie $f$ par $g$ on trouve le polynôme: \[ P(x) = \rho ( a_n x^{n+1} + \ldots + a_2 x^3 + a_1 x^2 + a_0 x ) \] En dérivant on trouve le polynômé de degré $n$ dont le coefficient de degré $p$ vaut: \[ \rho \, (p+1) \, a_p \] On pourrait raisonner sur la formule du produit: \[ P'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) = \rho \, f'(x) \, x + \rho f(x) \] le terme $\rho \, f'(x) \, x $ donne le coefficient $\rho \, p \, a_p $ et le terme de droite donne le coefficient $\rho \, a_p$ au degré $p$ .

Cas 3 - $f$ et $g$ sont affines.

Le domaine de $S$ et $P$ est le même, il s'agit d'intersecter les deux domaines entre $f$ et $g$ . D'où \[ \mathrm{D}_f \cap \mathrm{D}_g = ] 5\, ; 6 ] \] Ecrivons: \[ f(x)=mx+\lambda \qquad g(x) = nx+\mu \] Le calcul des dérivées donne: \[ S'(x) = m+n \qquad P'(x) = 2nm \, x + (m\mu+n\lambda) \]

Solution

Question 1 - Polynôme du second degré.

Pour $(n=0)$ la fonction $h$ est constante. Pour $(n=1)$ c'est une fonction affine et pour $(n=2)$ c'est une fonction du second degré, représentée par une parabole. La dérivée est nulle lorsque $n$ vaut 0, puis constante égale au coefficient $a_1$ si $n$ vaut 1 et enfin, lorsque $(n=2)$ : \[ h'(x) = 2a_2x+a_1 \]

Question 2 - Polynôme du troisième degré.

On dérive terme à terme: \[ h'(x) = 3a_3x^2+2a_2x+a_1 \] Si l'on représente les coefficients de $h$ et $h'$ sous la forme d'un tableau, on constate un décalage de ceux de $h$ vers la droite après multiplication par le degré auquel ils étaient liés: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline h & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \\ h' & 0 & 3a_3 & 2a_2 & a_1 \\ \hline \end{array} \] On peut aussi affirmer que la dérivée d'un polynôme est aussi un polynôme, de degré moindre d'une unité.

Question 3 - Dérivées successives de la fonction cubique.

La fonction $h'$ est aussi un polynôme, donc elle est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ et sa dérivée s'exprime ainsi: \[ h''(x) = 6a_3x+2a_2 \] C'est une fonction affine. Le même argument permet d'affirmer l'existence d'une dérivée tierce, notée $h^{(3)}$ pour éviter la répétition des primes: \[ h^{(3)} (x) = 6a_3 \] C'est une fonction constante. Et par la suite, les dérivées successives sont nulles.

Question 4 - Calcul des dérivées successives pour le cas $(n>3)$.

On généralise l'étude précédente. Soit $h$ tel que défini dans l'énoncé de degré $(n>3)$ . Les coefficients sont notés $\{ a_n \ldots a_0 \} $ où $a_p$ est lié au degré $p$ . Alors $h'$ est un polynôme de degré $(n-1)$ et dont le coefficient de degré $p$ vaut $(p+1)a_{p+1}$ : \[ h'(x) = na_n \, x^{n-1} + \ldots + 2a_2 \, x + a_1 \] On recommence l'opération pour obtenir la dérivée seconde: \[ h''(x) = n (n-1) a_n \, x^{n-2} + \ldots + 6a_3 \, x + 2a_2 \] Et encore une fois pour la dérivée troisième: \[ h^{(3)} (x) = n(n-1)(n-2) a_n \, x^{n-3} + \ldots + 6a_3 \]

Question 5 - Calcul sur un exemple de degré 5.

Le développement donne: \[ \begin{align*} (x-1)^3(x+2)^2 & = (x^3-3x^2+3x-1)(x^2+4x+4) \\ & = x^5 + x^4 - 8x^3 +8x-4 \end{align*} \] Puis en dérivant terme à terme: \[ \begin{equation*} h'(x) = 5x^4+4x^3-24x^2+8 \\ h''(x) = 20x^3+12x^2-48x \\ h^{(3)} (x) = 12\, (5x^2+2x-4) \end{equation*} \] Le fait de développer permet d'utiliser la technique la plus simple, consistant à dériver terme à terme de manièrez indépendante. En conservant l'expression factorisée, la dérivation se fait par la formule plus lourde du produit: \[ h'(x) = 3(x-1)^2(x+2)^2+2(x-1)^3(x+2) = 5\, (x-1)^2(x+2) \left(x-\frac{4}{5} \right) \] Pour dériver $h'$ il vaut mieux n'avoir que deux facteurs. Ecrivons: \[ h'(x) = (x-1)^2(5x^2+6x-8) \] La dérivée donne: \[ h''(x) = 2(x-1)(5x^2+6x-8)+(x-1)^2(10x+6) \] que l'on conserve telle quelle, puis: \[ h^{(3)} (x) = 2(x+2)(5x-4)+8(x-1)(5x+3)+10(x-1)^2 \] Un développement de ces expressions permet de retrouver les résultats précédents.

Question 6 - La suite des dérivées successives.

Plutôt que de considérer $p$ quelconque, regardons pour $(p=4)$ le résultat: \[ h^{(4)} (x) = 12\, (10x+2) \] Puis: \[ h^{(5)} (x) = 24 \] Enfin, on peut conclure: \[ \forall p >5 \quad h^{(p)} = 0 \]

Question 7 - Comportement de la suite pour une fonction polynomiale.

Si $h$ est de degré $n$ , chaque dérivation retire exactement un degré. Nous disons exactement car le plus grand coefficient $a_n$ est supposé non nul, donc chaque dérivée est exactement d'un degré moindre que sa fonction associée. Ainsi $h^{(p)}$ est de degré $(n-p)$ pour tout entier $p$ plus petit que $n$ et nul au delà.

Pour la fonction $h^({n})$ qui est la dérivée n-ième le degré est 0 et constant non nul égal à : \[ n(n-1)(n-2) \ldots 3 \times 2 \times 1 \; a_n \] qu'on note : \[ (n!) \times a_n \] où l'élément $(n!)$ est appelé factorielle de $n$ , c'est le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n. Cette fonction est la dernière a être non nulle dans la famille des dérivées successives de $h$ . Viennent ensuite les dérivées d'ordre supérieures toutes nulles.

Le nombre $h^{(p)}$ est nul si $(p<n)$ . On est sûr qu'il est non nul si $(p=n)$ et vaut $(n!)a_n$ . Pour le reste, le cas général ne permet pas de conclure mais nous pouvons donner la formule générale en remplaçant toutes les puissances de $x$ par 1: \[ \begin{align*} h^{(p)} (1) = & n(n-1)\ldots(n-p+1) \; a_n \\ & + (n-1)\ldots(n-p) \; a_{n-1} \\ & + \ldots \\ & + (p!) \; a_p \end{align*} \] On remarquera que les facteurs accompagnant chaque coefficient $a_k$ sont une partie d'une factorielle. Par exemple, pour la dérivée troisième d'un polynôme de degré 5, on trouve: \[ h^{(3)} (x) = 5\times 4\times 3 \times a_5 \; x^2 + 4 \times 3 \times 2 \times a_4 \; x+ 3\times 2\times 1 \times a_3 \] Le terme $5\times 4\times 3$ peut aussi s'écrire : \[ \frac{5!}{2!} \] où le cinq correspond au degré de base dans le polynôme $h$ et 2 est la différence entre le degré et le nombre de dérivation. Plus généralement: \[ h^{(p)} (1) = \frac{n!}{(n-p)!} \, a_n + \frac{(n-1)!}{(n-1-p)!} \, a_{n-1} + \ldots + \frac{p!}{(p-p)!} \, a_p \] L'utilité du symbole sigma s'illustre ici: \[ h^{(p)} (1) = \sum_{k=p}^{n} \frac{k!}{(k-p)!} \, a_k \]

Solution

Résultats généraux

De manière générale, on considère une fonction $g$ quelconque et $\ell$ est telle que $(\ell=1/g)$ . Sans plus d'information il est possible de lier le domaine de $\ell$ à celui de $g$ en disposant de la connaissance de l'ensemble $\{ g=0 \}$ qui est une notation pour décrire l'ensemble des abscisses $x$ sur $\mathbb{R}$ telles que l'image associée $g(x)$ soit nulle. On a la relation ensembliste: \[ \mathcal{D}_{\ell} \; = \; \mathcal{D}_g \cap \{ g=0 \} \] On prend du domaine de $g$ toutes les abscisses pour lesquelles l'image par $g$ est non nulle, ceci car la division par zéro n'est pas permise alors que pour le reste il n'y a pas de restriction.

Dans tous les cas là où la dérivée de $g$ existe, celle de $\ell$ existe aussi. Evidemment on ne peut dériver là où $\ell$ n'est même pas définie. D'où: \[ \mathcal{D}_{\ell '} \; = \; \mathcal{D}_{g'} \cap \{ g=0 \} \] Ce lien se retrouve dans l'expression de $\ell'$ : \[ \forall x \in \mathcal{D}_{\ell'} \quad \ell' (x) = - \frac{g'(x)}{g(x)^2} \] On pourrait penser qu'il faille tenir compte du domaine de $g'$ et de celui de $g$ mais il suffit de constater que le premier est inclus dans le deuxième.

Question 1 -  Dériver l'inverse d'une fonction affine.

Si $g$ est la fonction nulle alors $\ell$ ne peut être définie. Si $g$ est une fonction constante non nulle alors $\ell$ est définie sur tout $\mathbb{R}$ et de dérivée la fonction nulle. Le domaine de dérivabilité est aussi $\mathbb{R}$ .

Si $g$ est affine telle qu'il existe deux réels $a$ et $b$ avec $a$ non nul: \[ g(x) = ax+b \] Alors le domaine de $\ell$ est $\mathbb{R}$ privé de la racine de $g$ . La fonction $\ell$ est dérivable sur ce même ensemble et de dérivée: \[ \ell'(x) = - \frac{a}{(ax+b)^2} \] On écrit formellement les domaines: \[ \mathcal{D}_{\ell} \; = \; \mathcal{D}_{\ell'} \; = \; \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{b}{a} \right\} \] Il n'y a pas d'autres situations à prendre en compte. Ci-dessous l'exemple de la fonction $g$ avec 1.5 en coefficient directeur et -3 pour l'ordonnée à l'origine. En inversant $g$ , la fonction $\ell$ n'est pas définie en $(x=2)$ , ses valeurs sont faibles en direction des bornes infinies et proches de $g$ lorsque $g(x)$ est proche de 1. Enfin, autour de la racine 2 la fonction $\ell$ admet des valeurs très grandes. Ce genre d'étude a été détaillée dans le chapitre 2 dans la section intitulée $(1/f)$ .

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La fonction $\ell'$ a un signe opposé à celui de $a$ , dans l'exemple elle sera strictement négative et symétrique par rapport à la droite $(x=-b/a)$ ce qui se traduit par l'égalité : \[ \ell' (x) = \ell' \left( -2\frac{b}{a} - x \right) \]

Question 2 - Dériver l'inverse d'un trinôme du second degré.

Cas sans racine

On suppose que $g$ n'est pas affine, qu'il s'agit bien de l'équation d'une parabole, donc que $(a \neq 0)$ . Tout d'abord s'il n'y a pas de racine alors $g$ ne s'annule pas et $\ell$ est définie et dérivable comme $g$ sur toute la droite réelle avec: \[ \ell' (x) = - \frac{2ax+b}{(ax^2+bx+c)^2} \] On donne l'exemple ci-après avec: \[ g(x) = x^2+1 \] La fonction $\ell$ est définie sur tout $\mathbb{R}$ et son graphe est le suivant:

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Sa valeur la plus élevée est 1 et atteinte en $(x=0)$ . Pour le reste $g$ est au dessus de la valeur 1 donc son inverse $\ell$ se situe en dessous de 1 et reste de même signe. Puisque les branches d'une parabole sont dirigées vers l'infini, celles de $\ell$ tendent vers zéro. L'expression de la dérivée indique le rapport entre une fonction affine et un polynôme du second degré, on obtient le graphe suivant en pourpre, nous indiquons en gris celui de $\ell$ pour comparer:

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Cas d'une racine double

Supposons que $g$ soit un polynôme avec une racine double $\lambda$ . On a: \[ g(x) = a(x-\lambda)^2 \] Dans ce cas $\ell$ est définie sur le domaine de $g$ privé de l'ensemble $\{ g=0 \}$ qui vaut le singleton $\{ \lambda \}$ . La fonction $g$ est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ donc $\ell$ aussi mais on retire toujours l'ensemble des racines de $g$ . Les fonctions $\ell$ et $\ell'$ ont donc même domaine de définition. Le calcul de la dérivée se fait suivant la formule du cours: \[ \ell'(x) = -\frac{2a(x-\lambda)}{a^2(x-\lambda)^4} \] Ce qui après simplification donne: \[ \ell'(x) = -\frac{2}{a(x-\lambda)^3} \] Comme exemple d'illustration nous proposons la fonction $g(x)=(x-1)^2$ . Elle est proche de son inverse $\ell$ là où sa valeur avoisine 1 et la fonction $\ell$ diverge vers $+\infty$ près de l'abscisse 1 de chaque côté:

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Cas pour deux racines

Soit l'expression: \[ g(x) = a(x-\lambda)(x-\mu) \] les nombres $\lambda$ et $\mu$ désignent les racines distinctes de $g$ . Dans ce cas on a l'égalité d'ensembles: \[ \{ g=0 \} = \{ \lambda\, ; \mu \} \] On retire ainsi au domaine de $g$ ses deux racines pour obtenir celui de $\ell$ : \[ \mathcal{D}_{\ell} \; = \; \mathbb{R} \setminus \{ \lambda\, ; \mu \} \] La fonction $g$ est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ et c'est là le domaine de $\mathcal{D}_{g'}$ . Nous retirons encore l'ensemble des racines de $g$ , ce qui donne l'égalité entre les domaines de $\ell$ et $\ell'$ . La dérivation donne: \[ \ell' (x) = - \frac{a[ 1 \times (x-\mu) + (x-\lambda) \times 1 ]}{a^2(x-\lambda)^2(x-\mu)^2} \] Le dénominateur étant le carré de $g$ et le numérateur sa dérivée, que l'on calcule suivant la formule de dérivation d'un produit. Après simplification on a: \[ \ell'(x) = \frac{1}{g(x)} \left( \frac{1}{x-\mu} + \frac{1}{x-\lambda} \right) \] On donne l'exemple de l'expression : \[ g(x)=2x(x-2) \] Les racines sont 0 et 2 en lesquelles $\ell$ n'est pas définie et admet des asymptotes verticales:

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Et la dérivée de $\ell$ s'exprime ainsi: \[ \ell' (x) = -\frac{x-1}{x^2(x-2)^2} \] On remarquera une antisymétrie entre un nombre $x$ et le nombre avec lequel il forme un segment dont 1 est le milieu. C'est-à-dire l'abscisse $1-(x-1)$ . On écrit: \[ \ell'(x) = - \ell' (2-x) \] Le graphe est le suivant:

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Question 3 - Dériver l'inverse d'une fraction simple.

Cette question est posée pour sensibiliser sur le calcul du domaine. La fonction $\ell$ est définie en fonction de $g$ . Son expression est: \[ \ell (x) = x^k \] valable pour tout entier $k$ non nul. On pourrait affirmer que le domaine de $\ell$ est $\mathbb{R}$ tout entier, mais ce serait oublier que $g$ n'est pas définie en zéro. Il ne peut être autrement pour $\ell$ puisque $\ell(0)$ doit être l'inverse de de celui de $g$ . Ainsi: \[ \mathcal{D}_{\ell} = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \] Il y a une exception: si $k$ est nul alors $g$ est constante et vaut 1, y compris en zéro car par convention : $0^0=1$. Dans ce cas $\ell$ est définie, égale à 1, et dérivable sur tout $\mathbb{R}$ de dérivée la fonction nulle. Sinon: \[ \ell'(x) = k x^{k-1} \] avec un domaine de dérivabilité identique égal à $\mathbb{R}$ privé de zéro.

Solution

Question 1 - Dériver une fraction rationnelle.

Pour tous réels $a,b,c$ le numérateur est défini sur tout $\mathbb{R}$ . On retire l'ensemble des racines du dénominateur $(dx+e)$ qui est le singleton $(-e/d)$ et on a le domaine de $h$ : \[ \mathcal{D}_h = \mathbb{R} \setminus \{ -\frac{e}{d} \} \] Le domaine de dérivabilité pour le numérateur est $\mathbb{R}$ tout entier, de même pour le dénominateur, mais il faut retirer les racines du polynôme $(dx+e)^2$ qui apparaît au dénominateur de la dérivée, ainsi on a le même intervalle de dérivabilité et de définition pour $h$ . Le calcul donne: \[ h'(x)= \frac{ (2ax+b)(dx+e) - (ax^2+bx+c) \times d}{(dx+e)^2} \] En simplifiant on se ramène à: \[ h'(x) = \frac{adx^2+2aex+(be-cd)}{(dx+e)^2} \] Il est intéressant de constater que la constante vaut le déterminant des vecteurs $(b\, ; c)$ et $(d\, ; e)$ .

Etude de cas

Si $d$ est nul alors $h$ n'est rien d'autre qu'un polynôme du second degré, la fonction est alors définie et dérivable sur tout $\mathbb{R}$ et sa dérivée est une fonction affine.  Sinon on distingue des sous-cas, mais que $e$ soit nul ou non ne change rien à la nature de la fonction, de même si $c$ est nul. La valeur de $b$ ne modifie aussi que le positionnement de $h$ , seul $a$ donne deux résultats différents. Si $(a=0)$ alors on a une hyperbole, sinon le résultat est plus complexe.

Question 2 - Rapport entre une fonction et sa dérivée.

Le domaine de $g$ est l'intersection entre celui de $f$ et $f'$ auquel on retire les racines de $f$ . Or celui de $f'$ est toujours inclus dans celui de $f$ ce qui permet d'exprimer simplement: \[ \mathcal{D}_g = \mathcal{D}_{f'} \setminus \{ f=0 \} \] Le calcul donne: \[ g' = \frac{f'' f - f'^2}{f^2} \] On cherche une condition nécessaire sur $f$ et $f''$ pour que $g'$ soit strictement positive. On part donc de l'hypothèse $(g'>0)$ sur son domaine de définition. On a donc: \[ f f'' - f'^2 >0 \] car $f^2$ est strictement positive sur le domaine étudié (on a retiré l'ensemble de ses racines) il vient alors la condition nécessaire: \[ f f'' > f' ^2 \] On sait qu'un carré est au moins positif, il nous importe peu de savoir si $f'$ s'annule ou non, la conclusion est donc: \[ f f'' > 0 \] Cela revient à dire qu'en tout point $x$ du domaine de définition de $g'$ la valeur de $f(x)$ et celle de $f''(x)$ sont non nuls et de même signe. On peut donner comme exemple la fonction: \[ f(x) = \frac{1}{x-1} \] En dérivant successivement on trouve: \[ f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2} \qquad f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3} \] Et  la fonction $g$ et sa dérivée valent: \[ g(x)=-\frac{1}{x-1} \qquad g'(x)=\frac{1}{(x-1)^2} \] Il est important de constater la négativité de $f$ et $f''$ sur $] -\infty\, ; 1[$ et leur positivité sur $]1\, ; +\infty[$ . Ils ont même signe sur chaque intervalle de définition de $g'$ . Toutes les fonctions citées, c'est-à-dire $f$ et ses dérivées successives ainsi que $g$ et sa dérivée, sont définies sur $\mathbb{R}$ privé de 1.

Question 3 - Etude d'un exemple.

Le domaine de définition et de dérivabilité est identique et vaut $\mathbb{R}$ privé des 3 réels suivants: -1, 0 et +2. Pour dériver on peut conserver la forme factorisée ou la développer: \[ f'(x) = - \frac{x^4+2x^3-5x^2+4x+4}{x^2(x-2)^2(x+1)^2} \] C'est la forme obtenue en développant avant de dériver. Si l'on dérive tel quel on trouve: \[ f'(x) = - \frac{x(x+2)(x+1)(x-1)-4(x+1/2)(x-2)}{x^2(x-2)^2(x+1)^2} \] Dans tous les cas étudier le numérateur s'avère très délicat. Pour disposer d'une méthode purement algébrique, on pourra se reporter au lien suivant:

http://serge.mehl.free.fr/anx/equ4_ferrari.html

Il s'agit de la méthode de Ferrari, les calculs sont longs mais on finit par aboutir au résultat. Nous donnons pour la suite seulement les valeurs approchées des deux solutions $\alpha$ et $beta$: \[ \alpha = -3.6 \qquad \beta=0.55 \] La fonction $f'$ est strictement positive sur $]\alpha\, ; \beta[$ et strictement positive sur: \[ ]-\infty\, ; \alpha[ \; \cup \; ]\beta \, ; +\infty[ \] Quant à la fonction $f$ on peut calculer explicitement son signe: \[ \begin{array}{|c|ccccccccccccc|} \hline \\ x & - \infty & & -2 & & -1 & & 0 & & 1 & & 2 &  & +\infty \\ \hline \\ x+2  & & - & 0 & & & & & & & & & + &  \\ \hline \\ x+1  & & - &  & & 0 & & & & & & & + &  \\ \hline \\ x  & & - & & & & & 0 & & & & & + &  \\ \hline \\ x-1  & & - & & & & & & & 0 & & & + &  \\ \hline \\ x-2  & & - & & & & & & & & & 0 & + &  \\ \hline \\ f(x)  & & - & 0 & + & || & - & || & + & 0 & - & || & + & \\ \hline \end{array} \] Le graphe de la fonction est le suivant, sachant que la courbe change de direction en les deux racines de sa dérivée:

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