Première

Distance Point Parabole

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=-x^2+2x+1 $ . On reprend les notations du problème 1 (le point fixe est $A$ , $M$ est variable et sur la courbe $\mathcal{C}_f$ , les fonctions $\delta$ et $d$ ont la même définition ) avec $A(-1 ; 3)$ et $M_x$ variable sur la courbe représentant $f$ . De même : $\delta(x) = AM_x^2 $ . On montre que $d(A,f)$ existe.

Enoncé

1. Reprendre l'exemple précédent et changer $\mu$ par $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{10}$ .
    
2. Dans chacun des cas placer $A(-3\, ; 0)$ ainsi que $M$ et $I$ .
    
3. Soit $( \mu = 1/n)$ où $n$ est un entier non nul. Vers quelle valeur s'approche $h(x)$ pour tout $x$ réel lorsque $n$ devient plus grand?

Enoncé

Reprendre les hypothèses de l'exercice 2.11 :

1. Montrer que $h$ et $f$ ont exactement les mêmes variations quelle que soit la valeur de $\lambda$ .
    
2. Soit : $f(x) = 2x^2-10x+1$ . Trouver $\lambda$ telle que $h$ soit positive sur tout $\mathbb{R}$ .
    
3. On note par : $h(x) = g(f(x))$ l'expression $h(x)=f(x)+\lambda$ . Que vaut $g$ ?
   Que se passe-t-il si l'on applique plusieurs fois $g$ ?

Enoncé

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R} , \lambda$ un réel et $h$ associée à $f$ par l'égalité : \[ \forall x \in \mathbb{R} \quad h(x) = f(x) + \lambda \] Tracer les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_h$ et indiquer la transformation subie pour :

1. $f(x) = 1/x \quad \text{et} \quad \lambda = -2$
    
2. $f(x) = x^2+x \quad \text{et} \quad \lambda = 1$

Enoncé

Comment obtient-on $h$ définie par $h(x) = f(\mu x + \lambda)$ sachant qu'on connaît déjà $m$ donnée par : $m(x) = f(x+\lambda)$ ? Décrire les étapes et tracer les courbes impliquées.

Enoncé

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et $g$ associée par l'égalité : $g(x) = f(-x)$ .

Enoncé

En suivant le même procédé que pour $(\mu >1)$ étudier le cas $(0 < \mu < 1)$ . En particulier faire un dessin pour $(\mu = 1/4)$ et $f(x) = x^2$ .

Enoncé

Dresser le tableau des variations pour les trois exemples de l'exercice 2.6

Donner la relation entre nouveaux et anciens points d'inflexion (là où il y a changement de variation)

Enoncé

Tracer $\mathcal{C}_h$ à partir de $\mathcal{C}_f$ dans les trois cas suivants :

1. $f(x) = \sqrt{x} \quad \text{et} \quad h(x) = f(x+2)$
    
2. $f(x) = x^2 \quad \text{et} \quad h(x) = f(x-1)$
    
3. $f(x) = 1/x \quad \text{et} \quad h(x) = f(x-\sqrt{5})$

Correction 4.7