Solution

Question 1 - Relation entre les angles.

Dans le cours, en notant par $\alpha$ et $\beta$ les deux angles, qu'on qualifie de supplémentaires car leur somme vaut un demi-tour, nous avons déjà établi 4 angles particuliers. On effectue le calcul en se servant uniquement de l'idée qu'un angle désigne un écart entre deux droites et suivant des sens bien précis: \[ (\widehat{\vec{u}\, ; -\vec{u}}) = \alpha + \beta = (\widehat{\vec{v}\, ; -\vec{v}}) \qquad (\widehat{\vec{v}\, ; -\vec{u}}) = 2 \beta + \alpha \]

Question 2 - Combinaisons possibles à partir de 4 vecteurs.

A partir des 4 vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, -\vec{u}, -\vec{v}$ on peut former 16 couples. En effet, un couple est la donnée d'un premier élément puis d'un deuxième et l'ordre d'apparition compte. Pour le choix du premier élément on peut prendre parmi les 4 vecteurs. Et à chacun de ces choix il existe les 4 mêmes possibilités pour le deuxième élément du couple. Et $(4 \times 4=16)$ donne le résultat. On le représente sous forme de tableau, pour chaque ligne le premier élément et pour chaque colonne le deuxième: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \\ & \vec{u} & \vec{v} & -\vec{u} & -\vec{v} \\ \hline \\ \vec{u} & 0 & \alpha & \alpha+\beta & 2\alpha+\beta \\ \hline \\ \vec{v} & 2\beta+\alpha & 0 & \beta & \alpha+\beta \\ \hline \\ -\vec{u} & \alpha+\beta & 2 \alpha+\beta & 0 & \alpha \\ \hline \\ -\vec{v} & \beta & \alpha+ \beta & 2\beta+\alpha & 0 \\ \hline \end{array} \]

Question 3 - Angle multiple d'un autre.

Cas d'un angle de 45 degrés.

Le vecteur $\vec{v}$ dirige la bissectrice des deux axes du repère. Elle coupe donc l'angle droit en deux. Et l'angle droit est la moitié de l'angle plat $\displaystyle (\widehat{\vec{u}\, ; -\vec{u}})$ . L'angle $\alpha$ représente un quart de l'angle plat qui est la somme $(\alpha+\beta)$ . D'où le résultat : \[ \alpha = \frac{1}{3} \beta \]

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Cas d'égalité $(k=1)$

Pour que l'on ait $(\alpha=\beta)$ il faut que les deux vecteurs forment un angle droit. Puisque $\vec{v}$ est fixe, on tourne $\vec{u}$ vers la droite jusqu'à ce qu'il dirige l'autre bissectrice du repère, celle d'équation $(y=-x)$ . Les coordonnées entières de $\vec{u}$ sont par exemple (il y a plusieurs possibilités) : $(1\, ; -1)$ .

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Cas $(k=2)$

On rappelle que la somme $(\alpha+\beta)$ est l'angle plat, c'est-à-dire 180 degrés. Si $\alpha$ vaut la moitié de $\beta$ alors il vaut le tiers de leur somme. Ainsi les deux vecteurs forment un angle de 60 degrés. Nous modifions alors la direction de $\vec{v}$, la solution est proposée dans le cours par la suite sur les angles de référence. Le résultat est : \[ \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]

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Cas $(k=5)$

L'égalité donne $\alpha$ comme étant le sixième de la somme. Il s'agit ici de l'angle de 30 degrés, lui aussi étudié en détail dans le cours. On modifie l'angle $\vec{v}$ en lui offrant les coordonnées $(2\, ; 1)$ .

Situations impossibles

Si vous avez chercher pour les nombres $k$ valant 4 et 6 vous constaterez qu'il n'y a pas d'exemples possibles. On le montre d'abord qu'il n'est pas possible d'avoir des coordonnées entières pour $\vec{v}$ . Et ce résultat implique l'impossibilité de l'avoir aussi pour $\vec{u}$ . Mais la démonstration nécessite des connaissances en trigonométrie. La démarche consiste à calculer le coefficient directeur de la droite portée par $\vec{v}$ lorsque l'angle vaut un cinquième de l'angle plat, soit 36 degrés. En radian il s'agit de $\pi/5$ , le coefficient directeur vaut la tangente de cet angle : \[ \tan \frac{\pi}{5} = \sqrt{ 5-2\sqrt{5} } \] Si $\vec{v}$ peut avoir des coordonnées entières alors il existe un point sur la droite d'équation $(y=mx)$ de coordonnées entières $(p,q)$ où $m$ vaut la tangente en question. Ce nombre serait alors une fraction rationnelle, ce qui est faux. De même pour le cas $(k=6)$ il s'agit du nombre $ \tan (\pi/7) $ plus difficile à calculer, mais n'est pas rationnel.