Limite
Limite TekMathExercice 4.1 - Définition de la divergence
Exercice 4.1 - Définition de la divergence TekMathEnoncé
Montrer que les suites définies ci-après vérifient la définition :
- $\displaystyle u_n = \frac{1}{2} n -7 $
- $ u_n=n^2-5n+1$
- $\displaystyle u_n= \begin{cases} 2n & \mbox{si $n$ est impair} \\ n & \mbox{si $n$ est pair} \end{cases} $
Indications
Dans tous les cas il faut suivre la démarche proposée en remarque. Commencer par poser la barrière $M$ à franchir. Considérer alors l'inconnue $p$ à trouver. L'entier en question doit vérifier une inégalité. Dans le premier cas o nest amené à résoudre une équation du premier degré, puis une équation du second degré, et enfin un système simple qui se résume en fait à une seule équation du premier degré.
Solution
<à suivre>
Exercice 4.2 - Limite de suites classiques
Exercice 4.2 - Limite de suites classiques TekMathEnoncé
Soit $b$ un réel quelconque, $a$ un réel strictement positif et $k$ un entier naturel non nul. Montrer que les suites ci-après tendent vers $\+infty$ :
- $u_n = n+b$
- $u_n = a \times n$
- $u_n = n^k$
Indications
Appliquer la méthode proposée avant l'exercice, encore une fois il s'agit de mettre en évidence l'équation que doit résoudre l'inconnue $p$ en tant qu'entier.
Solution
<à suivre>
Exercice 4.3 - Tendre vers l'infini
Exercice 4.3 - Tendre vers l'infini TekMathEnoncé
Pour les trois cas, montrer que $u$ et $v$ tendent vers $+\infty$ et étudier leur différence :
- $u_n = n^2$ et $v_n=n$
- $u_n = n+1$ et $v_n=n-2$
- $u_n = n+(-1)^n$ et $v_n=n-(-1)^n$
Indications
Pour montrer qu'elles tendent vers $+\infty$ il suffit d'utiliser les 5 règles opératoires vues avant l'exercice. Il est inutile de passer par la méthode vue lors de la définition, plus difiicle à mettre en place. La différence entre deux suites qui tendent vers $+\infty$ est une forme indéterminée. Pour la lever, on tente de modifier l'expression, souvent il suffira de factoriser, puis de reprendre l'une des 5 règles opératoires. Il faut ici faire preuve d'un peu d'imagination pour esquiver la difficulté liée aux formes indéterminées. Seule la première question demande un peu de réflexion, les deux autres sont évidentes à résoudre.
Solution
<à suivre>
Exercice 4.4 - Multiplication d'une suite par un scalaire
Exercice 4.4 - Multiplication d'une suite par un scalaire TekMathEnoncé
Soit $a\in \mathbb{R}$ et $u$ une suite qui tend vers $+\infty$ et $v$ vers $-\infty$ . Etudier tous les cas possibles pour $(au)$ puis $(av)$ à partir des définitions seulement.
Indications
La difficulté consiste à gérer les quantificateurs dans les définitions. Commencer par écrire la définition pour la suite $u$ et observer ce qu'il advient en la multipliant par un réel $a$. Distinguer trois cas. De même pour $v$, qu'on peut résoudre directement en la liant à une suite de type $u$.
Solution
<à suivre>
Exercice 4.5 - Quotient de deux suites. Forme indéterminée
Exercice 4.5 - Quotient de deux suites. Forme indéterminée TekMathEnoncé
Soit $u$ et $v$ telles que $u_n=(n+1)^2$ et $v_n=n+1$ .
- Montrer que la suite $\displaystyle \frac{u}{v}$ tend vers $+\infty$ .
- Montrer que $\displaystyle \frac{v}{u}$ ne vérifie pas le même résultat.
- Qu'en est-il si on remplace $v$ par $-v$ ?
Indications
- Evident
- Soit on se sert du résultat de la section qui suit sur la limite égale à 0. Soit on utilise l'opposée de la propriété de divergence en l'infini.
- Evident
Solution
<à suivre>
Exercice 4.6 - Convergence et calcul de limite
Exercice 4.6 - Convergence et calcul de limite TekMathEnoncé
Pour l'ensemble des questions, on demande la limite en précisant si la convergence est par valeurs inférieures ou supérieures. Il faudra aussi distinguer tous les cas possibles avec $a,b,c,d$ réels.
- Calculer $\displaystyle \lim \frac{c}{an+b}$
- Montrer que $\displaystyle \lim \left( 1- \frac{1}{n+1} \right) = 1^- $ . Calculer $\displaystyle \lim \left( 1+ \frac{dn^2}{an^2+bn+c} \right) $ .
- Soit $\displaystyle u_n = \frac{an+b}{cn+d} $ . Etudier la monotonie et la convergence de $u$ .
Indications
- Vu le nombre de cas, il vaut mieux remplacer les réels $a,b,c$ par des nombres. Distinguer les cas postifs, négatifs strictement, et nuls. Puis généraliser.
- Montrer que la limite est 1, puis qu'elle est atteinte par valeurs inférieures, c'est-à-dire que les termes de la suite sont situés sous cette limite. Il est inutile de considérer de nombreux cas, ce sont les réels $a$ et $d$ qui entrent en jeu dans le calcul de la limite demandée ensuite.
- Le cas $a=0$ a été abordé. Prendre quelques exemples.
Solution
<à suivre>
Exercice 4.7 - Limite d'une fonction en l'infini
Exercice 4.7 - Limite d'une fonction en l'infini TekMathEnoncé
Soit $a\in\mathbb{R}$ , on définit f$ et $h$ comme suit :
- Soit $\displaystyle f(x) = ax^2-3x+\frac{7x^3-1}{x^4+1} $ . Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ .
- Soit $h(x) = x \times ( f(x) - ax^2+3x ) $ . Même question pour $h$ .
- Donner un encadrement de $h(x) $ .
Indications
- On a les mêmes résultats pour les fonctions que les suites en $+\infty$ . Remplacer $n$ par $x$ ne change rien au comportement en l'infini.
- Factoriser $h(x)$ par $x^4$
- Faire un graphe pour se donner une idée du minorant et du majorant.