Solutions

Question 1 - Equation vérifiée par la largeur.

Le rectangle est caractérisé par la donnée de la longueur $L$ et de la largeur $\ell$. L'agriculteur, s'il choisit cette forme, est contraint de respecter la surface assignée qui est 6 $\mathrm{km}^2$ soit encore $ 6\cdot 10^{6} $ mètres carrés: $$ 6 \cdot 10^{6} = L \times \ell $$De plus, il a décidé de lier la longueur à la largeur par la relation affine: $$ L = \ell + 10 $$Les données sont exprimées en mètres là aussi. D'où l'équation que la largeur vérifie: $$ \ell \times (\ell +10) = 6 \cdot 10^{6} $$L'aire d'une figure est par nature le produit de deux quantités de type distance. Dans le cas de polygones, il est assez simple de former ce produit, pour un rectangle il s'agira de la longueur par la largeur. Si en plus l'une des deux quantités dépend de l'autre, alors on peut exprimer l'aire en fonction d'une seule quantité, et survient une équation liant la surface imposée (une constante) à un produit dont la seule variable contenue est l'une des deux quantités. Si en plus leur lien est affine, alors on obtient un produit qui se développe sous la forme: $ ax^2+bx $.

Question 2 - Deux solutions mathématiques au problème posé.

Pour montrer que $\alpha$ est solution, on pose un nombre intermédiaire $ m $, pour une présentation plus claire: $ m=\sqrt{6\cdot 10^{6}+25} $.
Le nombre $\alpha$ s'écrit en fonction de $m$ de la manière suivante: $ \alpha=m-5 $.
On calcule plus facilement l'expression $ \alpha \times (\alpha+10) $ en se servant de $ m $.
En effet, elle s'écrit aussi: $(m-5)(m+5)$.
On reconnaît une identité remarquable: $(m-5)(m+5)=m^2-25$.
Or le carré de $m$ est donné directement par sa définition: $m^2=6\cdot 10^{6}+25$.
On en déduit finalement que: $\alpha \times (\alpha+10)=6\cdot 10^{6}$.

De même, on a par définition: $\beta=-\sqrt{6\cdot 10^{6}+25}-5$.
On peut réutiliser le nombre $m$ avec la relation: $\beta=-m-5$.
Ainsi l'expression $\beta \times (\beta+10)$ s'écrit: $ (-m-5)(-m+5) $.
Ce qui donne encore une fois le résultat: $m^2-25$.

Deux solutions au problème viennent d'être mises en évidence par le calcul. Rien de ce qui précède prouve que ce sont les seules. Mais si l'agriculteur choisit l'une d'elles alors il résout son problème.

Question 3 - Le réel et les mathématiques.

Le réel $\beta$ n'a pas de signification réelle, c'est un nombre négatif alors que l'on cherche une largeur. Cette solution apparaît car la surface est le produit de deux nombres, s'ils sont tous deux négatifs alors leur produit sera positif. Le résultat peut avoir un sens mais les moyens utilisés n'en ont pas. On ne peut retenir cette configuration pour l'application concrète de délimitation d'un terrain.

Question 4 - Autres formes d'aires équivalentes au rectangle.

Si l'on choisit de former un disque, il n'existe qu'un seul paramètre qui puisse être modifié, c'est le rayon. Pour obtenir une surface de 6 millions de mètres carrés il faut un rayon $\rho$ vérifiant l'équation d'aire: $$ \pi \rho^2 = 6\cdot 10^{6} $$
D'où deux solutions opposées, dont une seule a un sens physique, par extraction de la racine carrée: $$\rho = \sqrt{\frac{6}{\pi}} 10^{3}$$
Le carré est aussi une figure entièrement déterminée par la donnée d'un seul paramètre, son côté.
Si on le note $x$ alors l'équation à vérifier est: $$ x^2=6\cdot 10^{6} $$
Deux solutions apparaissent et seule celle qui est positive a un sens: $$ x=\sqrt{6} \cdot 10^{3} $$
Soit un trapèze de grande base $B$ et de petite base $b$. La grande est le double de la petite: $ B=2b $.
De plus l'aire est donnée par: $$ \displaystyle \frac{1}{2} \times (B+b) \times h = 6 \cdot 10^6 $$
Sachant que $h$ désigne la hauteur, en combinant les deux équations posées, on trouve: $$ b \times h = 4 \cdot 10^6 $$
L'agriculteur n'a plus qu'à fixer l'un des paramètres $b$ ou $h$ pour définir entièrement son trapèze. De plus, même lorsque les paramètres du trapèze seront fixés, il pourra encore choisir la forme car il n'y a pas de contrainte sur la valeur des angles.

Graphiques de comparaison

Voici trois figures parmi les quatre qui ont été traitées, les proportions sont respectées, le carré ressemble quasiment au rectangle tellement $\ell$ et $L$ sont proches. Chacune d'elles renferme la même aire, il pourrait être intéressant d'aborder le problème de la clôture, sachant que pour une aire imposée l'idéal est de pouvoir faire des économies sur la quantité de matériel destiné à la mise en place d'une séparation. Ci-dessous on représente le cercle et le rectangle avec un quadrillage dont les cases représentent 500 mètres.

Les valeurs approximatives sont: $$ \ell \approx 2444 \, ; \quad L \approx 2454 \, ; \quad x \approx 2449 \, ; \quad \rho \approx 1382 $$

Pour le trapèze, nous avons choisi: $b=h=2000$. La grande base $B$ vaut le double de la petite, d'où: $B=4000$.

{C}

Rappel sur le calcul d'aire

Voici un rappel sur le calcul des aires, partons d'un plan donné sur lequel nous fixons une longueur unité. C'est-à-dire une longueur qu'on appelle la référence ou l'étalon, elle désigne la longueur 1. L'unité physique n'a pas d'importance dans l'exposé qui suit, les résultats sont les mêmes quelque soit l'unité, du moment que l'on exprime tout suivant une même mesure. Rien ne nous interdit de choisir alors le mètre comme unité physique, il s'agit d'ailleurs de l'unité internationale.

Une fois que la longueur unité est établie, nous définissons l'aire référence comme étant celle d'un carré de côté 1. Parce que les surfaces peuvent s'additionner, être soustraites, et qu'il en apparaît de plus grandes que d'autres, nous pensont que nous pouvons leur assigner une grandeur. C'est-à-dire un nombre résumant leur taille.  Le plan étant décomposé suivant deux dimensions, nous dessinons deux droites pour les représenter avec une propriété d'orthogonalité qui ne privilégie ainsi aucune direction particulière.

Reste à fixer une référence d'aire, sachant que nous disposons déjà d'une longueur unité. Celle-ci étant reportée sur les deux droites devenues graduées, nous choisissons la figure la plus simple à construire: un rectangle. Mais parce qu'il n'y a pas de raison de privilégier une dimension plus que l'autre dans le calcul, l'aire de référence, qui sera déterminée par un rectangle, aura même longueur et largeur. On obtient un carré. Pourquoi choisir son côté autre que celui de longueur 1? C'est ainsi que nous imposons l'aire de référence.

Reste que rien n'oblige à désigner cette aire par la grandeur réelle 1. Si ce n'est que puisqu'aucune valeur n'est définie encore et qu'il nous est donc possible d'en choisir une, autant fixer la référence comme étant aussi l'unité. En revanche, une fois celle-ci imposée, toutes les autres aires se mesurent de manière proportionnelle comme pour les longueurs en fonction de leur unité.

• Le carré: s'il est de côté un entier $p$ alors il suffit de subdiviser les côtés en segments de longueur 1. Le carré principal noté $\mathcal{C}$ est composé de petits carrés, dans le vocabulaire des ensembles on dit que $\mathcal{C}$ est la réunion des petits. L'aire de $\mathcal{C}$ est alors la somme des carrés constituants cette réunion, on revient aux bases de la multiplication: il y a $p$ rangées de carrés avec $p$ colonnes. D'où l'aire de $\mathcal{C}$ qui vaut $p^2$.
• Le rectangle: c'est le cas général du carré, s'il y a $\ell$ rangées pour $L$ colonnes, alors l'aire vaut: $\ell \cdot L$.
• Le triangle rectangle: il représente la moitié d'un rectangle en terme d'aire. Il suffit donc de calculer celle liée au rectangle qui le contient et qu iest parfaitement défini par les deux côté formant l'angle droit.

Nous ne pouvons calculer pour l'instant que l'aire de figures de type polygones dont les côtés possèdent des longueurs entières.

Solution

La forme donnée est factorisée, les racines sont connues, on demande la forme développée. Il s'agit d'établir un lien dans cette situation entre les coefficients et les racines, puis entre trois points particuliers et les différents paramètres.

Question 1 - Somme et produit des racines.

On développe directement $f$ en regroupant suivant les puissances de la variable $x$: $$ \begin{align} f(x) & = a (x-\alpha) (x-\beta) \\ & = a ( x^2 - \beta x - \alpha x + \alpha \beta ) \\ & = a x^2 - a (\alpha+\beta) x + a (\alpha \times \beta) \end{align} $$

La forme développée s'écrit de manière classique à l'aide de trois coefficients indépendants: $ax^2+bx+c$. On vient de voir que si un polynôme de cette forme possède deux racines $\alpha$ et $\beta$ alors leur somme et leur produit permettent de reconstituer les coefficients $b$ et $c$: $$ \begin{cases} \alpha + \beta & = -\frac{b}{a} \\ \alpha \times \beta & = \frac{c}{a} \end{cases} $$

Question 2 - Exploiter des données.

Les deux formes de $f(x)$ deviennent avec $(\alpha=1)$ comme suit: $$ \begin{align} f(x) & = a (x-1) (x-\beta) \\ & = a \left( x^2 - (1+\beta) x + \beta  \right) \end{align} $$ La valeur de $f$ à l'abscisse $\sqrt{2}$ permet de relier le coefficient $a$ à la racine $\beta$: $$ f(\sqrt{2}) = \begin{cases} 3 \\ a (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta) \end{cases} $$. Ce qui donne, à condition que $\beta$ soit différent de $\sqrt{2}$: $$ \displaystyle a=\frac {3} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta)} $$ Il se trouve que $(c=a \times \beta)$ d'après la question 1 d'où l'expression qui s'ensuit: $$ c=\frac {3\beta} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta)} $$ On peut aussi exprimer $b$ à l'aide de l'autre équation trouvée à la première question: $b=-a(\beta+1)$. D'où: $$ b=\frac {-3(\beta+1)} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\beta)} $$ Il est intéressant de remarquer que nous avons fixé deux points et pourtant la fonction $f$ n'est pas devenue unique. En effet, une racine a été imposée ce qui revient à fixer la valeur en ce réel. Dans notre situation nous avons donc décidé que $f(1)=0$. De plus la valeur en $\sqrt{2}$ a aussi été fixée: $f(\sqrt{2})=3$. S'il avait été question de droite, le fait de se donner deux points aurait suffit à caractériser de manière unique $f$ mais nous venons de voir que pour une parabole il n'en est rien.

Les trois coefficients $a, b, c$ sont entièrement déterminés si les deux racines sont données ainsi qu'un autre point. Mais ici la valeur de $\beta$ reste sujette à discussion. Nous avons $f(\sqrt{2})>f(1)$ et $\beta$ est une racine, un dessin est ici essentiel pour comprendre la problématique, de plus il s'agit de ne pas rester cantonné au cas général mais de tenter quelques exemples, ce qui permet d'observer la forme de la courbe $\mathcal{C}_f$ suivant la position de la racine $\beta$.

Pour répondre directement à la question "que vaut $\beta$ ?" on peut affirmer qu'elle peut prendre toutes les valeurs sauf $\sqrt{2}$. En dehors de celle-ci, pour tout choix de $\beta$ les trois coefficients seront déterminés par les expressions données ci-dessus. Prenons $\beta$ depuis $-\infty$ et faisons le se déplacer sur l'axe des abscisses vers $+\infty$.

$\beta<\sqrt{2} \Longrightarrow a>0$ : Dans cette situation il existe trois positions encore à distinguer. Ou bien $\beta$ se situe avant $\alpha$, ou bien les deux racines sont confondues, ou encore $\beta$ se place entre $\alpha$ et $\sqrt{2}$. Les trois courbes qui suivent donnent le tracé de la courbe avec les valeurs $\beta$ prises parmi $ \{ -0.5 \, ; 1 \, ; 1.2 \} $.

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$\beta>\sqrt{2} \Longrightarrow a<0 $ : Si $\beta$ se situe après $\sqrt{2}$ il n'est pas possible de faire passer une parabole avec des branches dirigées vers le haut, c'est l'interprétation de ce résultat algébrique. Là encore, nous pouvons distinguer trois positions à l'intérieur du cas $ ( \beta > \sqrt{2} ) $. Les trois exemples qui suivent représentent la courbe pour $\beta$ pris parmi $ \{ 2\sqrt{2} - 1 \, ; 1.5 \, ; 2.5 \} $ . Le réel $(2\sqrt{2}-1)$ est particulièrement intéressant, lorsqu'il correspond à la valeur $\beta$ alors le milieu des deux racines devient $\sqrt{2}$ et c'est en cette abscisse que le maximum de la fonction est atteint. Si $\beta$ est compris entre $\sqrt{2}$ et $(2\sqrt{2}-1)$ alors le sommet est atteint avant le point $(\sqrt{2}\, ; 3)$ et si $\beta$ est situé après $(2\sqrt{2}-1)$ alors le sommet vient aussi après $(\sqrt{2}\, ; 3)$.

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Question 3 - Calcul de l'aire du triangle sommet-racines.

Le calcul est impossible si $\beta$ vaut $\sqrt{2}$. Dans tous les autres cas, une méthode consiste à calculer la base $B$ et la hauteur $H$ données par: $$ B = \left| \beta - \alpha \right| \quad H = \left| f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right)\!\right|$$ Le symbole $\left| \,  \right|$ indique qu'on prend en compte la valeur positive de l'expression se situant à l'intérieur des barres verticales, il s'agit de la valeur absolue étudiée au chapitre 2. Ainsi la base $B$ est la distance séparant les deux racines $\alpha$ et $\beta$, puis la hauteur est la valeur absolue de l'image par $f$ du milieu des deux racines.

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La valeur de $f$ en le sommet $S$ d'abscisse $\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}$ est simple à calculer à partir de la forme factorisée: $$ \begin{align} f\left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right) & = a \left( \frac{\alpha+\beta}{2} - \alpha \right) \times \left( \frac{\alpha+\beta}{2} - \beta \right) \\ & = a \left( \frac{\beta-\alpha}{2} \right) \times \left( \frac{ \alpha - \beta } { 2 } \right) \\ & = - \frac{a}{4} (\beta-\alpha)^2 \end{align} $$

Suivant la position de $\beta$ par rapport aux deux points $\alpha$ et $\sqrt{2}$ l'expression $B\times H$ ne comportent pas les mêmes signes. Si $(\beta<\alpha)$ alors on écrit en notant $\mathcal{A}(\beta)$ l'aire: $$ \mathcal{A}(\beta) = - f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right) \times (\alpha-\beta) $$ puisque l'ordonnée de $S$ est négative et $\beta$ plus petit que $\alpha$. Si $\beta$ se confond avec $\alpha$ alors l'aire est nulle: $ \mathcal{A}(\beta) = 0 $. Ensuite, lorsque $(\alpha<\beta<\sqrt{2})$ l'ordonnée de $S$ est toujours négative mais $\beta$ est plus grand que $\alpha$ ce qui modifie l'expression comme suit: $$ \mathcal{A}(\beta) = - f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right) \times (\beta-\alpha) $$ Le dernier cas intervient pour $(\sqrt{2}<\beta)$ où l'ordonnée de $S$ devient positive et on a: $$ \mathcal{A}(\beta) =  f \left( \frac{ \alpha+\beta } { 2 } \right) \times (\beta-\alpha) $$

Il reste à appliquer la formule donnant l'aire d'un triangle: $\displaystyle \mathcal{A}(\beta) = \frac{1}{2} B H $. On retrouve la même expression pour la première et la troisième situation, et son opposée pour la deuxième: $$ \mathcal{A}(\beta) = \begin{cases} \frac{a}{8} (\beta - \alpha)^3 & \text{ si } \beta \in ] \alpha\, ; \sqrt{2} [ \\ - \frac{a}{8} (\beta - \alpha)^3 & \text{sinon.} \end{cases} $$

Nous avons conservé l'expression de $\alpha$ et $a$ pour rester le plus général possible, à présent donnons une expression correspondant aux valeurs $(\alpha=1)$ et $a$ en fonction de $\beta$ pour mettre en évidence que l'aire est entièrement déterminée comme la fonction par la donnée de $\beta$ une fois que $\alpha$ et un point ont été fixés au préalable.

Solutions

Les quatre fonctions sont des trinômes du second degré avec le coefficient $b$ nul. La résolution se fait en revenant à la parabole la plus basique: $y=x^2$. Puis nous calculons le sommet des paraboles qui sous cette forme est atteint pour l'abscisse 0, ainsi elles ont toutes pour axe de symétrie celui des ordonnées. Tracer sur une calculatrice leur allure permet de se donner une idée de la situation et corriger ses fautes potentielles, mais il est toujours bon de calculer à la main quelques valeurs pour comprendre l'influence du terme $a$ accompagnant le carré de la variable $x$ et le paramètre $c$. Ces deux coefficients n'agissent pas de la même façon sur la transformation de la parabole de base $(y=x^2)$ .

Question 1 - Résolution de l'équation $\mathcal{E}$ 

1. $ f(x)=0 \iff x^2=-1 $
   Cette équation n'a pas de solution.
   La courbe $\mathcal{C}_f$ ne rencontre pas l'axe des abscisses.
    
2. $ g(x)=0 \iff x^2=1 \iff x \in \{-1\, ; 1\} $
   La courbe $\mathcal{C}_g$ intercepte l'axe des abscisses en -1 et 1.
    
3. $ h(x)=0 \iff x^2=\sqrt{5} \iff x \in \{ -\sqrt[4]{5} \, ; \sqrt[4]{5} \} $
   Le nombre $\sqrt[4]{5}$ est la racine carrée de $\sqrt{5}$, on compose à deux reprises la racine carrée à partir du nombre 5. Il vaut approximativement 1.495 .
    
4. $ i(x)=0 \iff x^2=1$
   C'est la même équation vérifiée par $g$.

Question 2 - Tracé des paraboles.

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Chacune des courbes admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Le sommet est atteint en l'abscisse 0 et son ordonnée est la valeur du terme $c$. On calcule quelques valeurs sur le tableau qui suit. Le choix des abscisses se porte sur les cinq nombres suivants : $\{ 0\, ; 0.5\, ; 1\, ; 1.5\, ; 2 \}$ . Il suffit ensuite d'exploiter la symétrie suivant l'axe des ordonnées pour en déduire l'image des opposés. Cette propriété se traduit de manière analytique par l'équation: $$ \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x)=f(-x) $$ Les quatre valeurs strictement positives apportent donc quatre autres points pour le tracé. Les valeurs qui suivent sont approximées au centième. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 \\ \hline \\ f(x) & 1 & 1.25 & 2 & 3.25 & 5 \\ \hline \\ g(x) & -1 & -0.75 & 0 & 1.25 & 3 \\ \hline \\ h(x) & -3.16 & -2.81 & -1.75 & 0.02 & 2.49 \\ \hline \\ i(x) & 2 & 1.5 & 0 & -2.5 & -6 \\ \hline \end{array}$$

Question 3 - Points d'Intersection

La courbe $\mathcal{C}_i$ est la seule des quatre dont les branches sont dirigées vers bas, et puisque son sommet est le plus haut situé sur le même axe que les trois autres, il vient qu'elle intercepte toutes les courbes. Le graphique nous aide déjà sur cette voie. Mais puisque la fenêtre d'affichage est limitée, il est possible que les autres courbes se coupent aussi entre elles en dehors du cadre. Tout l'intérêt de bien poser un problème et savoir mener un calcul réside dans cette limitation de l'observation. De plus, nous levons complètement les doutes par la démonstration. L'intuition est elle-même mise à l'épreuve, si une intersection se dessine entre $g$ et $h$, il est moins facile de se prononcer sur l'équation: $f(x)=h(x)$ .

La recherche algébrique d'une intersection revient encore à la résolution d'une équation polynômiale: $$ f(x)=g(x) \iff x^2+1=x^2-1 \iff 2 = 0 $$ Les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ne se coupent pas. Le fait d'écrire $(2=0)$ dans l'expression logique précédente n'est pas une erreur, nous n'affirmons l'égalité entre ces deux nombres mais plutôt qu'il y a intersection si et seulement si 2 vaut 0. Le raisonnement se termine par le constat que puisque cette dernière propriété est impossible, il en va de même de l'équation posée sur les courbes $(f(x)=g(x))$ . Elles ne peuvent se couper. Le comportement des branches de ces deux courbes est identique à celui de deux droites parallèles, à un détail près: plus l'observation se situe vers les infinis et plus elles se rapprochent l'une de l'autre de part et d'autre de la parabole $(y=x^2)$ . $$ f(x)=h(x) \iff (\sqrt{2}-1) x^2 = 1+\sqrt{10} $$ Le carré de $x$ vaut un nombre strictement positif, il existe alors deux solutions distinctes que l'on obtient en extrayant la racine carrée:

$$ x= \pm \sqrt{ \frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{2}-1} } $$
Nous obtenons deux abscisses, pour déterminer entièrement les points il reste à trouver les ordonnées. On s'économise un calcul en se rappelant que les courbes ont même axe de symétrie, donc les ordonnées des deux points sont identiques. Si l'on note $x_1$ l'abscisse positive alors:
$$ \begin{align} f(x_1) & = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{2}-1} - \sqrt{10} \\ & = \frac{ \sqrt{2} \times (\sqrt{10}+1) }{\sqrt{2}-1} - \frac{ \sqrt{10} \times (\sqrt{2}-1) }{\sqrt{2}-1} \\ & = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{10} }{\sqrt{2}-1} \end{align} $$

Solution

Question 1 - Calcul des coefficients à partir des racines.

Résolution

Le fait que $-1$ et $+1$ soient racines donne la même contrainte sur les coefficients. En effet nous avons expliqué dans le cours qu'une telle expression appartenait à une fonction dite paire. Ainsi l'axe des ordonnées est un axe de symétrie. Fixer une valeur $\lambda$ pour une abscisse $x$ implique le même résultat pour son opposée $-x$. Nous avons choisi $f(1)=0$. Dès lors la valeur en -1 est aussi 0. L'équation vérifiée par $a$ et $c$ est la suivante: \[ a+c = 0 \] Les deux coefficients sont opposés. Vient ensuite la valeur en 2: $f(2)=\sqrt{5}$. Remplaçons la variable $x$ par la valeur 2, on obtient une équation en $a$ et $c$: \[ 4a+c = \sqrt{5} \] Ce qui en substituant $c$ par $-a$ donne le résultat: \[ a = -c = \frac{ \sqrt{5} }{3} \] On en déduit qu'il existe une unique solution au problème, c'est la fonction définie par: \[ x \mapsto \frac{ \sqrt{5} }{3} x^2 - \frac{ \sqrt{5} }{3} \]

Commentaire

Il y avait deux inconnues dans cette question, les coefficients $a$ et $c$. Pour les trouver nous avons posé un système de deux équations où ils apparaissaient. Puis une substitution a suffi. Autre remarque, trois informations sont données: les valeurs en -1, 1 et 2 pourtant nous n'obtenons que 2 équations. La parité de $f$ rend inutile l'une de ces informations.

Question 2 - Factorisation

L'expression précédente se factorise dans un premier temps par le coefficient $a$: \[ f(x) = \frac{ \sqrt{5} }{3} (x^2-1) \] Puis l'identité remarquable termine de donner la factorisation. Ou alors on se rappelle que -1 et 1 sont racines, dans ce cas: \[ f(x) = a (x-1)(x+1) \] Et le coefficient $a$ est connu. Quant au tableau des signes, il suffit de faire apparaître sur une ligne le terme $(x-1)$ puis $(x+1)$ et le coefficient $a$ étant positif n'intervient pas dans la modification du signe du produit.

\[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & & -1 & & +1 & \\ \hline \\ x+1 & - & 0 & + & & + \\ \hline \\ x-1 & - & & - & 0 & + \\ \hline \\ f(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} \]

Question 3 - Trouver une fonction différente avec des points en commun.

On entend par forme le fait que $g$ s'écrive analytiquement de la même facon: \[ g(x) = ax^2+c \] Nous reprenons les dénominations $a$ et $c$ mais il faut se garder de les confondre avec les coefficients de $f$. Puisque $g$ possède les mêmes racines on a toujours opposition entre $a$ et $c$. Seulement la valeur en 2 a diminué ce qui donne une parabole plus aplatie. \[ g(2)=1 \; \Rightarrow \; a \times 2^2 + c = 1 \; \Rightarrow \; a = \frac{1}{3} \]

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Question 4 - Généraliser la question 3.

Tout d'abord deux valeurs sont fixées: $h(-1)=h(1)=0$. Et la forme de $h$ est imposée: $(h(x)=ax^2+c)$ pour tout réel $x$. On nous donne deux réels $r$ et $s$ sans plus d'information et l'on voudrait améliorer notre connaissance de la fonction $h$. Comme pour $f$ et $g$ il n'est pas nécessaire d'en savoir plus pour conclure que $h$ se factorise comme suit: \[ h(x) = a (x-1)(x+1) \] En effet -1 et 1 sont racines. La seule inconnue est donc $a$, le problème consiste suivant les valeurs de $r$ et $s$ proposées à donner une expression de $a$. Une difficulté est dans un premier temps d'éliminer les situations impossibles, et avec celle-ci de savoir comment séparer les cas. Rappelons que l'on part d'une information très générale: \[ r \in \mathbb{R} \quad s \in \mathbb{R} \] Une disjonction de cas consisterait dans un premier temps à vérifier ce qui se passe si l'on sépare l'appartenance de $s$ à $\mathbb{R}$ de la façon suivante: \[ (s=0) \quad (s<0) \quad (s>0) \] C'est là un comportement classique dans la recherche que de distinguer les signes, mais rien ne dit qu'il y a mieux à faire. Le fil conducteur pour tous les cas restera l'équation: $h(r)=s$ qui s'écrit plus précisément: \[ a (r-1) (r+1) = s \]

Si $s$ est nul

L'équation obtenue est un produit composé de trois facteurs égal à 0. Ou bien $a$ est nul et alors $h$ est la fonction identiquement nulle. Dans ce cas peu importe la valeur de $r$ nous aurons toujours $h(r)=s$. En fait, quelque soit la valeur de la variable réelle $x$ on aura $h(x)=0$. Ou bien $a$ est non nul et dans ce cas $r$ ne peut avoir que deux valeurs possibles qui sont les racines -1 et 1.

Si $s$ est strictement positif

Le coefficient $a$ ne peut être nul et donc $h$ n'est pas identiquement nulle. De plus $r$ ne peut valoir -1 ou 1 sinon $h(r)$ serait nul. Puisque il ne peut prendre ces valeurs, nous pouvons diviser $s$ par $(r-1)(r+1)$. D'où: \[ a = \frac {s}{(r-1)(r+1)} \] Cette expression indique que pour tout $(s>0)$ et tout $r$ réel différent de -1 et 1 alors il existe une fonction $h$ vérifiant les conditions de la question. De plus nous obtenons une seule solution car le coefficient $a$ est fixé par la donnée du couple $(r,s)$.

Si $s$ est strictement négatif

L'observation du raisonnement précédent montre que nous n'avons pas utilisé la positivité de $s$ mais la négation de sa nullité. Le résultat est donc le même.

Conclusion

Finalement il y a deux cas à distinguer. Ou bien $s$ est nul et alors deux sous-cas apparaissent:

• $a=0$: la fonction $h$ est identiquement nulle. La valeur de $r$ peut être quelconque.
• $a \neq 0$: La fonction $h$ n'est pas identiquement nulle et puisque ses deux racines sont fixées, $r$ ne peut valoir que l'une d'elles. Il y a une infinité de possibilités pour $h$.

Ou bien $s$ est non nul et alors $r$ ne peut valoir -1 et 1. En dehors de celles-ci, il existe alors une seule fonction $h$ répondant à la question et son coefficient $a$ vaut l'expression donnée ci-dessus.

Nous aurions pu mener la recherche suivant les valeurs de $r$, auquel cas partager la réflexion en fonction du signe de $r$ n'est pas un bon choix. Mais plutôt en tenant compte de ces situations: \[ r \in \{ -1\, ; 1 \} \quad r \neq \{ -1\, ; 1 \} \]

Solution

Question 1 - Existence et calcul du minimum.

Symétrie

Le signe de $a$ indique le sens des branches. Elles sont dirigées vers le haut. La fonction admet un minimum si l'on tient compte du fait qu'il est admis qu'une parabole admet un sommet. Dans notre cas particulier il existe deux racines, la symétrie de la figure permet d'en déduire la position du sommet et précisément du minimum lorsque $(a>0)$.

Rien n'empêche d'utiliser ses connaissances pour aboutir au résultat plus facilement, et cela suffit comme démonstration lorsqu'elles sont sensées être acquises au cours des leçons précédentes. Mais aussi nous pouvons chercher par ce chemin le résultat puis proposer une preuve plus rapidement.

La fonction s'exprime sous forme factorisée: \[ f(x) = a x \left( x+\frac{b}{a} \right) \] Ainsi les deux racines sont $0$ et $(-b/a)$. Le sommet est atteint pour leur milieu: \[ \frac{0-b/a}{2} = - \frac{b}{2a} \] C'est le signe de $a$ qui indique qu'il s'agit du minimum sur $\mathbb{R}$.

Minimum

On peut le montrer par le calcul, tout d'abord la valeur en ce minimum est: \[ f \left( -\frac{b}{2a} \right) = - \frac{b^2}{4a} \] Ensuite rappelons la définition d'un minimum: on dit que $f$ atteint un minimum sur $\mathbb{R}$ s'il existe une abscisse $s$ telle que: \[ \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x) \geq f(s) \] Le minimum est le nombre $f(s)$ et le réel en lequel il est atteint est $s$. Il peut y avoir plusieurs réels qui atteignent ce minimum.

Soit $x$ un réel, formons la différence: $ \left( f(x)-f(s) \right) $ et montrons qu'elle est positive: \[ \begin{aligned} f(x) - f(s) & = (ax^2+bx)\, -\, \frac{-b^2}{4a} \\ & = \frac{1}{4a} \left( 4a(ax^2+bx)+b^2 \right) \end{aligned} \] Le numérateur est une somme qui est le développement d'une identité remarquable: \[ 4a(ax^2+bx)+b^2=(2ax)^2+2\times 2ax \times b + b^2 = (2ax+b)^2 \] Ce qui prouve que pour tout $x$ réel la différence $ \left( f(x)-f(s) \right) $ est positive. D'où le résultat.

Question 2 - Cas négatif.

Si $(a<0)$ alors $f$ atteint un maximum et l'abscisse de ce sommet ne change pas, seules les branches se renversent en comparaison de la forme précédente. Le calcul que l'on vient de mener peut servir à nouveau puisque rien ne change sauf que le dénominateur $4a$ devient négatif. Ainsi la différence $ \left( f(x)-f(s) \right) $ est un quotient: \[ f(x)-f(s) = \frac{1}{4a} \times (2ax+b)^2 \] dont le numérateur est positif et le dénominateur négatif.

Tableau des signes

Lorsque $(a<0)$ les branches sont dirigées vers le bas, et si $(b>0)$ alors on a une indication sur la position de la racine accompagnant celle qui est propre aux fonctions de la forme $(x \mapsto ax^2+bx)$, c'est-à-dire 0. Ici la racine $(-b/a)$ est strictement positive donc située à droite de zéro d'où le tableau: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & & 0 & & -b/a & \\ \hline \\ x & - & 0 & + & & + \\ \hline \\ ax+b & + & & + & 0 & - \\ \hline \\ f(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \end{array} \]

Graphique

Quant à l'allure de la courbe, l'essentiel est de mettre en évidence la forme parabolique avec les branches vers le bas, la racine 0 et de positionner dans le bon ordre l'autre racine. Puisque $a$ est strictement négatif, les branches sont dirigées vers le bas. Ensuite il reste à connaître le signe de $(-b/a)$. Nous présentons ci-dessous les deux situations envisageables:

Question 3 - Influence du coefficient $b$

On reprend le même tableau que précédemment en étudiant: $f(x)=x(ax+b)$. Le facteur $x$ ne change pas, reste l'autre expression affine. Prenons d'abord le cas $(a>0$ et $b<0)$, en comparaison avec la question précédente les deux coefficients ont changé de signe, ce qui laisse invariant celui de la racine $(-b/a)$: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & & 0 & & -b/a & \\ \hline \\ x & - & 0 & + & & + \\ \hline \\ ax+b & - & & - & 0 & + \\ \hline \\ f(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} \] Nous pouvons aussi donner la variante $(a>0$ et $b>0)$ directement sur le graphique suivant:

Le dernier cas demandé $(a<0$ et $b<0)$ a été dessiné dans la question 2. Lorsque les deux coefficients ont même signe la racine $(-b/a)$ se retrouve être négative donc à gauche de zéro sur le tableau. Si $a$ et $b$ sont négatifs on retrouvera le même résultat que sur le premier tableau et sinon ce sera le deuxième.

Solution

Question 1

L'expression $(x^2+6x)$ est le début du carré d'une somme. C'est-à-dire d'une expression de la forme: \[(x+B)^2\] Pour se donner une idée développons plutôt ce que l'on recherche au lieu de factoriser: \[ (x+B)^2 = x^2+2Bx+B^2 \] Ainsi nous recherchons le terme $B$ sachant que nous avons en notre possession le début du développement. Il est important de comprendre qu'il ne s'agit que d'un morceau d'où le nom de binôme incomplet. L'identification apporte: \[ 2Bx = 6x \] Il vient que le terme $B$ vaut 3.

C'est ce que nous avons présenté dans le cours. Seulement il s'agissait de formules générales, et il n'est pas très utile de les retenir mais plutôt de savoir les retrouver sur chaque exemple. Remplaçons $B$ par sa valeur trouvée: \[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \] Ce qui donne donc pour l'expression que nous souhaitions mettre au carré: \[ x^2+6x = (x+3)^2-9 \] Pour obtenir la modification sur $f(x)$ il suffit de retirer 1 à chacune de ces dernières expressions. Soit le résultat: \[ f(x) = (x+3)^2-10 \]

Question 2

La même méthode s'applique, seules les valeurs changent. L'observation se concentre toujours sur le terme en $kx$ c'est-à-dire celui de degré 1. Il rassemble en lui le signe de l'identité remarquable, si l'on a une forme: $(x^2+kx)$ on obtiendra une somme sous le carré dans le binôme. S'il s'agit d'une différence $(x^2-kx)$ alors ce sera aussi une différence: \[ \left( x-\frac{k}{2} \right) ^2 \] De plus c'est aussi le terme en $k$ qui indique la valeur de l'autre terme de la somme, dans la question 1 nous l'avons nommé $B$. Ecrivons l'expression: \[ f(x)=x^2-2x+7 \] le double produit indique qu'il s'agira d'une différence. Et le coefficient $2$ montre que le double produit $2B$ vaut $2$. On en déduit que $B$ vaut $1$. D'ailleurs: \[ (x-1)^2=x^2-2x+1 \] Pour retrouver $f(x)$ il nous suffit de rajouter $6$ à chacun des membres de cette équation: \[ (x-1)^2+6 = f(x) \]

Question 3

Voici une variante, au final ce sera toujours la même méthode où seule la connaissance du développement de l'identité remarquable $(x+B)^2$ compte: \[ x^2 +\sqrt{5} x+ \frac{1}{4} \; = \; x^2 + 2 \times \frac{ \sqrt{5} }{2} \times x+\left( \frac{5}{4}-\frac{5}{4} \right) + \frac{1}{4} \] Explication sur le membre de droite: Le premier terme $x^2$ reste inchangé, nous cherchons une expression faisant intervenir une forme $(x+\ldots)^2$ sa présence est donc normale. Le coefficient intégré au terme de degré $1$ est mis sous la forme d'un double produit: \[ 2 \times \ldots \times x \] Il apparaît alors le nombre $\sqrt{5}/2$ dont on sait qu'il faudra retirer le carré pour poser le binôme $(x+\sqrt{5}/2)^2$. Donc on anticipe en faisant apparaître à la fois le carré et son opposé. L'un sert à créer le binôme et l'autre à compenser. Reste à calculer la constante finale qui vaut: \[ -\frac{5}{4} + \frac{1}{4} \] D'où au final le résultat: \[ f(x) = \left( x+\frac{\sqrt{5}}{2} \right) ^2-1 \] C'est cette méthode qui est la plus recommandée car à la fois naturelle et rigoureuse. Une fois l'habitude prise, le calcul se fait en une ligne.

Complément : Intérêt de la forme canonique

Résolution de l'équation $f(x)=0$

La forme du binôme incomplet permet de résoudre aisémment l'équation: $f(x)=0$. Il suffit d'utiliser les outils de base en calcul algébrique et sachant que l'extraction d'une racine carrée se fait en prenant la valeur positive et négative: \[ \begin{aligned} (x+3)^2-10 = 0 & \iff (x+3)^2 = 10 \\ & \iff x+3 = \pm \sqrt{10} \\ & \iff x= -3 \pm \sqrt{10} \end{aligned} \]

De même pour la deuxième: \[ (x-1)^2+6=0 \iff (x-1)^2 = -6 \] Il est impossible de résoudre une telle équation. De manière générale si l'on a une forme: \[ (x+B)^2+M=0 \] avec $M$ strictement positif, l'équation devient impossible sinon cela reviendrait à additionner $M$ avec un autre nombre positif pour obtenir zéro. Or nous avons bien préciser: $M>0$.

Pour la dernière équation: \[ \left( x+\frac{\sqrt{5}}{2} \right) ^2-1 = 0 \iff x = \frac{\sqrt{5}}{2} \pm 1 \]

Construire la courbe par translation

En dehors du fait que l'équation $(f(x)=0)$ est plus simple, la construction de la courbe représentative devient plus intuitive. Prenons la forme: \[ f(x) = (x+B)^2+M \] Et partons de la courbe représentant la parabole la plus basique: \[ g(x)=x^2 \] Calculons $g(x+B)$. Cela donne $(x+B)^2$ qui est le binôme dans l'expression de $f(x)$. Comme nous l'expliquons dans le chapitre 2 il s'agit d'une translation de la courbe. Celle de $\mathcal{C}_g$ est décalée suivant les abscisses par la translation de vecteur $(-B\,;0)$. Prenons un exemple: $B=\sqrt{5}$. Dans ce cas: \[g(x+\sqrt{5}) = \left( x+\sqrt{5} \right) ^2 \] Pour retrouver rapidement le sens de translation il suffit de reconnaître un point particulier. Puisqu'elle se fait suivant l'horizontale les valeurs ne changeront pas, seules les abscisses pour lesquelles elles sont atteintes sont modifiées. Or la racine de $g$ est 0 et celle de la nouvelle fonction: $(x \mapsto g(x+\sqrt{5}))$ est $-\sqrt{5}$.

Dessinons $\mathcal{C}_g$ et voyons dans quelle direction il faut se déplacer pour avoir la même forme de courbe mais avec la nouvelle racine trouvée:

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La deuxième étape consiste à rajouter $M$ au résultat: \[ f(x)=g(x+B)+M \] Ici la transformation est plus intuitive, il s'agit d'une translation verticale et le vecteur qui agit a pour coordonnées $(0\, ; M)$ Pour une abscisse $x$ donnée ce qui est modifiée est l'ordonnée. Cette composition de fonctions fait l'objet de la cinquième section du chapitre 2.

Conclusion: La transformation $(x \mapsto (x+B)^2+M)$ est la composée de deux translations. L'une horizontale dans la direction du nombre $-B$ et l'autre verticale en suivant $+M$. L'objet transformé est la parabole $(x \mapsto x^2)$. La figure ci-dessous prend comme exemple $M$ et $B$ strictement positifs. $B=1.12$ et $M=0.8 $ .

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Solution

Question 1

Forme canonique:

\[ \begin{align} x^2+2x-3 & \; = \; (x^2+2x+1) -1 -3 \\ & \; = \; (x+1)^2-4 \end{align} \]

Résolution:

\[ \begin{align} (x+1)^2-4 = 0 & \iff (x+1)^2 = 4 \\ & \iff x+1 = \pm 2 \\ & \iff x \in \{ -3\, ; 1 \} \end{align} \]

Graphique:

Pour obtenir la courbe représentative de $f$ il suffit de translater la parabole liée à $(x \mapsto x^2)$ de $-1$ à l'horizontale, c'est-à-dire d'une longueur $1$ vers la gauche, et de $-4$ à la verticale, c'est-à-dire d'une longueur $4$ vers le bas. Ceci étant expliqué dans l'exercice 1.6 et pour résumer l'ordre de transformation: \[ x \mapsto x+1 \mapsto (x+1)^2 \mapsto (x+1)^2 -4 \] La première opération est la translation horizontale, c'est un changement de variable: $X = x+1$. La deuxième est le calcul du carré, soit la parabole de base $(X \mapsto X^2)$ mais appliquée à la nouvelle variable. Cela ne change rien à la forme de la courbe, seule sa position est modifiée. Enfin on termine par une translation. Si nous notons $Y=(x+1)^2$ alors la dernière transformation se résume par: $Y \mapsto Y-4$. Chaque point de la courbe trouvée à l'étape $2$ perd ainsi $4$ à son ordonnée.

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Question 2

Forme canonique:

\[ \begin{align} x^2-x+1 & \; = \; \left( x^2-2\times \frac{1}{2} x+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right) - \left( \frac{1}{2} \right)^2 +1 \\ & \; = \; \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2+\frac{3}{4} \end{align} \]

Résolution:

\[ \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2+\frac{3}{4} = 0 \iff \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2 = -\frac{3}{4} \]

Nous l'avons déjà vu dans l'exercice 1.6. La forme $(x+B)^2+M$ n'a pas de racine si $M$ est strictement positif. Pour en revenir au graphique, il suffit de voir que $0$ est la seule racine à la deuxième étape dans la transformation, si la translation verticale se fait suivant un nombre $(M>0)$ alors cette racine est transportée vers le haut et il n'y a plus d'intersection avec l'axe des abscisses.

Graphique:

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Question 3

Forme canonique:

\[ \begin{align} x^2+18x+3 & = x^2 +2\times 9x+ (81-81) +3 \\ & = (x+9)^2 -78 \end{align} \]

Résolution:

\[ \begin{align} (x+9)^2-78 = 0 & \iff x+9 = \pm \sqrt{78} \\ & \iff x = -9 \pm \sqrt{78} \end{align} \]

Solution

Question 1 - Deux solutions distinctes.

\[ \Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-3) = 40 \]

Il y a deux solutions distinctes d'après la propriété énoncée dans le cours. Comme d'habitude notons $\beta$ la plus petite: \[ \beta = \frac{-2-\sqrt{40}}{2\times 3} = - \frac{1+\sqrt{10}}{3} \] La plus grande notée $\alpha$ se déduit par une modification du signe devant la racine carrée du discriminant sur l'expression de $\beta $, comme nous n'avons opéré qu'une simplification d'un facteur $2$, le résultat se lit sur la dernière expression trouvée: \[ \alpha =  \frac{-1+\sqrt{10}}{3} \]

Remarque

L'équation $\mathcal{E}$ étant l'égalité d'une expression avec zéro, nous pouvons diviser par n'importe quel nombre non nul, cela ne change rien au résultat. Par exemple si nous divisons par $3$ il vient que $\mathcal{E}$ est équivalente à l'équation: \[ x^2+\frac{2}{3}x-1=0 \] La méthode du binôme incomplet s'applique sans difficulté mais nous ne la préconisons pas une fois que le discriminant et les formules des racines qui en découlent sont connues.  D'ailleurs nous pouvons aussi appliquer cette dernière à la nouvelle équation, cela donne un disciminant $9$ fois plus petit.

Propriété: Multiplier une équation du second degré par un nombre $m$ revient à multiplier son discriminant par le carré de $m$.

Pour les autres questions la démarche est analogue, seule la question 4 demande un traitement plus poussé.

Question 2 - Aucune solution.

Cela vaut la peine ici de simplifier l'expression et de résoudre: $x^2+x+1=0$. On a: \[ \Delta = 1-4\times 1\times 1=-3 \] Il n'y a pas de solution à l'équation.

Question 3 - Nombre d'or.

\[ \Delta = 1 - 4\times (-1) \times 1 = 5 \] D'où les deux solutions: $\displaystyle -\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Notons que les deux racines vérifient: \[ x(x+1)=1 \] Ainsi inverser $x$ revient à lui ajouter $(x+1)$ et l'étude de $\mathcal{E}$ nous apprend qu'il n'y a que deux réels qui vérifient une telle propriété. On parle de nombres d'or.

Question 4 - Etude de cas.

L'équation n'a de sens que si $(a\geq 0)$ car ce nombre est mis en racine carrée. Calculons le discriminant dans un premier temps: \[ \Delta = a-4a^2 = a(1-4a) \] L'objectif est à présent d'effectuer une disjonction des cas suivant le signe de $\Delta$. Pour cela il faut déjà connaître son signe. Voyons le discriminant comme une fonction de $a$. Sa courbe est une parabole et admet comme racine $0$ et &frac14. Le coefficient du second degré vaut $-4$ et son signe indique des branches dirigées vers le bas. Ainsi: \[ \Delta>0 \iff a \in ]0\, ; \frac{1}{4} [$ et négatif en dehors.

Cas $(a \in \{0\, ; 1/4 \} )$

Si $a$ vaut $0$ ou &frac14 l'expression $f(x)$ a un sens et pour $(a=0)$ on doit d'abord en conclure que $f(x)=1$ et donc que $\mathcal{E}$ n'a pas de solution. L'erreur aurait été d'observer la conséquence sur $\Delta$ qui devient nul. Notre conclusion serait alors l'existence d'une unique solution et il aurait fallu diviser $\sqrt{a}$ par $a$. Ce qui n'a pas de sens. On peut formuler une propriété plus générale:

Propriété: Soit l'équation: $ax^2+bx+c=0$. Le calcul du discriminant n'a pas de sens si $a$ est nul.

Si $\displaystyle a=\frac{1}{4}$ alors il y a une seule solution et elle vaut: \[ - \frac { \left( -\sqrt{a} \right) } { 2a^2 } = \frac {1}{2a\sqrt{a}} \]

Cas $(0<a<1/4)$

Le discriminant est strictement positif. L'équation admet deux solutions distinctes: \[ \frac { \sqrt{a} \pm \sqrt{a(1-4a)} } { 2a^2 } \] Simplifions par $\sqrt{a}$: \[ \frac { 1 \pm \sqrt{1-4a} } {2a\sqrt{a}} \]

Cas $(a>1/4)$

Le discriminant est strictement négatif et donc il n'y a pas de racine pour $\mathcal{E}$.

Question 5 - Une seule solution

\[ \Delta = 6^2-4\times 9 = 0 \] L'unique solution vaut: \[ -\frac{6}{2\times 9} = -\frac{1}{3} \] Savoir mener son calcul en maîtrisant les règles et les formules est une bonne chose. Vérifier son résultat en prenant le chemin inverse s'avère utile et prudent: \[ f \left( -\frac{1}{3} \right) = 9 \times \frac{1}{3^2} + 6 \times \left( \frac{-1}{3} \right) + 1 = 1-2+1=0 \] Notons qu'une équation de discriminant nul donne une forme canonique du type: $(x+B)^2+M$ avec la forme du binôme incomplet où: $M=0$. Et $-B$ est l'unique solution à l'équation: $(x+B)^2=0$.

Question 6 - Discriminant égal à 1

\[ \Delta = 21 - 4 \times (-5) \times (-1) = 21 - 20 = 1 \] On applique la formule pour connaître les deux solutions: \[ \frac{ -\sqrt{21} \pm 1 }{2 \times (-5)} \] Soit après simplification: \[ \frac{ \sqrt{21} \pm 1}{10} \]

Solution

Question 1 - Abscisse du minimum.

Le milieu des racines

Les données principales sont les coefficients du polynôme. Les racines s'expriment en fonction de ceux-ci, considérons $\beta$ comme étant la plus petite: \[ \beta = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \alpha = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \] Le milieu $m$ des deux racines se calcule par définition ainsi: \[ m = \frac{\alpha+\beta}{2} = - \frac{b}{2a} \] La forme développée de $f(x)$ donne la valeur $f(m)$ assez facilement: \[ \begin{align} f(m) & = a \times \left( -\frac{b}{2a} \right) ^2 + b \times \left( -\frac{b}{2a} \right) + c \\ & = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \\ & = - \frac{b^2}{4a}+c \end{align} \] On peut aussi présenter le résultat avec le discriminant: \[ f(m) = - \frac {\Delta}{4a} \] et constater que la valeur de la fonction au sommet est proportionnelle au discriminant.

Le milieu est le sommet

Nous n'avons pas encore démontré que le point $(m\, ; f(m))$ est le sommet de la courbe. C'est la particularité recherchée. Elle peut se justifier provisoirement en remarquant que le sommet est le seul point appartenant à l'axe de symétrie d'une parabole. L'abscisse de cet axe est le milieu de tout couple $(x_1\, ; x_2)$ tels que $f(x_1)=f(x_2)$. Mieux il suffit de connaître deux point ayant la même image pour en déduire l'abscisse du sommet. Or c'est le cas pour $(\alpha\, ; \beta)$ qui vérifient: $f(\alpha)=f(\beta)$.

Graphique

Etant donné le cas général, nous ne proposerons que l'allure d'une courbe vérifiant les propriétés algébriques de l'énoncé. C'est-à-dire une parabole qui intercepte l'axe des abscisse en deux points (deux racines), dont les branches sont dirigées vers le haut (le coefficient $a$ est strictement positif). Il reste à placer $\beta, \alpha, m$. Le coefficient $c$ apparaît naturellement comme ordonnée à l'origine, choisissons le négatif.

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Remarque: On peut relier $f(m)$ et $m$ autrement que par l'expression de $f$ en remarquant: \[ f(m) = -m^2+c \] 

Question 2 - Expliquer la position du minimum.

Comparaison

Soit $x$ un réel. Estimons $f(x)-f(m)$ c'est-à-dire simplifions l'expression pour être capable de mieux la cerner, entre autres connaître son signe. \[ \begin{align} f(x)-f(m) & = ax^2+bx+c - \left( -\frac{b^2}{4a} +c \right) \\ & = ax^2+bx + \frac{b^2}{4a} \end{align} \] On reconnaît un carré: \[ \left( \sqrt{a}x \right) ^2 + 2 \times \sqrt{a} x \times \left( \frac{b}{2 \sqrt{a}} \right) + \left( \frac{b}{2 \sqrt{a}} \right)^2 \] Ce qui donne: \[ \left( \sqrt{a} x + \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) ^2 \] Si on ne l'a pas vu, le plus simple est d'étudier l'expression en résolvant l'équation: \[ ax^2+bx+\frac{b^2}{4a} = 0 \] Le discriminant vaut 0 donc il y a une seule solution, une telle expression garde un signe constant pour $x \in \mathbb{R}$. Il suffit de connaître alors la valeur en un point pour avoir le signe, et le mieux est de remplacer $x$ par zéro. C'est-à-dire de lire le signe de la constante $b^2/(4a)$. Puisque $(a>0)$ par hypothèse on obtient la même conclusion.

Au final: \[ f(x)-f(m) = \left( \sqrt{a} x + \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) ^2 \] On peut déjà conclure qu'il s'agit d'une quantité positive. D'où: \[ \forall x \in \mathbb{R} \qquad f(x) \geq f(m) \]

Annulation

C'est une quantité qui est strictement positive pour être plus précis sauf si: $x=m$. Et c'est la seule solution, on améliore l'inégalité précédente en écrivant: \[ x \neq m \Rightarrow f(x)>f(m) \] Il est inutile de préciser qu'il y a équivalence, cela va de soi.

Conclusion

Pour tout $x$ réel la valeur $f(x)$ est au dessus de $f(m)$. On en conclut que $f$ atteint un minimum en $m$. De plus il n'existe qu'un seul réel atteignant la valeur $f(m)$ ce qui n'est pas le cas de toute fonction admettant un minimum.

Question 3 - Relation entre coefficients et racines.

Le calcul de la somme est immédiat: \[ \alpha + \beta = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = -\frac{b}{a} \] Ce qu'on peut retrouver avec $m$ sachant que ce dernier est le milieu des deux racines: \[ \alpha +\beta = 2m \] Quant au produit on peut utiliser les expressions des racines et calculer directement en reconnaissant une identité remarquable: \[\begin{align} \alpha \times \beta & = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ & = \frac{1}{4a^2} \left( -b+\sqrt{\Delta}  \right) \left( -b-\sqrt{\Delta}  \right) \; = \; \frac{1}{4a} \times 4ac \end{align} \] Soit le résultat: \[ \alpha \times \beta = \frac{c}{a} \] Nous pouvons obtenir plus simplement ce résultat en prenant la forme factorisée de $f(x)$: \[ a(x-\alpha)(x-\beta) = ax^2 + a (\alpha+\beta) x + a \alpha \beta \] Par identification avec la forme développée: $ax^2+bx+c$ on retrouve la réponse.

Remarque

C'est là un résultat général que nous développons pour le degré 3 notamment en fin de chapitre. Les coefficients d'un polynôme et les racines éventuelles sont liées suivant des formules précises. Les connaître permet de déduire plus rapidement les paramètres manquant lors de la résolution d'un problème.

Question 4

Pour retrouver $f(m)$ en fonction des racines il suffit de repartir de la définition: \[ m = \frac{\alpha+\beta}{2} \] et de calculer $f(m)$ à partir de la forme factorisée par exemple: \[\begin{align} f(m) & = a ( m - \alpha ) ( m - \beta ) \\ & = a \left( \frac{\beta-\alpha}{2} \right) \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \\ & = -\frac{a}{4} (\alpha-\beta)^2 \end{align} \] On remarquera qu'il reste le coefficient $a$ et il ne sera pas possible de l'exprimer en fonction des seules racines. En effet, le sommet n'a pas sa valeur uniquement liée à la position des deux racines. Il faut un terme supplémentaire pour indiquer la profondeur atteinte par la parabole et cette information n'est révélée que par $a$. C'est un indicateur de la verticalité des branches et comme on peut le constater deux courbes peuvent avoir les mêmes racines mais pas le même sommet.

On retrouve ce calcul en repartant d'un résultat obtenu à la question 1. qui était que: \[ f(m) = \frac{\Delta}{4a} \] Et la différence des racines dans le bon ordre (la plus grande à laquelle on retire la plus petite) qui vaut: \[ \alpha-\beta=\frac{\sqrt{\Delta}}{a} \]

Exprimer $f(m)$ en fonction des coefficients est plus direct puisque nous l'avons déjà obtenu: \[ f(m)= \frac{\Delta}{4a}= -\frac{b^2}{4a} + c \]

Question 5

L'objectif d'une telle question est d'apprendre à corriger des résultats quand une donnée a été modifiée. Ici nous avons changé le signe de $a$. Le minimum devient un maximum. La conduite des calculs ne change pas, on retrouvera toujours le nombre $a$ mais l'étude qualitative est différente, les signes des grandeurs calculées changent. Reprenons les questions une par une et discutons des modifications:

1. Les expressions de $m$ et $f(m)$ sont les mêmes. Mais $f(m)$ devient un maximum.
2. Cette fois-ci la différence donne: $$ - \left( \sqrt{-a} x + \frac{b}{2\sqrt{-a}} \right) ^2$$ qui est une quantité négative pour tout $x$ réel.
3. La réponse ne change pas.
4. Idem.

Solution

Question 1 - Deux paraboles qui se croisent deux fois.

On forme la différence: \[ h(x)=f(x)-g(x)=2x^2+\frac{1}{2}x-1\] On résout l'équation $\mathcal{E}$ pour la fonction $h$: \[ \Delta=\frac{33}{4} \] Les deux racines sont: \[ \alpha, \beta = \frac{1}{8}(-1\pm \sqrt{33}) \] Une fois la partie algébrique terminée il reste à interpréter dans le sens de la géométrie. Pour une différence $h(x)$ admettant des racines nous obtenons trois situations:

• Si $x$ vaut l'une des racines alors $f(x)=g(x)$. Les courbes se croisent en exactement deux points, qui ont pour abscisses les racines de $h$.
• Si $x \in ]\beta\, ; \alpha[$ alors $h$ est strictement négative, c'est-à-dire: $f(x)<g(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de celle de $g$.
• Si $x \in \mathbb{R} \setminus [\beta\, ; \alpha]$ alors c'est la situation inverse. La fonction $h$ est strictement positive, donc $f>g$ sur cette partie de $\mathbb{R}$, ce qui se traduit par une position de $\mathcal{C}_f$ plus élevée que $\mathcal{C}_g$.

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Question 2 - Influence de l'ordonnée à l'origine

Ici la fonction $f$ n'est pas entièrement définie, il y a un paramètre $c$ pour la constante. La courbe possède donc une pente égale à +1 quelque soit la valeur de $c$. Elle est donc parallèle à la courbe liée à la fonction linéaire classique $(x \mapsto x)$. Seule son ordonnée à l'origine est à déterminer et c'est la valeur portée par $c$. La comparaison se fait avec la parabole tout aussi classique $(x \mapsto x^2)$.

Intuitivement, si l'on se représente la droite d'équation $(x \mapsto x)$ avec la possibilité de coulisser le long de l'axe des ordonnées, on verra qu'il y aura tantôt deux solutions au problème $(f=g)$ si $c$ est parmi des valeurs élevées, puis aucune solution si $c$ est assez faible. Il se peut qu'il n'y est qu'une seule solution si l'on place à un endroit précis la droite. Ce qui est simple à découvrir dans le cas d'une application de l'outil de dérivation, en attendant nous résolvons la question à l'aide de la méthode du discriminant.

Soit $h$ la fonction définie par \[ h(x)=f(x)-g(x)=-x^2+x+c \] le discriminant vaut: \[ \Delta = 1+4c \] Nous avons déjà rencontré cette situation dans l'exercice 1.8 pour la 4ème question. La valeur de $c$ donnera le signe de $\Delta$ et le signe de $\Delta$ indiquera la position des courbes.

Cas sans intersection

Le discriminant est strictement négatif si et seulement si $c$ est strictement plus petit que l'opposé du quart de l'unité. Et il y a équivalence entre ce signe et la configuration où les deux courbes ne se croisent pas. Or si deux courbes ne se croisent, et c'est là un résultat général, la position de l'une par rapport à l'autre reste inchangée. Ce sont là des propriétés simples mais qu'il convient d'assimiler pour en faire des mécanismes à insérer plus tard dans des recherches plus techniques.

Or ce que révèle le signe négatif de $\Delta$ n'indique pas le signe de $h$, mais seulement que son signe est constant. Il reste à vérifier sur n'importe quelle valeur $h(x)$ et le plus simple reste de remplacer $x$ par zéro. Ainsi nous avons trouvé: \[ c<-\frac{1}{4} \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x)<g(x) \] Ceci traduit le fait que la droite $\mathcal{C}_f$ se situe sous la parabole. Et cette propriété se vérifie pour tout réel $x$. Nous pouvons simplifier l'expression en affirmant seulement: \[ f<g \; \text{ sur } \, \mathbb{R} \]

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Dans le second problème du livre nous évoquons une autre question: la distance droite-parabole. La connaître c'est savoir quels objets peuvent traverser un obstacle constitué par les deux courbes. On cherche à caractériser les réels $r$ et $s$ indépendants l'un de l'autre mais tels que $|f(r)-g(s)|$ soit le plus petit possible.

Cas d'une seule intersection

On a: \[ \Delta = 0 \quad \iff \quad c = -\frac{1}{4} \] Ceci nous apprend que l'équation $h(x)=0$ admet une et une seule solution uniquement lorsque $c$ vaut $(-1/4)$. En le point vérifiant l'équation $(h=0)$ la parabole $\mathcal{C}_g$ rencontre la droite $\mathcal{C}_f$. Et il n'y a que cette intersection. Il y a une confusion à ne pas faire, confondre la solution $x$ de l'équation $(h=0)$ et la valeur du coefficient $c$ qui permet d'avoir une unique solution à $(h=0)$.

Deux configurations sont possibles dans le cas général si l'on ne cherche pas à se représenter la rencontre d'une droite et d'une parabole plus précisément. Ou bien les positions changent en ce point et elles ne peuvent changer ailleurs sans rencontre. Et puisque il n'y en a qu'une, un seul changement se sera produit sur tout $\mathbb{R}$. Ou bien la rencontre a lieu sans changer de position, situation la plus générale pour les droites dites tangentes. Mais ce n'est qu'une généralité.

Dans notre cas, résolvons: $h(x)=0$. Puisque le discriminant est nul il suffit de poser: \[ \delta=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2} \] En le point $(\delta\, ; f(\delta))$ les courbes liées à $f$ et $g$ se rencontrent. Reste à savoir ce qu'il en est de leur position à droite puis à gauche de $\delta$. De ce que nous venons d'exposer il apparaît qu'il n'y a qu'une seule position à gauche, et une seule à droite. Ainsi il suffit de rechercher la valeur $h(x)$ pour un réel $x$ situé à droite de $\delta$ puis à gauche. Et cela suffira pour conclure. Cette méthode est générale, ici nous faisons mieux en rappelant que $h$ est l'équation d'une parabole ayant une unique solution, la forme de sa courbe implique que le signe à gauche est le même qu'à droite. Donc il est inutile de rechercher deux valeurs, une seule suffira. Là encore, nous développons une idée non pour rendre les choses lourdes mais apporter au lecteur ces petites idées qui font qu'une recherche se simplifie vite, pour aboutir  plus tard à la capacité de résoudre des problèmes hautement plus difficiles.

Nous calculons la valeur la plus simple à trouver: $h(0)=-1/4$. Ainsi $h$ est négative strictement sur tout $\mathbb{R}$ et nulle uniquement en $(-1/4)$. En ce point cela s'interprête par une intersection aux deux courbes liées à $f$ et $g$ et quant au reste de l'intervalle réel partout la parabole est au dessus de la droite. Dans le cours traitant de la dérivation, nous apprenons que $\mathcal{C}_g$ est la tangente à la parabole en $\delta$. Le seul point en lequel la dérivée vaut +1.

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Cas avec deux intersections

La méthode reste la même, bien que le résultat soit plus complexe: \[ \Delta > -\frac{1}{4} \quad \iff \quad c > -\frac{1}{4} \] Dans ce cas il y a deux solutions à l'équation $(f=g)$ qui sont \[ \beta, \alpha \; = \; \frac{1}{2} ( 1 \pm \sqrt{1+4c} ) \] L'étude du signe pour l'équation du seconde degré nous apprend qu'il suffit de lire le signe du coefficient de plus haut degré pour en déduire ce qu'il en est à l'extérieur du segment formé par les deux racines, et ce qu'il en est à l'intérieur. Le coefficient est à lire sur l'expression de :$h(x)=-x^2+x+c$. Il est négatif, ses branches sont dirigées vers le bas, donc $h$ est négative en dehors du segment et positive à l'intérieur. On en déduit que $(f-g>0)$ à l'intérieur et l'opposé à l'extérieur. Soit, pour finir: la droite est au dessus de la parabole entre $\alpha$ et $\beta$ et en dessous au dehors.

L'éloignement des racines vaut toujours dans le cas général $\displaystyle \frac{\Delta}{a}$ et ici puisque $(a=1)$ et selon la valeur du discriminant nous savons que: \[ \alpha-\beta = \sqrt{1+4c} \] Plus $c$ est grand et plus les racines sont éloignées. La valeur de $c$ indique la hauteur de la droite. Et un dessin permet de se figurer ce phénomène, ce qui est intéressant dans la formule précitée c'est de savoir à quelle vitesse évolue cet écart par rapport au paramètre $c$.

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Pour finir sur cette question, nous avons procédé par disjonction des cas. Ceux-là sont l'ensemble des valeurs prises par $c$ sur tout $\mathbb{R}$. Et l'ensemble a été coupé en trois, l'intervalle $]-\infty\, ; -1/4[$ qui n'a donné aucune racine à $h$ puis le singleton formé par $(-1/4)$ et enfin ce qui reste: $]-1/4\, ;+\infty[$. Toutes les possibilités ont été traitées, la question est close.

Question 3 - Quel coefficient modifie les résultats?

Il suffit de poser la différence pour s'apercevoir de la simplicité du problème: \[ h(x) = f(x)-g(x) = \left( a-(a-1) \right) x^2 + c = x^2+c \] On en revient aux cas particuliers vus en cours. Une nouvelle disjonction de cas s'effectue:

• Si $(c>0)$ alors $(h>0)$ sur tout $\mathbb{R}$. Et réciproquement. C'est le cas où $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$.
• Il y a une unique solution à l'équation $(h(x)=0)$ si et seulement si $c$ est nul. Dans ce cas, $h$ est positive sur tout $\mathbb{R}$ et s'annule en l'abscisse $x$ vérifiant $(x^2=0)$ ce qui correspond à $(x=0)$. La courbe représentant $f$ est au dessus de celle de $g$ et elles se croisent en l'abscisse $(x=0)$.
• Si $(c<0)$ alors $h$ s'annule en deux points d'abscisse: $\pm \sqrt{c}$. Le coefficient de second degré vaut +1, ainsi $h$ est négative entre les deux racines et positive en dehors.

Ci-dessous, tracée en noir la courbe $\mathcal{C}_g$ pour: $(a=3/2)$ et $(b=1/2)$. Puis en bleu les trois configurations possibles pour la courbe liée à $f$.

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Question 4 - Un exemple de paramètres en commun.

La fonction $h$ s'écrit: \[ h(x) = (a-b) x^2 + (b-a) x +2 \] Le discriminant: \[ \Delta = (b-a)^2-8(a-b) \] nous étudions cette quantité comme fonction de deux variables $a$ et $b$. Cela n'a rien de difficile, il suffit de rester rigoureux dans la démarche. Selon que $\Delta$ soit nul, positif ou négatif, les configurations seront différentes. Sa valeur ne nous intéresse pas, seul son signe compte. C'est là l'objectif à réaliser. Petite remarque pour fixer les idées: nous écrivons: $\Delta = (a-b)^2 -8(a-b)$. Et on pose $B=(a-b)$. D'où:$\Delta=B^2-8B$.

Cas du discriminant nul

\[ \Delta = 0 \; \iff \; B(B-8)=0 \] Ce qui donne deux situations:

• $(a=b)$. Dans ce cas il faut toujours vérifier ce que cela entraîne sur les expressions des fonctions, en particulier pour $h$ qui est la fonction constante égale à 2. Il n'y a pas contradiction dans le résultat, seulement il n'est pas permis d'utiliser la méthode du discriminant si $a$ est nul ce qui est le cas ici. D'où le résultat apparemment contradictoire. Au final, ce cas particulier donne $(f>g)$ sur tout $\mathbb{R}$.
• $(a=b+8)$. le coefficient du second degré est non nul, ainsi la méthode est valable. L'intersection des deux courbes correspond à l'abscisse de la racine de l'équation $(h(x)=0)$ soit: \[ \frac{a-b}{2(a-b)}=\frac{1}{2} \] Pour le reste $h$ est de signe constant, or $h(0)=2$. Donc $(f>g)$ sur tout $\mathbb{R}$ sauf en $1/2$ où il y a la seule intersection.

Cas du discriminant négatif

Observons: $\Delta = B^2-8B$. Le discriminant est un polynôme du second degré en $B$. Les méthodes connues pour l'étudier doivent être appliquées pour faciliter l'exposé. Il possède deux racines qui sont $0$ et $8$. On en déduit immédiatement sur la lecture du signe du coefficient de plus haut degré qu'entre ces deux nombres, $\Delta$ est strictement négatif. La fonction $h$ ne change pas de signe et puisque $h(0)=2$ alors $(f>g)$ sur tout $\mathbb{R}$.

On a donc: \[ a-b \in [0\, ; 8 [ \iff f>g \] Le cas où $(a=b)$ se retrouve ici-même.

Cas du discriminant positif

Pour toutes les autres possibilités, c'est-à-dire lorsque $(a-b<0)$ ou $(a-b>8)$, le discriminant est strictement positif et les deux solutions pour $(h(x)=0)$ sont: \[ \beta, \alpha \; = \; \frac{(a-b)\pm \sqrt{\Delta} }{2(a-b)} \] Ce qui s'exprime aussi de la sorte après simplification: \[ \frac{1}{2} \left( 1 \pm \sqrt{1-\frac{8}{a-b}} \right) \] A noter qu'en lisant cette dernière expression, on retrouve les deux cas $(a=b)$ et $(a-b=8)$ qui ne peuvent fournir de racines suivant cette formule.

Reste à savoir comment sont placées les courbes liées à $f$ et $g$ à l'intérieur du segment formé par les deux racines et en dehors. Il se trouve que cela dépend du signe du coefficient de second degré dans l'expression de $h(x)$. Or il est variable suivant $a$ et $b$.

• Si $(a-b<0)$ alors les branches sont dirigées vers le bas, c'est-à-dire que $h$ est strictement négative en dehors de $[\alpha\, ; \beta]$.
• Si $(a-b>8$ alors ce sera le contraire.

Alors que pour la question 2. la disjonction de cas se faisait sur $c$, ici elle se fait sur le couple $a$ et $b$ mais suivant la relation $(a-b)$ seulement, on n'a donné aucune valeur particulière à ces deux réels. Ce qui compte est leur écart l'un par rapport à l'autre.

Solution

Question 1

(a)

La différence vaut: $h(x)=x$. La fonction $h$ est linéaire, la conclusion est la suivante:

• $(f<g) = \mathbb{R}^{-*}$
• $(f=g) = \{0\}$
• $(f>g) = \mathbb{R}^{+*}$

Ce qui correspond au graphique de gauche.

(b)

La différence vaut: $h(x)=1$. La fonction $h$ est constante strictement positive, la conclusion est la suivante:

• $(f<g) = \emptyset $
• $(f=g) = \emptyset $
• $(f>g) = \mathbb{R} $

Ce qui correspond au graphique de droite. Il y a comme une illusion d'optique nous faisant croire que les courbes se rapprochent de plus en plus. Mais en réalité notre oeil ne compare pas des valeurs de $f$ et $g$ aux mêmes abscisses. Pour un réel $x$ donné l'écart entre $f(x)$ et $g(x)$ reste le même, ainsi un segment vertical peut coulisser le long des deux courbes sur tout $\mathbb{R}$.

Question 2

(a)

$\displaystyle h(x)= -x+\frac{1}{2}$. Il s'agit du quatrième cas vu dans la section et le résultat est le suivant:

• $\displaystyle (f<g) = ]\frac{1}{2}\, ; +\infty [$
• $\displaystyle (f=g) = \{ \frac{1}{2} \}$
• $\displaystyle (f>g) = ]-\infty\, ; \frac{1}{2} [$

Il y a une intersection, ce qui exclut le graphique de droite. Si un segment vertical se déplace avec une extrémité appartenant à chaque parabole, alors il rétrécie de manière linéaire, ce qui est la conséquence du coefficient directeur de la droite $\mathcal{C}_h$ et l'ordonnée à l'origine nous indique la taille du segment lorsqu'il passe en zéro. Il devient nul pour le réel $x$ annulant $h$, soit encore un demi. Puis ses bornes changent de position et il grandit de nouveau.

(b)

$h(x)=2x^2-22x+51$. On retrouve le 5ème cas. Le discriminant vaut -8, ainsi les deux courbes ne se rencontrent pas, et vu que $h(0)$ est strictement positif on en déduit que c'est $\mathcal{C}_f$ qui est au dessus de $\mathcal{C}_g$. Ce qu'on retrouve en comparant les branches, celles de $\mathcal{C}_f$ sont dirigée vers le haut. Le graphique de droite correspond à une telle situation.

Question 3

(a)

$\displaystyle h(x) = 2x^2-x+\frac{1}{8}$. Il s'agit du cinquième cas avec le discriminant nul. La racine de $h$ vaut un quart. La valeur $h(0)$ est strictement positive donc: \[ (f>g) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{1}{4} \} \] Quant au singleton formé par un quart il vaut $(f=g)$. C'est le graphique de gauche qui correspond.

(b)

$h(x)=2x^2-19x+43$. Le discriminant vaut 17 et les racines sont: \[ \frac{19 \pm \sqrt{17}}{4} \] Le signe de $h$ se déduit aisément et l'on conclut en notant $\beta$ la plus petite et $\alpha$ la plus grande des racines:

• $\displaystyle (f<g) = ] \beta\, ; \alpha [$
• $\displaystyle (f>g) = \mathbb{R} \setminus [\beta\, ; \alpha]$
• $\displaystyle (f=g) = \{ \beta\, ; \alpha \}$

Cela termine la section avec un exemple du 5ème cas pour un discriminant strictement positif.

Solution

Question 1

On part de l'hypothèse que les trois points sont quelconques, donc toutes les configurations sont possibles. Le fait de restreindre en supposant que deux d'entre eux sont confondus ne signifie pas que le troisième est distinct. Il peut être aussi confondu avec les deux autres. La question est précise: Combien. On ne cherche pas à savoir comment sont ces paraboles, si les branches sont dirigées en haut ou en bas, quel est leur axe de symétrie ou autre. Mais seulement quelle quantité. Soit il y en a un nombre fini et il faut donner la quantité exacte, soit il y en a une infinité, et on le prouve. On appelle $f$ une fonction susceptible de répondre aux contraintes.

Trois points confondus

Dans ce cas, il existe une infinité de paraboles. La contrainte imposée consiste en l'existence d'un point $A$ de coordonnées $(e\, ; f)$ pour lesquels les éventuels coefficients de $f$ vérifient: \[ ae^2+be+c=f \] Les coefficients sont ici les inconnues du problèmes. Les coordonnées $e$ et $f$ sont considérées comme connues et peuvent donc être exploitées pour exprimer les solutions. Voici la preuve algébrique qu'il existe une infinité de fonctions $f$ répondant au problème:

Fixons $b$ et $c$. Alors $a$ devient connu: \[ a =\frac{1}{e^2} (f-be-c) \] sauf si $e$ vaut zéro. Mais dans ce cas, cela signifie que $A$ est le point de la courbe dont l'abscisse est l'origine. L'équation de contrainte devient: \[ c=f \] L'inconnue $c$ est imposée et vaut $f$. Quant à $a$ et $b$ ils peuvent prendre n'importe quelle valeur, la contrainte sera vérifiée. D'où l'infinité de paraboles dans ce cas. Si $(e\neq 0)$ alors on retrouve l'équation ci-dessous où l'on divise par $e^2$. En fixant $b$ et $c$ on obtient la valeur de $a$. En laissant $c$ fixé, on constate qu'on est libre de poser n'importe quelle valeur pour $b$, il sera possible de choisir $a$. Enfin, le même constat est à faire sur $c$ alors que l'on aura encore rien fixé pour $b$, tout réel permet d'aboutir à une solution. Au final, dans cet ordre de choix, il nous est possible de fixer $c$ puis ensuite de choisir aussi $b$ de manière indépendante, enfin on trouvera qu'il existe une valeur unique pour $a$ permettant de créer une fonction $f$ répondant au problème: \[ f(x) = \frac{1}{e^2} (f-be-c) x^2 + bx + x \] Il est possible de procéder en choisissant arbitrairement $a$ puis $b$, la valeur de $c$ en découle, ou encore de n'importe quelle façon sur deux coefficients, le troisième trouvera son existence. La réponse à la question est la suivante:

Si les trois points sont confondus, alors le problème revient à savoir combien de paraboles passent par un point donné du plan. Il y en a une infinité quelle que soit le choix de ce point. La réponse aurait pu être donnée à partir d'une simple considération géométrique. Nous pouvons le prouver pour le point $A(0\, ;0)$ et il suffit de conclure avec une translation. Tout point de coordonnées $(e\, ; f)$ est le translaté de $(0\, ; 0)$. Une parabole qui passe par l'origine a une image par cette translation passant par le point $(e\, ; f)$.

Deux points distincts

Supposons que $A$ et $C$ sont confondus et $B$ est distinct de $A$. Cela ne change rien au problème. Il y a un cas particulier: si $A$ et $B$ sont alignés à la verticale il vient de toute évidence qu'aucune parabole ne les contient puisque nous cherchons celles qui sont liées à des fonctions. Il faudrait considérer le plan de manière générale et chercher les paraboles au sens large, d'un point de vue purement géométrique. Seulement, nous considérons dans notre problème uniquement celles de la forme: $(y=ax^2+bx+c)$ donc telles que l'axe de symétrie est parallèle à l'axe des ordonnées.

Soit à présent $A(e\, ; f)$ et $B(g\, ; h)$ avec $(e\neq g)$. Rappelons que les inconnues du problème sont $a,b,c$ et les quatre réels $e,f,g,h$ sont des données exploitables. Le cas général du problème fait qu'on en conserve une description littérale. Une fonction $f$ solution du problème vérifie le système: \[ \left\{ \begin{aligned} ae^2+be+c & =f  \\ ag^2+bg+c & = h \end{aligned} \right. \] Distinguons là encore deux cas:

$e$ et $g$ ne sont pas opposés

On pose la différence entre les deux équations: \[ a(e^2-g^2)+b(e-g)=f-h \] L'explication de la nouvelle hypothèse $(e\neq -g)$ apparaît ici, si $e$ et $g$ sont opposés, l'équation n'est pas exploitable, sinon on donne $a$ en fonction de $b$, c'est-à-dire que l'imposition de l'un entraîne celle de l'autre: \[ a = \frac{f-h}{e^2-g^2}  - \frac{b}{e+g} \] Dans le premier membre de droite la première fraction est fixée puisque composée uniquement de données, et la seconde ne dépend que de l'inconnue $b$. Si l'on choisit $b$, la valeur de $a$ est imposée, puis en exploitant l'une des deux équations du système posé plus haut il vient aussitôt: \[ c = f-ae^2-be \] La valeur de $c$ devient imposée. Ce qui nous intéresse ici est de voir que toute valeur de $b$ entraînera l'existence d'un réel $a$ et d'un réel $c$ telle que la fonction $f$ vérifie le problème. Ce qui signifie qu'il existe une infinité de paraboles: \[ \left\{ \begin{aligned} b & \in \mathbb{R} \\ a & = \frac{f-h}{e^2-g^2}  - \frac{b}{e+g} \\ c & = f-ae^2-be \end{aligned} \right. \] On peut terminer le travail de recherche en donnant l'expression de $f(x)$ uniquement en fonction des quatre données $e,f,g,h$ et du paramètre $b$.

$e$ et $g$ sont opposés

Dans ce cas $a$ et $b$ ne sont plus liés indépendamment de $c$. Si nous soustrayons une équation à l'autre le résultat : \[ a(e^2-g^2)+b(e-g)=f-h \] n'est pas exploitable puisque: \[ e^2-g^2 = (e-g)(e+g) =0 \] ainsi le coefficient $a$ est accompagné d'un facteur nul, ce qui ne permet pas de lier $a$ à $b$. Mais plutôt additionnons les deux équations du système, puisque $(e+g=0)$ et $(e^2=g^2)$ on a: \[ 2ae^2+2c=f+h \] Le fait de fixer l'un des deux coefficients $a$ ou $c$ entraîne une valeur pour l'autre, sauf si $(e=0)$. En dehors de ce cas on se retrouve avec une expression de $f$ à un degré de liberté: fixer $c$ donne une valeur à $a$: \[ a=\frac{f+h}{2e^2}-\frac{c}{e^2} \] Et aussitôt une valeur à $b$: \[ b = \frac{f-c}{e}-ae \] Si chaque choix de $c$ n'entraîne que l'existence d'un unique couple $(a,b)$ répondant au problème, la possibilité de fixer librement $c$ permet de conclure qu'il existe une infinité de solutions au problème.

Conclusion

Nous avons procéder par disjonction des cas, étant donné le niveau un peu plus technique du découpage, il est bon de vérifier que nous n'avons rien laisser de côté: la question est de savoir combien de paraboles passent par trois points quand au moins deux sont confondus. Nous avons agit de la façon suivante:

1. Les trois sont confondus.
2. Deux sont confondus et le troisième distinct

• Les deux points distincts forment une droite verticale.
• Les deux points ne forment pas une droite verticale.
  • Les deux points n'ont pas d'abscisses opposées.
  • Les deux points ont une abscisse opposée.

Question 2

La question est posée de manière générale. La réponse n'est pas l'unicité dans deux cas très particuliers.

Alignement vertical

Si les points sont alignés à la verticale il ne peut y avoir de solutions. Même dans le cas de deux points comme précédemment, en effet l'équation: \[ y = ax^2+bx+c \] entraîne une unique ordonnée pour chaque abscisse. Deux points alignés à la verticale donnent deux ordonnées possibles pour la même abscisse. En effet soit $A(e\, ; f)$ et $B(e\, ;h)$ où $(f\neq h)$. $A$ et $B$ sont alignés à la verticale et d'ordonnées différentes, donc les deux points sont distincts, ils vérifient les conditions imposées. Seulement: \[ f=ae^2+be+c=h \]

Alignement horizontal

Nous avons vu dans le cours et dans la question 1 de l'exercice que par deux points alignés à l'horizontal il passe une infinité de paraboles. Reprenons $A$ et $B$ cités plus haut dans la question 1, le système devient: \[ \left\{ \begin{aligned} ae^2+be+c & =f  \\ ag^2+bg+c & = f \end{aligned} \right. \] ceci parce qu'ils ont même ordonnée $f$. Quant à $e$ et $g$ nous savons juste qu'ils sont distincts d'après l'hypothèse de la question 2. La différence entre les deux équations donne: \[ a(e^2-g^2)+b(e-g)=0 \] Or $e$ et $g$ sont différents, en divisant par $(e-g)$ on obtient: \[ a(e+g)+b=0 \] Un troisième point $C(i\, ;j)$ vérifie aussi: \[ ai^2+bi+c=f \] Une opération similaire à ce qui précède donne: \[ a(e+i)+b=0 \] Or $e,g,i$ sont différents. Là encore nous plongeons encore dans une distinction:

$a$ est nul

Supposons que $a$ soit accepté comme étant nul, c'est-à-dire que l'on se restreint aux paraboles de la forme d'une droite. Pour rappel, une parabole telle que définie dans le cours est de la forme $(ax^2+bx+c)$ avec trois coefficients quelconques. Nous avons vu qu'il peut s'agir d'une droite. Si $a$ est nul alors $b$ aussi. Il reste: $c=f$. Ainsi il existe une unique parabole répondant au problème: \[ f(x)=f \] Ne pas confondre le réel $f$ fixé et qui est l'ordonnée des trois points alignés et la fonction $f$.

$a$ n'est pas nul

Dans ce cas le problème devient impossible car: \[ -\frac{b}{a} = e+i=e+g \] or $e,g,i$ sont supposés distincts.

La conclusion sur l'alignement horizontal est la suivante: Si trois points sont alignés ainsi il n'y a que la fonction constante égale à leur ordonnée commune qui est solution du problème. Une autre méthode consiste à raisonner sur le nombre de racines du polynôme susceptible de répondre au problème et de généraliser par translation. Ce que nous proposons ci-après:

Alignement oblique

Le problème consistant à résoudre le nombre de points d'intersection entre une parabole et une droite est équivalent à la résolution d'une équation du second degré, ceci est expliqué dans les sections 1.3 et 1.4. Or nous avons vu que lorsque $a$ est non nul, il ne peut y avoir plus de deux solutions distinctes. Pour en avoir trois distinctes, il faut que $a$ soit nul. Ce qui revient à étudier l'intersection entre deux droites. Pour qu'elles aient trois points en commun il faut qu'elles soient confondues.

Soient $A,B,C$ trois points distincts alignés, il existe toujours une droite passant par ces points. Et elle vérifie le problème. Le paragraphe précédant a donné une condition nécessaire, celui-ci donne une condition suffisante. Le problème admet bien une unique solution, il est inutile de donner la moindre équation, il s'agit de la droite elle-même.

Question 3

Interprétons les données: $A$ est l'origine du repère, si la courbe passe par ce point alors $c$ est nul puisque: $f(0)=c$. Les branches sont dirigées vers le haut signifie déjà qu'il y a des branches, donc que $a$ est non nul, de plus leur orientation indique plus précisément: $(a>0)$. $B$ est le sommet donc le milieu des deux racines. En effet, la courbe passe par $A$ donc la fonction a au moins une racine, puisque celle-ci n'est pas le sommet alors il y en a une deuxième. Et $B$ en est le milieu. La forme de $f(x)$ est évidente, on retrouve un cas simple: \[ f(x)=x(ax+b) \] Le milieu des racines vaut donc $-b/(2a)$ et correspond à 2 par hypothèse. D'où: \[ b=-4a \] Les deux racines sont 0 et 4, le choix du coefficient $(a>0)$ reste libre en dehors de son signe: \[ f(x)=ax(x-4) \] On propose deux courbes, l'une ayant comme point $B_1$ en posant $(a=1/4)$ et l'autre $B_2$ avec $(a=1)$.

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Question 4

Traitons un cas encore plus général, soient trois points $A,B,C$ de coordonnées respectives $(e\, ; f)$ et $(g\, ; h)$ et $(i\, ; j)$ ne se trouvant pas dans l'un des cas cités plus haut. Ils se sont pas alignés à la verticale, ni par trois ni par deux, ni à l'horizontale pour les trois. Le système est le suivant: \[ \left\{ \begin{aligned} ae^2+be+c & =f  \\ ag^2+bg+c & = g \\ ai^2+bi+c & = j \end{aligned} \right. \] La différence entre la première et la seconde nous a donné: \[ (*)\;  b=\frac{f-h}{e-g} - a (e+g) \] L'intuition est qu'il n'existe qu'une seule parabole passant par les trois points, l'objectif est donc de résoudre le système en trouvant pour chaque coefficient $a,b$ et $c$ sa valeur en fonction des six données du problème: $e,f,g,h,i,j$. Nous avons déjà une équation mettant en relation $a$ et $b$. Une autre du même type permettrait d'isoler l'un de ces coefficients. Or la symétrie qui existe entre les trois équations du système nous montre qu'en formant la différence entre la seconde et la troisième alors on aura la même équation entre $a$ et $b$ avec un remplacement des symboles: $h$ prend le rôle de $f$, $j$ celui de $h$, $g$ celui de $e$ et $i$ de $g$: \[ (**)\; b= \frac{h-j}{g-i} - a (g+i) \] Faisons la différence des deux équations (*) et (**). On élimine ainsi $b$ et $a$ peut être exprimé après quelques manipulations: \[ a= \frac{1}{i-e} \left( \frac{h-j}{g-i}-\frac{f-h}{e-g} \right) \] Ce qui donne en remplaçant $a$ par cette expression dans l'équation (*) la valeur de $b$: \[ b= \frac{f-h}{e-g} -\frac{e+g}{i-e} \left( \frac{h-j}{g-i}-\frac{f-h}{e-g} \right) \] Et enfin il suffit de reprendre n'importe laquelle des trois équations du système pour extraire $c$, par exemple: \[ c=f-ae^2-be \] L'essentiel n'est pas de donner une formule, mais de prouver qu'il existe une fonction $f$ dont la courbe est une parabole qui passe par $A,B,C$. Et qu'elle est unique. Et c'est ce que nous avons obtenu, chacun des trois coefficients $a,b,c$ existe et s'exprime uniquement en fonction des données, de sorte que cela fixe leurs valeurs respectives.

Suite de l'exercice

La suite de l'exercice se trouve à l'adresse internet suivante:

http://tekmath.com/exercice/exercice1-12-bis

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Question 4 (suite)

La preuve proposée à la question 4 est plus générale, elle permet d'en conclure l'existence et l'unicité d'une parabole passant par $A,B,C$ lorsque ces trois points forment un triangle équilatéral avec un côté parallèle à l'axe des abscisses. Cette configuration interdit l'alignement vertical pour deux de ces points. Allons plus loin en précisant les coefficients puisque les données $e,f,g,h,i,j$ ont une contrainte supplémentaire: les trois abscisses sont telles que l'une est milieu des deux autres.

En effet, supposons que $(AB)$ soit horizontale. Alors la hauteur issue de $C$ est verticale, or elle correspond aussi à la médiane, ainsi le milieu de $[AB]$ possède la même abscisse que $C$. De plus l'ordonnée de $C$ est distant de l'ordonnée commune de $A$ et $B$ d'une distance égale à $ \sqrt{3}\ell/2 $ :

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Reste à choisir le cas où $C$ est au dessus ou en dessous. Pour ce qui est de l'équation, il y a deux types donc de paraboles, celles avec les branches dirigées vers le haut et celles vers le bas. Nous procédons en remarquant que tout triangle équilatéral de côté $\ell$ et avec un côté horizontal est l'image de celui formé par les trois points \[ A (0\, ; 0) \qquad B (\ell \, ; 0) \qquad  C \left( \frac{\ell}{2} \, ; \frac{\sqrt{3}\ell}{2} \right)\] par une translation dans le cas d'un triangle dont l'autre sommet pointe vers le haut. S'il pointe vers le bas on reprend $A$ et $B$ et on considère le symétrique de $C$ suivant l'axe des abscisses. Tous les triangles de la forme voulue sont issus de l'un ou l'autre de ces deux triangles dessinés ci-dessous:

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S'il passe une seule parabole par le triplet $A,B,C$ il en est de même de l'image du triangle par toute translation. Ce qui veut dire que montrer le résultat pour seulement les deux triangles particuliers suffit à montrer la propriété pour tout triangle de cette forme dans le plan. On pourrait exploiter les résultats obtenus dans le cas général vu auparavant et remplacer les données $e,f,g,h,i,j$ comme il faut pour obtenir le triplet $a,b,c$ recherché mais effectuons la démarche depuis le début sur l'exemple du triangle $A,B,C$ avec les coordonnées particulières. Le système à résoudre provenant des trois appartenances: \[ A \in \mathcal{P} \qquad B \in \mathcal{P} \qquad C \in \mathcal{P} \] donne pour $A $ : \[ c=0 \] Puis pour $B $ : \[ a\ell^2+b\ell+c=0 \] et pour $C $ : \[ a \frac{\ell^2}{4}+b\frac{\ell}{2}+c=\frac{\sqrt{3}}{2}\ell \] Sachant que $\ell$ est non nul et $c$ nul la seconde devient: \[ a\ell+b=0\] et la troisième: \[ a\ell+2b=2\sqrt{3} \]En soustrayant l'une à l'autre on trouve: \[ b=2\sqrt{3} \] On en déduit $a$ en remplaçant $b$ par sa valeur: \[ a = -\frac{2\sqrt{3}}{\ell} \] D'où le résultat pour le triangle pointant vers le haut: \[ f(x)=-\frac{2\sqrt{3}}{\ell} x(x-\ell) \]

Translation

Soit un triplet de points $DEF$ formant un triangle équilatéral de côté $\ell$ avec un côté horizontal et l'autre sommet pointant vers le haut. Alors il existe une translation $(\lambda\, ; \mu)$ tel que ce triangle $DEF$ soit l'image du triangle $ABC$ étudié précédemment. Il existe autant de paraboles passant par $ABC$ que par l'autre triangle $DEF$ car elles peuvent aussi être translatées. Puisque pour $ABC$ nous en avons trouver une seule, il en est de même pour $DEF$. Le chapitre 2 est consacré à ces transformations, on passe de la parabole $\mathcal{C}_f$ trouvée pour $ABC$ à celle liée à $DEF$ nommée $\mathcal{C}_g$ en posant: \[ g(x) = f(x-\lambda) +\mu \] Soit en reprenant l'expression de $f$: \[ g(x) = -\frac{2\sqrt{3}}{\ell} (x-\lambda)(x-\lambda-\ell) +\mu \] On trouve que le coefficient $a$ reste inchangée, il représente par son signe la direction de la parabole et par sa valeur absolue son "épaisseur" (l'écart entre les branches) et rien de cela n'a été modifié pendant la translation. Quant à $b$ il devient égal à: \[ \frac{2\sqrt{3}}{\ell} (2\lambda+\ell) \] et $c$: \[ c=-\frac{2\sqrt{3}\lambda}{\ell} (\lambda+\ell)+\mu \]

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Conclusion

Pour ce qui est du triangle pointant vers le bas, il suffit de reprendre la démarche avec comme fonction $\tilde{f}$ qui à $x$ associe l'opposé de $f(x)$: \[ \tilde{f}(x)=-f(x) \] Elle vaut donc: \[ f(x)=\frac{2\sqrt{3}}{\ell}x(x-\ell) \]

Question 5

Combinatoire

Cherchons le nombre de couples de points possibles. Il y a quatre points et on veut former des groupes de 2. Un résultat en combinatoire donne: \[ C^{2}_{4}=6 \] Sinon, pour retrouver ce résultat, il suffit de fabriquer les couples avec le point $A$: \[ (A,B) \quad (A,C) \quad (A,D) \] puis avec $B$ sachant que l'un d'entre eux est déjà mentionné: \[ (B,C) \quad (B,D) \] et enfin avec $C$ sachant que 2 ont été déjà formés: \[ (C,D) \] Inutile de chercher ceux avec $D$ ils sont tous cités. On en compte 6 au total. Puisque un couple contient nécessairement l'un d'entre eux on les a tous mis en évidence.

Nombre de cas

Le choix d'un couple impose le second, il n'y a donc que 3 paires de couples possibles: \[ \begin{array}{c} (A,B) \, (C,D) \\ (A,C) \, (B,D) \\ (A,D) \, (B,C) \end{array} \] Il reste à donner des exemples, en usant d'astuces on minimise les calculs. On note $f_1$ et $g_1$ les fonctions associées au cas $(A,B)$ et $(C,D)$. Puis $f_2$ et $g_2$ pour $(A,C)$ et $(B,D)$. Enfin $f_3$ et $g_3$ pour le dernier cas.

Cas 1

$A$ et $B$ sont associées aux racines de $f_1$ ce qui permet de générer un exemple: \[ f(x)=(x-1)(x-2) \] Quant à $g_1$ elle possède $C$ et $D$ qui peuvent être vus comme les images respectives de $A$ et $B$ par la translation de vecteur $(2\, ; 1)$. On peut alors prendre comme exemple une fonction dépendant de $f_1$ suivant cette translation: \[ g_1(x)=f_1(x-2)+1=(x-3)(x-4)+1 \] L'expression développée est alors la suivante: \[ \begin{aligned} f_1(x) & =x^2-3x+2 \\ g_1(x) & =x^2-7x+13 \end{aligned} \]

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Cas 2

On suppose que $\mathcal{P}$ passe par $A$ et $C$, et que $\mathcal{P}'$ passe par les deux autres points $B$ et $D$. Comme exemple de parabole pour $\mathcal{P}$ il vient que $A$ est racine et aucune autre n'est imposée. Prenons alors la fonction $(x \mapsto (x-1)^2)$. C'est une parabole qui a pour sommet $A$ mais ne passe pas par $C$. Pour régler cela, nous conservons un coefficient $a$: \[ f_2(x) = a(x-1)^2 \] Puis on écrit l'appartenance de $C$ à cette parabole: \[ 1=a(3-1)^2 \] D'où: $a=1/4$. On remarque un lien entre le couple de points $(A,C)$ et $(B,D)$. Ce deuxième est l'image du premier par la translation de vecteur horizontal $(1\, ; 0)$. On peut utiliser $f_2$ pour construire $g_2$: \[ g_2(x)=f_2(x-1) \] La parabole associée à $g$ répond au problème. Les expressions développées sont les suivantes: \[ \begin{aligned} f_2(x) & =\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \\ g_2(x) & =\frac{1}{4}x^2-x+1 \end{aligned} \]

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Cas 3

Il se traite comme le précédent sauf qu'il n'y a pas de translation pour s'économiser un calcul. Pour la couple $(A,D)$ on cherche une parabole de sommet $A$ passant par $D$. Son expression générale est: \[ f_3(x)=a(x-1)^2 \] L'appartenance de $D$ à la courbe entraîne: \[ 1=a(4-1)^2 \] c'est-à-dire: $a=1/9$. Le même raisonnement conduit à \[ g_3(x)=a(x-2)^2 \] puisqu'ici c'est $B$ qui donne la racine double 2. Puis l'appartenance de $C$ permet de déduire le coefficient: $a=1$. D'où: \[ \begin{aligned} f_3(x) & =\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{9}x+\frac{1}{9} \\ g_3(x) & =x^2-4x+4 \end{aligned} \]

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Solution

Question 1- Lien pour un polynôme de degré 4

Nous disposons d'une expression faisant intervenir les cinq coefficients $a_i$: \[ f(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \] La relation est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$. Nous savons que deux polynômes égaux le sont coefficient par coefficient. C'est-à-dire que si l'on dispose d'un polynôme: \[ g(x) = b_4 x^4 + b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0 \] et que par une méthode nous ayons trouver l'égalité: \[ \forall x \in \mathbb{R} \qquad f(x)=g(x) \] alors on aura l'égalité pour les coefficients de même degré: \[ \forall i \in \{1,2,3,4\} \quad a_i=b_i \] Cela peut sembler intuitif mais n'est pas forcément immédiat à montrer. La stratégie qui se sert de ce résultat consiste à écrire $f(x)$ avec les racines si cela est possible. Puis en comparant les deux expressions on tisse un lien entre racines et coefficients.

Divisibilité

Un résultat fondamental sur les polynômes est le suivant: Si $\rho$ est une racine de $f$ alors le polynôme $(x-\rho)$ divise $f(x)$. A la manière des nombres cela revient à écrire le résultat suggéré en indication à la question 1. En voici la preuve:

Si $\rho$ est une racine de $f$ alors: \[ f(x)= a_4 \rho^4 + a_3 \rho^3 + a_2 \rho^2 + a_1 \rho + a_0 \] On écrit alors sous sa forme développée la différence: $f(x)-f(\rho)$ en rassemblant les termes suivant leur coefficient $a_i$ les accompagnant: \[ \begin{aligned} \; & a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \\ & - a_4 \rho^4 - a_3 \rho^3 - a_2 \rho^2 - a_1 \rho - a_0 \\ & = a_4 (x^4-\rho^4) + a_3 (x^3-\rho^3) + a_2 (x^2-\rho^2) + a_1 (x-\rho) \end{aligned} \] Les quatre facteurs de la forme $(x^i-\rho^i)$ sont divisibles par $(x-\rho)$. En effet, pour le degré $(i=1)$ c'est immédiat, pour $(i=2)$ il suffit d'appliquer l'identité remarquable: \[ x^2-\rho^2=(x-\rho)(x+\rho) \] De même pour le degré 4 qui n'est qu'un second degré (voir $x^4$ comme le carré de $x^2$): \[ x^4-\rho^4=(x^2-\rho^2)(x^2+\rho^2) \] Pour le troisième degré, la formule est aussi une identité remarquable, moins connue mais indispensable et simple à retrouver: \[ x^3-\rho^3=(x-\rho)(x^2+x\rho+\rho^2) \] on dispose d'une formule générale, pour tout degré $n$: \[ a^n-b^n =(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}) \] L'exemple présenté considère $n$ assez grand, cela pour montrer les modifications dans les degrés. Le membre de droite est un produit dont le second facteur est une somme. Chaque terme est de la forme $(a^pb^q)$ où les entiers $p$ et $q$ ont pour somme $(n-1)$. De plus on les a rangé de façon à voir que toutes les possibilités sont présentes. En partant de $(p=n-1)$ et $(q=0)$ on retire une unité à $p$ pour la donner à $q$ et ce jusqu'à ce que l'un soit nul et l'autre égal à $(n-1)$. Ceci est la manière de le retenir, pour le prouver il suffit de développer le produit \[ (a-b)(a^{n-1}+\ldots+b^{n-1} \] en distribuant suivant $a$ et suivant $b$, on verra que tous les termes se téléscopent sauf deux nombres, le premier obtenu dans l'opération et le dernier: \[ a\times a^{n-1} + \ldots + b \times b^{n-1} \] Le mieux pour s'en convaincre et s'initier à cette famille d'identité remarquable est d'appliquer la formule à des exemples.

Factorisation

On vient de montrer que si $\rho_1$ est une racine de $f(x)$ alors ce polynôme s'écrit: \[ f(x)=(x-\rho_1) g(x) \] où $g(x)$ est un polynôme. On peut appliquer cette relation à tout réel, en particulier à $\rho_2$: \[ f(\rho_2)=(\rho_2-\rho_1) g(\rho_2) \] On sait que $f(\rho_2)$ est nul par hypothèse et comme les racines sont distinctes on apprend que $\rho_2$ est aussi racine de $g$. On applique à $g(x)$ le résultat trouvé pour $f(x)$: il est divisible par $(x-\rho_2)$. Puis de même avec les deux autres racines. Au final: \[ f(x)=(x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)(x-\rho_4)\times h(x) \] La fonction $h$ est un polynôme, or le degré de $f$ est 4 et de même pour le produit des $(x-\rho_i)$ donc $h$ est constante. En développant pour trouver le terme de degré 4 à droite, il vient que: \[ a_4 x^4 = x^4 \times h(x) \] On en déduit que $h$ est la fonction constante égale à $a_4$. D'où la formule: \[ f(x) = a_4(x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)(x-\rho_4) \]

Dévelopement et identification

Reste à développer la formule trouvée. Plutôt que de mener un calcul laborieux, observons que le résultat final sera: \[ f(x) = [\ldots] x^4+[\ldots] x^3+[\ldots] x^2+[\ldots] x+[\ldots] \] Il y a cinq coefficients à trouver. Commençons par une petite simplification et calculons $f(x)/a_4$ pour éviter de garder $a_4$ dans les calculs. Reste quatre facteurs, de la même forme, soit une différence entre la variable $x$ et une racine de $f$:

• Pour obtenir les termes de degré 4 il faut multiplier les quatre occurences de la variable $x$. Le coefficient de degré 4 vaut 1.
• Pour le degré 3, on doit multiplier trois occurences de la variable et prendre la racine dans le facteur encore non exploité. Il y a quatre façons de faire: \[ \begin{array}{cccc}  -\rho_1 &\, x &\, x &\, x \\  x &\, -\rho_2 &\, x &\, x \\  x &\, x &\, -\rho_3 &\, x \\ x &\, x &\, x &\, -\rho_4 \end{array} \] Le coefficient de degré 3 vaut: $-(\rho_1+\rho_2+\rho_3+\rho_4) $
• Pour le degré 2, on choisit deux occurrences de la variable que l'on complète par deux racines. Il y a autant de termes possibles que de choix de couples à former parmi les quatre racines. Soit 6 termes formant la somme: \[ \rho_1\rho_2+\rho_1\rho_3+\rho_1\rho_4+\rho_2\rho_3+\rho_2\rho_4+\rho_3\rho_4 \]
• Pour le degré 1, on ne prend qu'une occurrence de la variable, reste à choisir 3 racines. On commence par négliger la dernière, puis la troisième, puis la seconde et enfin la première. Il y a quatre combinaisons à former. Le coefficient de degré 1 vaut: \[ -(\rho_1\rho_2\rho_3+\rho_1\rho_2\rho_4+\rho_1\rho_3\rho_4+\rho_2\rho_3\rho_4) \]
• La constante de déduit en ne prenant que les racines: \[ \rho_1\rho_2\rho_3\rho_4 \]

Chacun des coefficients ci-dessus correspond à $a_i/a_4$ pour le degré $i$ associé. Il n'y a donc pas de lien direct entre $a_4$ et les racines, sinon $a_3/a_4$ correspond à l'opposé de la somme de toutes les racines. Le rapport $a_2/a_4$ vaut la somme de tous les doubles produits que l'on peut former avec les racines. Puis le rapport $a_1/a_4$ est l'opposé de la somme de tous les triples produits. Et enfin $a_0/a_4$ est le produit de toutes les racines.

Question 2 - Cas particuliers

Il suffit d'écrire toutes les racines en leur donnant le même nom $\rho$. On obtient: \[ \left\{ \begin{array}{rcr} a_3 & = &-4 \rho a_4 \\ a_2 & = & 6\rho^2 a_4 \\ a_1 & = & -4 \rho^3 a_4 \\ a_0 & = & \rho^4 \end{array} \right. \] Nous exploitons le calcul précédent, sinon on reconnaît la forme d'un binôme: \[ f(x)=a_4(x-\rho)^4 \] et on applique la formule en utilisant les coefficients binomiaux.

Si $(\rho_1\rho_3=\rho_2\rho_4)$ alors il existe une symétrie entre les coefficients: \[ a_0= (\rho_1\rho_3)^2 a_4 \] De même: \[ a_1/a_4= -\rho_1\rho_2\rho_3-\rho_1^2\rho_3-\rho_1\rho_3\rho_4-\rho_1\rho_3^2\] On trouve: \[ a_1=\rho_1\rho_3 a_3 \] Il n'y a pas de résultat particulier pour $a_2$, on peut au mieux écrire: \[ a_2/a_4 = 2\rho_1\rho_3+(\rho_1+\rho_3)(\rho_2+\rho_4) \]

Question 3 - Les 4 racines sont des entiers consécutifs

On suppose que $\rho_1=\rho$. Puis que: \[ \rho_4=\rho_3+1=\rho_2+2=\rho_1+3 \] On n'a rien de particulier à affirmer sur $a_4$. Pour $a_3$ on trouve: \[ a_3/a_4=-(\rho+\rho+1+\rho+2+\rho+3)=-2(2\rho+3) \] Puis: \[ \begin{aligned} a_2/a_4 & = \rho(\rho+1) + \rho(\rho+2) + \rho(\rho+3) \\ & + (\rho+1)(\rho+2) + (\rho+1)(\rho+3) \\ & + (\rho+2)(\rho+3) \end{aligned} \] En développant on trouve: \[ a_2/a_4 = 6 \rho^2+18\rho+11 \] Puis pour les calculs suivants il est utile d'exploiter ceux déjà effectués: \[ \begin{aligned} -a_1/a_4 = & \rho(\rho+1)(\rho+2) \\ & + \rho(\rho+1)(\rho+3) \\ & + \rho(\rho+2)(\rho+3) \\ & + (\rho+1)(\rho+2)(\rho+3) \end{aligned} \] On trouve: \[ -a_1/a_4= 4\rho^3+18\rho^2+22\rho+6 \] Quant au dernier: \[ a_0/a_4= \rho(\rho+1)(\rho+2)(\rho+3)=\rho^4+6\rho^3+11\rho^2+6\rho \]

Question 4 - Signe des coefficients

Le fait que $a_4$ soit égal à 1 n'a pas d'importance, seul son signe s'avère intéressant pour la question. Puisque: \[ a_4>0 \qquad \forall i \quad \rho_i>0 \] on a le résultat immédiat: \[ a_0 > 0 \quad a_1 < 0 \quad a_2 > 0 \quad a_3 < 0 \]

Question 5 - Polynôme du degré 5

Le raisonnement par combinatoire s'avère encore plus efficace ici pour éviter de longs calculs. On veut développer: \[ f(x)/a_5 = (x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)(x-\rho_4)(x-\rho_5) \] Le seul terme de degré 5 sera donné par la combinaison: \[ x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \] Puis le degré 4 sera composé de 4 occurences de $x$ et d'une racine, il y a 5 combinaisons, au final cela donne l'opposé de la somme des racines multipliant $x^4$: \[ -\rho_1-\ldots-rho_5 \] Puis les doubles produits accompagnent $x^3$: \[ \rho_1\rho_2+\ldots+\rho_4\rho_5 \] Il y en a $\binom{5}{2}$ pour utiliser les coefficients binomiaux, soit le nombre de couples dans un ensemble à 5 éléments: 10. Puis l'opposé des triples produits pour le degré 2, et il y en a autant que de triplets possibles dans un ensemble à 5 éléments, or chaque fois que l'on constitue un triplet, ce qui reste est un couple. Il y a autant de couples différents que de triplets, d'où les 10 possibilités là aussi: \[ -\rho_1\rho_2\rho_3-\ldots-\rho_3\rho_4\rho_5 \] Le degré 1 est constitué des quadruples produits, il y en a autant que de singletons dans un ensemble à 5 éléments, là encore c'est une symétrie dans ce calcul venant de la complémentarité des groupes de 4 éléments avec ceux à 1 élément. Soit 5 possibilités, une pour chaque racine négligée: \[ \rho_1\rho_2\rho_3\rho_4+\ldots+\rho_2\rho_3\rho_4\rho_5 \] Enfin le terme constant égal au produit des cinq nombres $(-\rho_i)$ d'où le résultat: \[ -\rho_1\rho_2\rho_3\rho_4\rho_5 \]