Angles et distances (A1-A4)

Solution

Question A1 - Calcul du vecteur $\overrightarrow{AM_n}$ et de sa norme.

L'abscisse du vecteur vaut : \[ x_{M_n} - x_A \] et son ordonnée est \[ y_{M_n}-y_A \] On a le résultat: \[ \overrightarrow{AM_n} \; \begin{pmatrix} n-7 \\ \frac{2n}{3}+2 \end{pmatrix} \] Le carré de sa norme est donnée par la formule : \[ AM_n^2 = (n-7)^2 + \left( \frac{2n}{3} +2 \right) ^2 \] Ce qui donne: \[ AM_n^2 = 13 \, \left( \frac{n}{3} \right)^2 - 34 \, \left( \frac{n}{3} \right) + 53 \]

Question A2 - Tableau de valeurs

L'idéal si le calcul se fait à la main est d'écrire $AM_n^2$ uniquement avec des entiers en sortant le dénominateur commun : \[ AM_n^2 = \frac{1}{9} (13n^2-102n+477) \] Le tableau est le suivant : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \\ AM_n^2 & 53 & \frac{388}{9} & \frac{325}{3} & 32 & \frac{277}{5} & \frac{252}{9} & 37 \\ \hline \end{array} \] Il est utile de vérifier les valeurs approchées, cela permet de prendre conscience d'une décroissance suivi d'une croissance des valeurs. La suite des questions consiste à mettre en évidence l'endroit du changement de direction et le lien entre ces longueurs. De plus, il faut toujours conservé à l'esprit que le dessin en préambule doit être complété au fur et à mesure, cela permet de garder un point de vue géométrique, le plus naturel qui soit.

Question A3 - Suite liée à la norme

La suite $u$ représente un dixième du carré de la longueur $AM$ . D'après la question 2, on remarque qu'il s'agit de la restriction aux entiers de la fonction: \[ x \mapsto \frac{1}{90} (13 x^2 - 102 x + 477) \] Le graphe de la fonction est le suivant:

Pour ce qui est de sa restriction aux entiers, on les représente sous forme de bâtonnets:

Question A4 - Propriétés de la suite

La différence vaut: \[ u_{n+1}-u_{n} = \frac{1}{90} (26n-89) \] Elle est de type affine et assez proche de l'expression $(3n-1)$

(a) Croissance

C'est un résultat qu'on lit sur la différence. Soit $n$ un entier, on a l'équivalence: \[ u_{n+1}-u_n \geq 0  \iff n \geq \frac{89}{26} \] Or la fraction trouvée vaut environ $3.4$ et le premier entier à être plus grand que ce nombre est 4. L'équivalence s'écrit alors en remplaçant cette fraction par 4. On en déduit que $u$ est croissante si et seulement si $n$ est plus grand que 4.

(b) Limite et minorant

Le calcul de la limite d'un polynôme consiste à vérifier la limite du terme de plus haut degré. Pour en arriver à une telle propriété on peut écrire  : \[ u_n = \frac{n^2}{90} \left( 13 + \frac{102}{n} + \frac{477}{n^2} \right) \] On commence par analyser l'expression, il s'agit d'un produit. Le premier facteur $\displaystyle \frac{n^2}{90}$ a pour limite $+ \infty$ . Quant au second, il s'agit d'une somme. On calcule la limite de ses trois termes: \[ \lim 13 = 13 \qquad \lim \frac{102}{n} = 0 \qquad \lim \frac{477}{n^2} = 0 \] On additionne les 3 limites car elles sont toutes finies, on trouve 13. Et on multiplie avec la première. Il s'agit d'une forme: \[ + \infty \times 13 \] On multiplie l'infini positif par un nombre strictement positif, cela donne: \[ \lim u = + \infty \] On trouvait directement le résultat en observant le terme de plus haut degré: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{13}{90} n^2 = +\infty \] Puisque $u$ est croissante à partir de $(n=4)$ alors: \[ \forall n \geq 4 \quad u_n \geq u_4 \] Tous les termes sont plus grands que le précédent, et le plus petit est le premier à partir duquel il y a croissance, c'est-à-dire $u_4$ . Ainsi la famille infinie: \[ \{u_4\, ; u_5\, ; u_6 \,; \ldots \} \]  admet un minorant qui est $u_4$ . Il reste les quatre termes: \[ \{ u_0\, ; u_1\, ; u_2\, ; u_3 \} \] Puisqu'ils sont en nombre fini, il est inutile de les étudier, la famille est nécessairement minorée. Il y a toujours un minimum pour un nombre fini de termes. En particulier, on remarque : \[ u_{n+1}-u_n <0 \iff 0 \leq n \leq 3 \] La suite $u$ est strictement décroissante sur les quatre premiers termes. Le minorant sur cette partie est donc $u_3$ . Une comparaison indique : \[ u_4-u_3=\frac{1}{90} (26\times 3-90) < 0 \] Le minimum de la suite est $u_4$

(c) Suite à indices négatifs

Le terme $u_n$ est lié au point $M_n$ qui est le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ associé à l'abscisse $n$ . Rien n'empêche de définir le point $M_n$ et donc le terme $u_n$ aux abscisses entières négatives, et même aux rationnels, ou aux réels. Ce qui dans ce dernier cas revient juste à écrire: $u_x=f(x)$ . On développe $u_{7-n}$ et on trouve: \[ \forall n \in \mathbb{Z} \quad u{7-n} -u_n = 22n-77 \] Si l'on rajoute la condition $(n<4)$ cette quantité est strictement négative. D'où: \[ \forall n<4 \quad u_{7-n} < u_n \] Cette inégalité se traduit par le dessin suivant:

De même : \[ u_{8-n} - u_n = -4n+16 \] qui est strictement positive lorsque $(n<4)$ et dont la représentation géométrique est la suivante :

Fin de la question 4