Motifs géométriques (Partie B)
Motifs géométriques (Partie B) TekMathEnoncé à retrouver dans le livre.
Erratum : Effacer la question 2(d)
Indications
- Commencer par faire un dessin pour les premiers termes avant tout calcul. L'aire d'un disque est connue, donc $a_n$ se calcule facilement. Ensuite $a'_n$ est une simple soustraction. Interpréter géométriquement $a'_n$ ainsi que la somme à calculer pour éviter des calculs inutiles. L'étude des suites consiste à exposer leurs variations, leur limite. Les rapports sont $a_n/a'_n$ et son inverse.
- (a) Bien repérer les points que l'on veut étudier. Pour calculer l'aire on peut profiter d'une symétrie du problème, en observant qu'un carré est inclus dans le disque.
(b) La question est difficile. Une astuce consiste consiste à écrire l'aire cherchée comme différence entre l'aire d'un secteur du disque et l'aire d'un triangle. Pour le triangle, le calcul repose sur la recherche des coordonnées du point d'intersection entre l'axe des abscisses et le cercle. Pour le secteur, il faudra trouver l'angle sous la forme d'un arc tangente. La tangente d'un angle est le rapport du côté opposé sur le côté adjacent d'un triangle rectangle. L'arc tangente est la fonction réciproque de la tangente. Elle donne l'angle à partir de la valeur de la tangente.
(c) Commencer par montrer qu'on peut résoudre le problème en effectuant une rotation qui permet d'envoyer la droite $d_m$ sur l'axe des abscisses. Pour profiter de cette simplification on verra au lieu d'une rotation un changement de repère avec la droite $d_m$ comme nouvel axe des abscisses. Résoudre le problème alors avec la famille de cercles vue en question 1, qu'on coupe avec la droite $d_s$ où $s$ est un réel positif.Découper l'aire à chercher en deux : un triangle et un secteur. Il suffit pour finir de remplacer $s$ par une expression fonction de $m$ et $r$ .
(d) Effacer la question.
Solution
Question 1 - Famille de disques emboîtés.
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Notons $D_n$ le nom du disque de diamètre $A_0A_n$ , ce dernier vaut $n$ ce qui donne pour l'aire du disque : \[ a_n = \pi \frac{n^2}{4} \] La différence entre termes successifs est alors après simplification la suite des multiples impairs de $\pi /4$ : \[ a'_n = \frac{\pi}{4} (2n+1) \] Le nombre $a'_n$ est l'aire du disque $D_{n+1}$ auquel on a retiré celle de $D_n$ , et ce disque est inclus entièrement dans le plus grand. Ce qui signifie que la somme en question n'est rien d'autre que l'aire du plus grand des disques $D_{n+1}$ . Cela se retrouve en posant l'expression : \[ \sum_{k=0}^n a'_n = (a_1-a_0) + (a_2-a_1) + \ldots + (a_{n+1}-a_n) \] Les termes s'éliminent jusqu'à ne laisser que $(a_{n+1}-a_0)$ d'où : \[ \sum_{k=0}^n a'_n = a_{n+1} \] On donne ci-après les valeurs de $a_n$ pour les indices de 0 à 7 : \[ \{ 0\, ; \pi/4\, ; \pi\, ; 9\pi/4\, ; 4\pi\, ; 25\pi/4\, ; 9\pi\, ; 49\pi/4 \} \] Et les valeurs $a'_n$ qui progressent moins vite : \[ \{ 0\, ; 3\pi/4\, ; 5\pi/4\, ; 7\pi/4\, ; 9\pi/4\, ; 11\pi/4\, ; 13\pi/4\, ; 15\pi/4 \} \] La différence $(a_{n+1}-a_n)$ est strictement positive, et ce quelque soit l'entier $n$ , on en déduit que la suite $a$ est strictement croissante. De plus son expression montre que sa limite est $+\infty$ . On a trouvé que $a'$ est la suite des multiples impairs de $\pi/4$ . Donc elle est aussi strictement croissante et tend vers $+\infty$ . Enfin le premier rapport : \[ \frac{a_n}{a'_n} = \frac{n^2}{2n+1} = \frac{n}{2+\displaystyle \frac{1}{n}} \] tend vers $+\infty$ . En effet le numérateur tend vers cette limite et le dénominateur vers 2. Pour l'autre rapport on trouve : \[ \frac{a'_n}{a_n} = \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \] Chacune des fractions tend vers 0, de même pour leur somme. Ceci signifie que l'aire $a$ tend vers l'infini plus vite que l'aire $a'$ . Mais pas seulement car elle pourrait finir par valoir le double, ici il s'agit d'une différence telle qu'à partir d'un certain rang l'aire $a'_n$ est négligeable devant $a_n$ .
Question 2 (a) - Les points $A_n$ sont situés sur une autre droite.
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Le disque $D_n$ a toujours le même diamètre. Son aire vaut toujours $\pi n^2/4$ . On veut connaître l'aire de la partie du disque $D_n$ située au dessus de l'axe des abscisses. Pour cela on trace le carré inscrit dans $D_n$ dont $[OA]$ est un côté. La droite $(y=-x)$ donne un diamètre au disque, la symétrie du problème est telle que le carré dessiné sépare 4 régions d'aires égales dans $D_n$ . Or ce carré est de diagonale $n$ , donc de côté $n/\sqrt{2}$ et son aire s'en déduit : $n^2/2$ . L'aire $a_n$ est le quart de la différence entre l'aire de $D_n$ et celle du carré : \[ a_n = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi n^2}{4} - \frac{n^2}{2} \right) = \frac{\pi-2}{16} n^2 \] Pour $a'$ rien ne change, c'est la suite des multiples impairs mais pour un autre nombre : \[ a'_n = \frac{\pi-2}{16} (2n+1) \] La somme $\Sigma a'_n$ reste inchangée, elle vaut toujours $a_{n+1}$ . Les suites ont le même comportement qu'à la question 1.
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Question 2 (b) - La droite possède un coefficient directeur inconnu.
On considère le disque $D_n$ et on nomme son centre $C$ et $A$ sera l'intersection entre l'axe des abscisses et le cercle. On introduit l'angle $\alpha$ formé par $A, C, O$ et l'angle $\beta$ d'après le dessin. L'objectif est de calculer l'aire de $D_n$ situé au dessus de l'axe. Pour cela on forme la différence entre l'aire du secteur de disque $OCA$ et l'aire du triangle $OCA$ .
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Aire du secteur
On utilise une relation de proportionnalité : l'aire du secteur vaut celle du disque multipliée par le rapport $(\alpha/2\pi)$ . Il reste à trouver $\alpha$ . Or le triangle $OCA$ est isocèle en $A$ donc on a la relation d'angle : \[ \alpha + 2 \beta = \pi \] Il reste à trouver $\beta$ et pour se faire on considère la droite $d_m$ dont le coefficient directeur est $-m$ . Cela signifie que $\beta$ est l'angle d'un triangle rectangle de côté adjacent égal à 1 en horizontale, d'un côté opposé égal à $m$ en verticale. Sa tangente vaut $m$ et donc $\beta$ vaut $ \arctan (m) $ que l'on conserve tel quel. Le résultat est donc : \[ \frac{\alpha}{2\pi} \times \frac{\pi n^2}{4} = \left( \frac{\pi}{2} - \arctan (m) \right) \frac{n^2}{4} \]
Aire du triangle
Il est possible ici de connaître la valeur de l'aire du triangle. Pour cela on part de la formule \[ \frac{1}{2} B \times H \] avec la base et la hauteur à calculer. La base vaut $OA$ et la hauteur s'en déduit avec le théorème de Pythagore : \[ H = \sqrt{ OC^2 - \left( \frac{1}{2} OA \right) ^2 } \] Donc tout le calcul repose sur la connaissance de la longueur $OA$ . Il nous faut les coordonnées du point $A$ . Il a déjà pour ordonnée 0 puisqu'il fait partie de l'axe des abscisses. De plus il appartient au cercle de centre $C$ et de rayon $n/2$ . L'équation d'un cercle est : \[ (x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2 \] où $x_C$ et $y_C$ sont les coordonnées du centre et $r$ le rayon. En appliquant cela à notre situation on trouve que l'abscisse $x_A$ vérifie : \[ (x_A-x_C)^2 = r^2 - y_C^2 \] car $y_A$ est nulle. Le rayon vaut $n/2$ et il reste à trouver les coordonnées de $C$ . Elles vérifient l'équation de la droite $d_m$ : \[ y_C = m x_C \] On sait aussi que $OC$ vaut $n/2$ car c'est le rayon, donc : \[ \sqrt{x_C^2+y_C^2} =\frac{n}{2} \] On trouve à l'aide de ces deux équations : \[ x_C = \frac{n}{2\sqrt{1+m^2}} \quad y_C = \frac{nm}{2\sqrt{1+m^2}} \] Ce qui permet de trouver $x_A$ , après extraction des racines carrées : \[ x_A = x_C \pm \sqrt{r^2-y_C^2} \] puis en substituant les valeurs trouvées : \[ x_A = \frac{n}{2\sqrt{1+m^2}} \pm \sqrt{ \frac{n^2}{4} - \frac{nm}{2\sqrt{1+m^2}} } \] qui donne après simplification deux solutions. L'une étant 0 car le point $O$ vérifie les mêmes équations et l'autre est la valeur cherchée : \[ x_A = \frac{n}{\sqrt{1+m^2}} \] L'abscisse $x_A$ correspond à la longueur $OA$ , la base du triangle $OAC$ . L'aire du triangle est alors, en reprenant la formule pour $H$ : \[ \frac{1}{2} \times B \times H = \frac{1}{2} \times \frac{n}{\sqrt{1+m^2}} \times \sqrt{ \frac{n^2}{4} - \frac{1}{4} \times \frac{n^2}{1+m^2} } \] On trouve : \[ \frac{n^2 m}{4(1+m^2)} \]
Résultat
On trouve alors par soustraction : \[ a_n = \frac{n^2}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan (m) - \frac{m}{m^2+1} \right) \] Le nombre à l'intérieur de la parenthèse est fixe, il ne dépend que du coefficient $m$ . La suite $a$ est de même nature que celles vues avant, elle est proportionnelle au carré de l'entier $n$ . De même pour $a'$ . On garde les mêmes résultats sur les variations et rapports.
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Question 2 (c) - Disque coupé par deux droites.
Calculer dans un repère plus adapté.
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On considère $\vec{u}$ le vecteur directeur de $d_m$ et $\vec{v}$ celui de $d_r$ . On construit $\vec{w}$ tel qu'il forme avec $\vec{u}$ un repère orthogonal. Les coordonnées sont les suivantes : \[ \vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ -m \end{pmatrix} \quad \vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ -r \end{pmatrix} \quad \vec{w} \begin{pmatrix} 1 \\ 1/m \end{pmatrix} \] On sait exprimer $\vec{u}$ et $\vec{w}$ en fonction de $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ . En inversant le système : \[ \begin{cases} \vec{u} = \vec{\imath} - m \vec{\jmath} \\ \\ \vec{w} = \vec{\imath} + \frac{1}{m} \vec{\jmath} \end{cases} \] on trouve : \[ \begin{cases} \vec{\imath} = \frac{1}{1+m^2} (\vec{u}+m^2 \vec{w}) \\ \\ \vec{\jmath} = \frac{m}{1+m^2} (\vec{w}-\vec{u}) \end{cases} \] On calcule le vecteur $\vec{v}$ dans la nouvelle base sachant qu'on avait : \[ \vec{v} = \vec{\imath} - r \vec{\jmath} \] En remplaçant les vecteurs de l'ancienne base par leur expression suivant la nouvelle : \[ \vec{v} = \frac{1+mr}{1+m^2} \vec{u} + \frac{m^2-mr}{1+m^2} \vec{w} \] Il faut prendre garde, car les nouveaux vecteurs ne sont pas de norme 1, le calcul donne : \[ u = \sqrt{1+m^2} \quad w = \frac{\sqrt{1+m^2}}{m} \] On introduit $\tilde{u}$ et $\tilde{w}$ qui sont les vecteurs unitaires de la nouvelle base. Le résultat est alors : \[ \vec{v} = \frac{1+mr}{\sqrt{1+m^2}} \tilde{u} + \frac{m-r}{\sqrt{1+m^2}} \tilde{w} \] La droite $d_r$ est toujours linéaire dans le nouveau repère, mais son coefficient directeur change. Un produit en croix donne : \[ \frac{m-r}{1+mr} \]
Méthode
La démarche consiste à se placer dans ce nouveau repère, en faisant un dessin on comprend qu'on peut conserver le repère de départ et étudier la droite $d_s$ . On calcule alors l'aire du disque comprise entre $d_s$ et l'axe des abscisses. Une fois le résultat obtenu on substitue à $s$ la valeur $-(m-r)/(1+mr)$ . L'aire recherchée est constituée d'un triangle et d'un secteur de disque. On nomme $C$ le centre du disque $D_n$ et $R$ l'intersection entre le cercle et la droite $d_s$ . Avec les coordonnées de $R$ on pourra calculer la base $OR$ et la hauteur de la même façon que dans la question 2(b) . Quant au secteur il faudra à nouveau se contenter d'un arc tangente.
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Calcul des coordonnées de $R$ . Aire du triangle.
$R$ appartient à la droite $d_s$ : \[ y_R = -s x_R \] $R$ appartient au cercle de centre $C(n/2\, ; 0)$ et de rayon $n/2$ : \[ \left( x_R-\frac{n}{2} \right) ^2 + y_R^2 = \frac{n^2}{4} \] Ce qui donne : \[ x_R = \frac{n}{1+s^2} \quad y_R = -\frac{ns}{1+s^2} \] On en déduit la base : \[ OR = \sqrt{ x_R^2+y_R^2} = \frac{n}{\sqrt{1+s^2}} \] Puis la hauteur en se servant du rayon comme hypoténuse et de la moitié de la base comme côté : \[ \sqrt{ \frac{n^2}{4} - \frac{n^2}{4(1+s^2)} } = \frac {ns}{2\sqrt{1+s^2}} \] D'où l'aire du triangle $OCR$ : \[ \frac{n^2s}{4(1+s^2)} \]
Aire du secteur.
On note $\alpha$ l'angle du secteur. Le théorème de l'angle au centre indique qu'il vaut le double de $\beta$ l'angle à partir de $O$ . Et ce dernier est formé par la droite de coefficient $-s$ , donc sa tangente vaut $s$. On trouve comme aire : \[ \frac{n^2}{4} \arctan (s) \]
Résultat
Tout d'abord en fonction de $s$ le coefficient $a_n$ s'écrit : \[ a_n = \frac{n^2}{4} \left( \frac{s}{1+s^2} + \arctan (s) \right) \] Il faut ensuite remplacer $s$ par $(r-m)/(1+mr)$ mais ici on n'aura pas plus de simplification. A noter la formule : \[ \arctan (r) - \arctan (m) = \arctan \left( \frac{r-m}{1+mr} \right) \]