Exercice 1.8 - Calcul du discriminant

Solution

Question 1 - Deux solutions distinctes.

\[ \Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-3) = 40 \]

Il y a deux solutions distinctes d'après la propriété énoncée dans le cours. Comme d'habitude notons $\beta$ la plus petite: \[ \beta = \frac{-2-\sqrt{40}}{2\times 3} = - \frac{1+\sqrt{10}}{3} \] La plus grande notée $\alpha$ se déduit par une modification du signe devant la racine carrée du discriminant sur l'expression de $\beta $, comme nous n'avons opéré qu'une simplification d'un facteur $2$, le résultat se lit sur la dernière expression trouvée: \[ \alpha =  \frac{-1+\sqrt{10}}{3} \]

Remarque

L'équation $\mathcal{E}$ étant l'égalité d'une expression avec zéro, nous pouvons diviser par n'importe quel nombre non nul, cela ne change rien au résultat. Par exemple si nous divisons par $3$ il vient que $\mathcal{E}$ est équivalente à l'équation: \[ x^2+\frac{2}{3}x-1=0 \] La méthode du binôme incomplet s'applique sans difficulté mais nous ne la préconisons pas une fois que le discriminant et les formules des racines qui en découlent sont connues.  D'ailleurs nous pouvons aussi appliquer cette dernière à la nouvelle équation, cela donne un disciminant $9$ fois plus petit.

Propriété: Multiplier une équation du second degré par un nombre $m$ revient à multiplier son discriminant par le carré de $m$.

Pour les autres questions la démarche est analogue, seule la question 4 demande un traitement plus poussé.

Question 2 - Aucune solution.

Cela vaut la peine ici de simplifier l'expression et de résoudre: $x^2+x+1=0$. On a: \[ \Delta = 1-4\times 1\times 1=-3 \] Il n'y a pas de solution à l'équation.

Question 3 - Nombre d'or.

\[ \Delta = 1 - 4\times (-1) \times 1 = 5 \] D'où les deux solutions: $\displaystyle -\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Notons que les deux racines vérifient: \[ x(x+1)=1 \] Ainsi inverser $x$ revient à lui ajouter $(x+1)$ et l'étude de $\mathcal{E}$ nous apprend qu'il n'y a que deux réels qui vérifient une telle propriété. On parle de nombres d'or.

Question 4 - Etude de cas.

L'équation n'a de sens que si $(a\geq 0)$ car ce nombre est mis en racine carrée. Calculons le discriminant dans un premier temps: \[ \Delta = a-4a^2 = a(1-4a) \] L'objectif est à présent d'effectuer une disjonction des cas suivant le signe de $\Delta$. Pour cela il faut déjà connaître son signe. Voyons le discriminant comme une fonction de $a$. Sa courbe est une parabole et admet comme racine $0$ et &frac14. Le coefficient du second degré vaut $-4$ et son signe indique des branches dirigées vers le bas. Ainsi: \[ \Delta>0 \iff a \in ]0\, ; \frac{1}{4} [$ et négatif en dehors.

Cas $(a \in \{0\, ; 1/4 \} )$

Si $a$ vaut $0$ ou &frac14 l'expression $f(x)$ a un sens et pour $(a=0)$ on doit d'abord en conclure que $f(x)=1$ et donc que $\mathcal{E}$ n'a pas de solution. L'erreur aurait été d'observer la conséquence sur $\Delta$ qui devient nul. Notre conclusion serait alors l'existence d'une unique solution et il aurait fallu diviser $\sqrt{a}$ par $a$. Ce qui n'a pas de sens. On peut formuler une propriété plus générale:

Propriété: Soit l'équation: $ax^2+bx+c=0$. Le calcul du discriminant n'a pas de sens si $a$ est nul.

Si $\displaystyle a=\frac{1}{4}$ alors il y a une seule solution et elle vaut: \[ - \frac { \left( -\sqrt{a} \right) } { 2a^2 } = \frac {1}{2a\sqrt{a}} \]

Cas $(0<a<1/4)$

Le discriminant est strictement positif. L'équation admet deux solutions distinctes: \[ \frac { \sqrt{a} \pm \sqrt{a(1-4a)} } { 2a^2 } \] Simplifions par $\sqrt{a}$: \[ \frac { 1 \pm \sqrt{1-4a} } {2a\sqrt{a}} \]

Cas $(a>1/4)$

Le discriminant est strictement négatif et donc il n'y a pas de racine pour $\mathcal{E}$.

Question 5 - Une seule solution

\[ \Delta = 6^2-4\times 9 = 0 \] L'unique solution vaut: \[ -\frac{6}{2\times 9} = -\frac{1}{3} \] Savoir mener son calcul en maîtrisant les règles et les formules est une bonne chose. Vérifier son résultat en prenant le chemin inverse s'avère utile et prudent: \[ f \left( -\frac{1}{3} \right) = 9 \times \frac{1}{3^2} + 6 \times \left( \frac{-1}{3} \right) + 1 = 1-2+1=0 \] Notons qu'une équation de discriminant nul donne une forme canonique du type: $(x+B)^2+M$ avec la forme du binôme incomplet où: $M=0$. Et $-B$ est l'unique solution à l'équation: $(x+B)^2=0$.

Question 6 - Discriminant égal à 1

\[ \Delta = 21 - 4 \times (-5) \times (-1) = 21 - 20 = 1 \] On applique la formule pour connaître les deux solutions: \[ \frac{ -\sqrt{21} \pm 1 }{2 \times (-5)} \] Soit après simplification: \[ \frac{ \sqrt{21} \pm 1}{10} \]