Questions 4 et 5
Question 4 (suite)
La preuve proposée à la question 4 est plus générale, elle permet d'en conclure l'existence et l'unicité d'une parabole passant par $A,B,C$ lorsque ces trois points forment un triangle équilatéral avec un côté parallèle à l'axe des abscisses. Cette configuration interdit l'alignement vertical pour deux de ces points. Allons plus loin en précisant les coefficients puisque les données $e,f,g,h,i,j$ ont une contrainte supplémentaire: les trois abscisses sont telles que l'une est milieu des deux autres.
En effet, supposons que $(AB)$ soit horizontale. Alors la hauteur issue de $C$ est verticale, or elle correspond aussi à la médiane, ainsi le milieu de $[AB]$ possède la même abscisse que $C$. De plus l'ordonnée de $C$ est distant de l'ordonnée commune de $A$ et $B$ d'une distance égale à $ \sqrt{3}\ell/2 $ :
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Reste à choisir le cas où $C$ est au dessus ou en dessous. Pour ce qui est de l'équation, il y a deux types donc de paraboles, celles avec les branches dirigées vers le haut et celles vers le bas. Nous procédons en remarquant que tout triangle équilatéral de côté $\ell$ et avec un côté horizontal est l'image de celui formé par les trois points \[ A (0\, ; 0) \qquad B (\ell \, ; 0) \qquad C \left( \frac{\ell}{2} \, ; \frac{\sqrt{3}\ell}{2} \right)\] par une translation dans le cas d'un triangle dont l'autre sommet pointe vers le haut. S'il pointe vers le bas on reprend $A$ et $B$ et on considère le symétrique de $C$ suivant l'axe des abscisses. Tous les triangles de la forme voulue sont issus de l'un ou l'autre de ces deux triangles dessinés ci-dessous:
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S'il passe une seule parabole par le triplet $A,B,C$ il en est de même de l'image du triangle par toute translation. Ce qui veut dire que montrer le résultat pour seulement les deux triangles particuliers suffit à montrer la propriété pour tout triangle de cette forme dans le plan. On pourrait exploiter les résultats obtenus dans le cas général vu auparavant et remplacer les données $e,f,g,h,i,j$ comme il faut pour obtenir le triplet $a,b,c$ recherché mais effectuons la démarche depuis le début sur l'exemple du triangle $A,B,C$ avec les coordonnées particulières. Le système à résoudre provenant des trois appartenances: \[ A \in \mathcal{P} \qquad B \in \mathcal{P} \qquad C \in \mathcal{P} \] donne pour $A $ : \[ c=0 \] Puis pour $B $ : \[ a\ell^2+b\ell+c=0 \] et pour $C $ : \[ a \frac{\ell^2}{4}+b\frac{\ell}{2}+c=\frac{\sqrt{3}}{2}\ell \] Sachant que $\ell$ est non nul et $c$ nul la seconde devient: \[ a\ell+b=0\] et la troisième: \[ a\ell+2b=2\sqrt{3} \]En soustrayant l'une à l'autre on trouve: \[ b=2\sqrt{3} \] On en déduit $a$ en remplaçant $b$ par sa valeur: \[ a = -\frac{2\sqrt{3}}{\ell} \] D'où le résultat pour le triangle pointant vers le haut: \[ f(x)=-\frac{2\sqrt{3}}{\ell} x(x-\ell) \]
Translation
Soit un triplet de points $DEF$ formant un triangle équilatéral de côté $\ell$ avec un côté horizontal et l'autre sommet pointant vers le haut. Alors il existe une translation $(\lambda\, ; \mu)$ tel que ce triangle $DEF$ soit l'image du triangle $ABC$ étudié précédemment. Il existe autant de paraboles passant par $ABC$ que par l'autre triangle $DEF$ car elles peuvent aussi être translatées. Puisque pour $ABC$ nous en avons trouver une seule, il en est de même pour $DEF$. Le chapitre 2 est consacré à ces transformations, on passe de la parabole $\mathcal{C}_f$ trouvée pour $ABC$ à celle liée à $DEF$ nommée $\mathcal{C}_g$ en posant: \[ g(x) = f(x-\lambda) +\mu \] Soit en reprenant l'expression de $f$: \[ g(x) = -\frac{2\sqrt{3}}{\ell} (x-\lambda)(x-\lambda-\ell) +\mu \] On trouve que le coefficient $a$ reste inchangée, il représente par son signe la direction de la parabole et par sa valeur absolue son "épaisseur" (l'écart entre les branches) et rien de cela n'a été modifié pendant la translation. Quant à $b$ il devient égal à: \[ \frac{2\sqrt{3}}{\ell} (2\lambda+\ell) \] et $c$: \[ c=-\frac{2\sqrt{3}\lambda}{\ell} (\lambda+\ell)+\mu \]
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Conclusion
Pour ce qui est du triangle pointant vers le bas, il suffit de reprendre la démarche avec comme fonction $\tilde{f}$ qui à $x$ associe l'opposé de $f(x)$: \[ \tilde{f}(x)=-f(x) \] Elle vaut donc: \[ f(x)=\frac{2\sqrt{3}}{\ell}x(x-\ell) \]
Question 5
Combinatoire
Cherchons le nombre de couples de points possibles. Il y a quatre points et on veut former des groupes de 2. Un résultat en combinatoire donne: \[ C^{2}_{4}=6 \] Sinon, pour retrouver ce résultat, il suffit de fabriquer les couples avec le point $A$: \[ (A,B) \quad (A,C) \quad (A,D) \] puis avec $B$ sachant que l'un d'entre eux est déjà mentionné: \[ (B,C) \quad (B,D) \] et enfin avec $C$ sachant que 2 ont été déjà formés: \[ (C,D) \] Inutile de chercher ceux avec $D$ ils sont tous cités. On en compte 6 au total. Puisque un couple contient nécessairement l'un d'entre eux on les a tous mis en évidence.
Nombre de cas
Le choix d'un couple impose le second, il n'y a donc que 3 paires de couples possibles: \[ \begin{array}{c} (A,B) \, (C,D) \\ (A,C) \, (B,D) \\ (A,D) \, (B,C) \end{array} \] Il reste à donner des exemples, en usant d'astuces on minimise les calculs. On note $f_1$ et $g_1$ les fonctions associées au cas $(A,B)$ et $(C,D)$. Puis $f_2$ et $g_2$ pour $(A,C)$ et $(B,D)$. Enfin $f_3$ et $g_3$ pour le dernier cas.
Cas 1
$A$ et $B$ sont associées aux racines de $f_1$ ce qui permet de générer un exemple: \[ f(x)=(x-1)(x-2) \] Quant à $g_1$ elle possède $C$ et $D$ qui peuvent être vus comme les images respectives de $A$ et $B$ par la translation de vecteur $(2\, ; 1)$. On peut alors prendre comme exemple une fonction dépendant de $f_1$ suivant cette translation: \[ g_1(x)=f_1(x-2)+1=(x-3)(x-4)+1 \] L'expression développée est alors la suivante: \[ \begin{aligned} f_1(x) & =x^2-3x+2 \\ g_1(x) & =x^2-7x+13 \end{aligned} \]
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Cas 2
On suppose que $\mathcal{P}$ passe par $A$ et $C$, et que $\mathcal{P}'$ passe par les deux autres points $B$ et $D$. Comme exemple de parabole pour $\mathcal{P}$ il vient que $A$ est racine et aucune autre n'est imposée. Prenons alors la fonction $(x \mapsto (x-1)^2)$. C'est une parabole qui a pour sommet $A$ mais ne passe pas par $C$. Pour régler cela, nous conservons un coefficient $a$: \[ f_2(x) = a(x-1)^2 \] Puis on écrit l'appartenance de $C$ à cette parabole: \[ 1=a(3-1)^2 \] D'où: $a=1/4$. On remarque un lien entre le couple de points $(A,C)$ et $(B,D)$. Ce deuxième est l'image du premier par la translation de vecteur horizontal $(1\, ; 0)$. On peut utiliser $f_2$ pour construire $g_2$: \[ g_2(x)=f_2(x-1) \] La parabole associée à $g$ répond au problème. Les expressions développées sont les suivantes: \[ \begin{aligned} f_2(x) & =\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \\ g_2(x) & =\frac{1}{4}x^2-x+1 \end{aligned} \]
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Cas 3
Il se traite comme le précédent sauf qu'il n'y a pas de translation pour s'économiser un calcul. Pour la couple $(A,D)$ on cherche une parabole de sommet $A$ passant par $D$. Son expression générale est: \[ f_3(x)=a(x-1)^2 \] L'appartenance de $D$ à la courbe entraîne: \[ 1=a(4-1)^2 \] c'est-à-dire: $a=1/9$. Le même raisonnement conduit à \[ g_3(x)=a(x-2)^2 \] puisqu'ici c'est $B$ qui donne la racine double 2. Puis l'appartenance de $C$ permet de déduire le coefficient: $a=1$. D'où: \[ \begin{aligned} f_3(x) & =\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{9}x+\frac{1}{9} \\ g_3(x) & =x^2-4x+4 \end{aligned} \]
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