Angles et distances (B1-B7)

Solution

Question B12 - Prouver l'existence d'un minimum par la dérivation.

L'expression de $\delta$ est donnée à la question A1: \[ \delta (x) = \frac{1}{9} (13x^2-102x+477) \] La dérivée est définie sur tout $\mathbb{R}$ et vaut: \[ \delta'(x) = \frac{26}{9} x - \frac{102}{9} \] Elle s'annule une seule fois en le point d'abscisse: \[ x = \frac{102}{26} = \frac{51}{13} \] Elle est négative avant cette abscisse et positive ensuite. Le tableau de variation est le suivant: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 51/13 & & +\infty \\ \hline \\ \delta'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \\ \delta(x) & & \searrow & m & \nearrow & \\ \hline \end{array} \] il existe un minimum pour la fonction $\delta$ noté $m$ . Cela donne un point $N$ sur la droite $\mathcal{C}_f$ réalisant un minimum pour le carré de la distance $AM_x$ . Une distance étant toujours positive, $N$ réalise le minimum de la distance $AM_x$ . Et la valeur de $\delta$ en ce point se calcule: \[ \begin{align*} m = \delta(x_N) & = \frac{1}{9} (13 \times \left( \frac{51}{13} \right) ^2-102 \times \frac{51}{13} + 477) \\ & = \frac{400}{13} \end{align*} \]

Question B13 - Calcul des cosinus lorsque le minimum est atteint.

$N$ est situé à droite de $M_0$ d'où la valeur de $\gamma$ et de son cosinus, qui sont des constantes de chaque côté de $M_0$ : \[ \cos \gamma_N = \cos \gamma_0 = \frac{17}{\sqrt{53} \sqrt{13}} \] Les formules trouvées pour les suites $\alpha$ et $\beta$ sont en fait valables pour toute abscisse $x$ réelle. Ainsi nous pouvons considérer les fonctions $\alpha$ et $\beta$ définies par: \[ \forall x \in \mathbb{R} \quad \cos \alpha(x) = \frac{-17x+159}{\sqrt{53} \sqrt{P(x)}} \qquad \cos \beta(x) = \frac{13x-51}{\sqrt{13} \sqrt{P(x)}} \] Il apparaît que $\beta(x_N)$ est nul, cela dénote un angle droit entre les droites $\mathcal{C}_f$ et $(AN)$ . Quant au cosinus de l'angle $\alpha$ en $N$ on trouve après calcul : \[ \cos \alpha(x_N) = \frac{20}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \]

Question B14 - Racine carrée d'une fonction connue.

L'expression de $d$ est la suivante: \[ d(x) = \frac{1}{3} \sqrt{P(x)} \] On passe de $\delta$ à $d$ en extrayant la racine carrée de la première. Nous avons vu dans le chapitre 2 que la fonction racine carrée ne modifie pas le sens de variation, ni les racines d'une fonction. Tout d'abord, il est normal de retrouver le même domaine de définition, $\delta$ étant d'ailleurs strictement positive, la fonction $d$ l'est aussi. De plus, nous venons de rappeler que $d$ est décroissante jusqu'à $x_N$ puis croissante. Tandis que la courbe représentative de $\delta$ est une parabole, celle de $d$ a une forme proche de la parabole avec des branches moins tirées vers l'infini, les valeurs de $\delta$ proches de 1 resteront peu changées. Résumons:

domaine de $d$

$\mathcal{D}_d = \mathcal{D}_{\delta}=\mathbb{R}$

variation

\[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 51/13 & & +\infty \\ \hline \\ d(x) & & \searrow & \sqrt{m} & \nearrow & \\ \hline \end{array} \]

extrema

La fonction $d$ admet un minimum et il vaut: \[ d(x_N) = AN = \frac{20}{\sqrt{13}} \] On pourra noter le rapprochement avec le cosinus de $\alpha$ : \[ \cos \alpha (x_N) = \frac{1}{\sqrt{53}} AN \]

limites

La fonction $\delta$ diverge en $-\infty$ et $+\infty$ et ses limites sont toutes deux $+\infty$ . Le passage à la racine carrée conserve ce résultat, puisque si une quantité tend vers $+\infty$ alors sa racine carrée aussi. D'où : \[ \lim_{\pm \infty} d(x) = +\infty \]

graphe

Les valeurs approchées sont: $x_N \approx 3.923$ et $AN \approx 5.547$ .

Question B15 - Tracé des deux courbes.

Nous calculons les valeurs $\delta(x)$ pour les entiers de 0 à 3 autour du minimum $x_N$ et puisque les branches tendent à ressembler à des droites, nous calculons ensuite moins de valeurs. Par exemple nous prendrons $\delta(x)$ pour $x$ valant -10 puis -5 puis -2. Cela donnera un résultat par symétrie pour les valeurs $(2x_N-x)$ pour tout $x$ calculer. Ce qui donne avec une précision de $10^{-2}$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & -10 & -5 & -2 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \\ d(x) & 17.63 & 12.07 & 9.02 & 7.88 & 6.57 & 6.01 & 5.66 \\ \hline \end{array} \] Soit le graphe suivant, sur lequel nous n'indiquons pas les points symétriques:

Question B16 - Minimum de la fonction $d$ et lieu de points.

La fonction $\delta$ s'écrit dans le cas général: \[ \delta (x) = (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 \] et la fonction $d$ reste sa racine carrée. On développe $\delta$ sachant que pour le terme $(y-y_A)^2$ on prend en compte la relation $(y=mx+\lambda)$ : \[ \begin{align*} (y-y_A)^2 & = y^2-2yy_A+y_A^2 \\ & = (mx+\lambda)^2-2(mx+\lambda) y_A + y_A^2 \\ & = m^2 x^2 + 2m(\lambda-y_A)x + (y_A-\lambda)^2 \end{align*} \] Ce qui donne: \[ \delta (x) = (m^2+1) \textbf{x}^2 -2[x_A+m(y_A-\lambda)] \textbf{x} + [x_A^2+(y_A-\lambda)^2] \] La fonction est un polynôme du second degré. L'objectif est de montrer qu'elle admet un minimum car par passage à la racine carrée, cela restera le cas pour la fonction $d$ . Or il suffit de voir que le terme en $x^2$ est strictement positif pour tout coefficient directeur $m$ , on en déduit que les branches sont dirigées vers le haut. Dans ce cas la parabole admet un minimum. La résolution de la question peut s'arrêter là, nous approfondissons pour donner deux cas.

Discriminant

On calcule le discriminant de $\delta(x)$ : \[ \Delta = 2^2 \left( x_A+m(y_A-\lambda) \right)^2-4(m^2+1) \left( x_A^2+(y_A-\lambda)^2 \right) \] En développant on trouve une simplification: \[ \Delta = -4 \left( mx_A -(y_A-\lambda) \right) ^2 \] Il s'agit de l'opposé d'un produit de 4 par un carré. Le discriminant est négatif en général et peut s'annuler.

Cas nul

$\Delta=0 \iff y_A = mx+\lambda$ . Ce qui se traduit par l'appartenance à la droite $\mathcal{C}_f$ . On vient de montrer que $d(A,f)$ est nul si et seulement si $A$ est situé sur la droite représentant $f$ .

Lieu des points $d(B,f)=0$

Reprenons les notations de l'énoncé, on cherche l'ensemble des points $B$ tels que $d(B,f)$ soit nul. Soit $B$ un tel point, on note $x_B$ et $y_B$ ses coordonnées qui nous sont inconnues et que nous devons chercher. La distance à $f$ est nulle est une propriété qui se traduit par \[ \exists x \quad \delta(x)=0 \] Il y a existence d'un réel $x$ tel que la fonction $\delta$ s'annule en $x$ . La mise en équation a donné l'équivalence: \[ \delta(x)=0 \iff \Delta = 0 \] On a une solution si et seulement si le discriminant est nul, car il ne peut être strictement positif. Et la réponse est alors: \[ d(B,f) = \mathcal{C}_f \] L'ensemble des points $B$ vérifiant le problème est la droite $\mathcal{C}_f$ . Nous avons fonctionner par résolution d'équation, mais le bon sens doit nous rappeler que la fonction $d$ associe à tout point du plan sa distance à la droite $\mathcal{C}_f$ , c'est-à-dire que parmi l'ensemble des points $M$ de la droite on associe la distance $BM$ la plus petite. Dire que $d(B,f)$ est nulle c'est dire qu'il existe un point $M$ tel que $BM$ soit nulle, ce qui est équivalent à l'égalité $(B=M)$ et aussi à l'appartenance de $B$ à la droite. Il est important de raisonner par équivalence quand cela est possible pour conclure sur la totalité de l'ensemble cherché.

Lieu des points $d(B,f)=1$

Il suffit de chercher quelques points sur le plan pour comprendre qu'il va s'agir de la réunion de deux droites parallèles à $\mathcal{C}_f$ distantes chacunes d'une distance égale à 1. Montrons le de manière algébrique: soit $B$ un point tel que $d(B,f)=1$ alors on a l'équation à résoudre en $x$ (passage au carré) : \[ \delta(x)=1 \] Le développement apporte un petit changement au niveau de la constante, nous avions vu dans le début de la question l'expression générale de $\delta$ , ici l'équation du second degré à résoudre sera la même sauf qu'il faut retirer 1 à la constante : \[ \delta (\textbf{x}) -1 = (m^2+1) \textbf{x}^2 -2[x_B+m(y_B-\lambda)] \textbf{x} + [x_B^2+(y_B-\lambda)^2 - 1 ] \] Plutôt que de recalculer tout le discriminant notons le précédent (lié à la distance nulle) $\Delta$ et celui-ci (lié à la distance 1) $\Delta_1$ . Alors on a pour la deux la forme: \[ \Delta = b^2-4ac \] où $a,b,c$ sont les trois coefficients dans l'équation $(\delta(x)=0)$ et : \[ \Delta_1 = b^2-4a(c-1) \] Ainsi on obtient: \[ \Delta_1 = \Delta+4a \] sachant que $a$ vaut $(m^2+1)$ on a le discriminant : \[ \Delta_1 = \Delta +4(m^2+1) \] On reconnaît la différence entre deux carrés, une identité remarquable permet de factoriser le discriminant $\Delta_1$ et d'obtenir : \[ \Delta_1 = 4 \left( y_B-mx_B-\lambda+\sqrt{m^2+1} \right) \left( -y_B+mx_B+\lambda+\sqrt{m^2+1} \right) \] A présent que l'expression est posée, raisonnons sur cet ensemble: $d(B,f)=1$ . Ceci est équivalent à dire que l'équation $\delta(x)=1$ admet au moins une solution. C'est-à-dire que $\Delta_1$ est soit nul soit strictement positif. Si le discriminant est strictement positif alors cela voudrait dire qu'il y aurait deux solutions distinctes, et c'est impossible, le minimum est atteint de manière unique car un seul point $M$ formera l'angle droit avec $B$ et la droite $\mathcal{C}_f$ . Ainsi $B$ est a une distance 1 de la droite représentative de $f$ si et seulement si $\Delta_1$ est nul. Cela est équivalent pour les coordonnées de $B$ de vérifier l'une des deux équations suivantes: \[ y_B = mx_B+\lambda-\sqrt{m^2+1} \] ou : \[ y_B=mx_B+\lambda+\sqrt{m^2+1} \] Chacune de ces équations représente une droite. Les deux droites sont parallèles à $\mathcal{C}_f$ car le coefficient directeur est le même. Elles diffèrent par l'ordonnée à l'origine. Pour $f$ il s'agit de $\lambda$ et pour les deux autres il s'agit de $\lambda$ auquel on retire ou ajoute le nombre strictement positif $\sqrt{m^2+1}$ . On remarquera qu'il s'agit de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côté 1 et $m$ . Ci-dessous, l'exemple pour \[ m = \frac{1}{2} \qquad \lambda=-3 \] En voici le graphe: 

Question B17 - Ensemble des fonctions à une distance imposée du point $A$ .

Ici le problème est inversé, la donnée est le point $A$ et on cherche l'ensemble des fonctions $f$ telles que la distance à $A$ soit de 2. Rappelons que la distance est atteinte en un point $M$ vérifiant l'orthogonalité entre la droite $\mathcal{C}_f$ et $(AM)$ .

Si l'on trace une droite quelconque partant de $A$ et qu'on prend les deux points $M$ et $M'$ de part et d'autre de $A$ à une distance 2. Les seules fonctions $f$ possibles sont celles dont la droite représentative possède soit $M$ soit $M'$ et est perpendiculaire à $(AM)$ . Il n'y a que deux possibilités. En faisant ensuite "tourner" la première droite tirée sur $A$ , on en conclue que l'ensemble des droites possibles est l'ensemble des tangentes au cercle de centre $A$ et de rayon 2. Ci-dessous un dessin avec 13 droites, il s'agit de celles formant un angle multiple de 30 degrés, de 0 à 360, on note que le cercle se profile:

Pour finir, lorsqu'on applique une rotation de 5 degrés, soit un total de 73 droites dessinées tangentes au cercle de centre $A$ et de rayon 2:

Question B18 - Définition de la distance séparant deux fonction affines et son calcul.

Cas nul

La distance $d(f,g)$ est nulle si et seulement si il existe un point $A$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ et un point $B$ appartenant à $\mathcal{C}_g$ tels que $AB$ soit nulle. C'est-à-dire si et seulement si les deux droites ont un point en commun. La distance $d(f,g)$ est nulle si et seulement si les deux droites sont concourantes (voire sont confondues)

Cas non nul

La distance est non nulle si et seulement si elles ne s'intersectent pas, c'est-à-dire qu'elles sont parallèles. On note $m$ le coefficient directeur commun et $\lambda$ et $\mu$ leur ordonnée à l'origine. On note $M$ le point de la droite représentant $f$ d'abscisse 0 et $P$ celui de $g$ d'abscisse 0. Enfin $N$ formant un triangle rectangle avec les deux autres de la manière suivante:

Le problème consiste à calculer la longueur $MN$ . On simplifie le problème en translatant les droites pour que $M$ corresponde à l'origine $(0,0)$ . Les nouvelles équations sont les suivantes: \[ f \; : \; y=mx \qquad g \; : \; y=mx+(\mu-\lambda) \] qu'on a trouvé par translation. $N$ est le point d'intersection entre la droite représentant $g$ et celle qui est perpendiculaire à $\mathcal{C}_f$ et passant par $M$ . On la note $\mathcal{D}$ et son équation est : \[ y=ax+b \] son coefficient $a$ vaut $(-1/m)$ par orthogonalité, lorsque $m$ est non nul. Et $b$ vaut 0 puisqu'elle passe par l'origine $M$ . Les coordonnées de $N$ vérifie donc l'équation: \[ \begin{cases} y_N & = -\frac{1}{m} x_N \\ y_N & = mx_N+(\mu-\lambda) \end{cases} \] D'où la solution: \[ x_N = \frac{m}{m^2+1} (\lambda-\mu) \qquad y_N = \frac{-1}{m^2+1} (\lambda-\mu) \] Sachant que $M$ est l'origine, alors la longueur $MN$ vaut: \[ \sqrt{x_N^2+y_N^2} = \frac{ \left| \lambda-\mu \right| }{\sqrt{m^2+1}} \]

Fin de la question B18 et fin du problème.