Angles et distances (A5-A7)

Solution

Question A5 - Une base adaptée au problème.

Le dessin a été proposé dans la correction de la question A2. Nous le proposons ici avec une grille de taille 1 pour les cases.

(a) Base

On a montré dans le cours que tout couple de vecteurs non colinéaires forment une base du plan. Cela se traduit par la formule: \[ \det \left( \vec{u} \, ; \vec{w} \right) \neq 0 \] pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ . On tient compte ici de $\overrightarrow{M_0A}$ et $\overrightarrow{M_0M_1}$ qui vérifient bien la condition de non colinéarité, on exprime leur déterminant pour le prouver, sachant que les coordonnées sont les suivantes: \[ \overrightarrow{M_0A} \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{M_0M_1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2/3 \end{pmatrix} \] D'où le résultat: \[ \det \left( \overrightarrow{M_0A}\, ; \overrightarrow{M_0M_1} \right) = 7 \times \frac{2}{3} - (-2+1) = \frac{20}{3} \]

(b) Décomposition

En règle générale, une décomposition utilise la relation de Chasles. Elle consiste entre autres à introduire un point, pour savoir lequel il suffit de faire un dessin:

Nous écrivons $\overrightarrow{AM_n}$ en introduisant $M_0$ : \[ \overrightarrow{AM_n} = \overrightarrow{AM_0} + \overrightarrow{M_0M_n} \] On obtient une somme dont le premier élément est un vecteur de la base, il n'y a plus besoin de le modifier si ce n'est de préciser que le sens est opposé à celui de la base: \[ \overrightarrow{AM_0} = -1 \times \overrightarrow{M_0A} \] Ainsi la première coordonnée sera $-1$ . Pour la seconde, nous remarquons que les points $M$ sont placés sur une droite et à des abscisses entières, une application directe du théorème de Thalès donne: \[ \frac{M_0M_1}{M_0M_n} = \frac{1}{n} \] La seconde coordonnée est $n$ : \[ \overrightarrow{AM_n} = (-1) \, \overrightarrow{M_0A} + (n) \overrightarrow{M_0M_1} \] Ceci est valable pour tout entier relatif $n$ .

(c) Calcul de norme et du produit scalaire

Le calcul des normes se fait avec les coordonnées: \[ M_0A = \sqrt{ 7^2 + (-2)^2} = \sqrt{53} \approx 7.28 \] De même pour $M_0M_1$ : \[ M_0M_1 = \sqrt{ 1^2 + \left( \frac{2}{3} \right) ^2 } = \frac{1}{3} \, \sqrt{13} \approx 1.20 \] Le produit scalaire se calcule facilement lorsque les coordonnées sont connues: \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \; | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = 7 \times 1 + (-2) \times \frac{2}{3} = \frac{17}{3} \approx 5.67 \] Si les deux vecteurs étaient colinéaires, le produit scalaire vaudrait le produit des normes, soit : \[ \sqrt{53} \times \frac{1}{3} \times \sqrt{13} \approx 8.79 \]

Question A6 - Encadrement de l'angle $\gamma$

Les formules sont montrées dans le chapitre 7 intitulé "Trigonométrie" : \[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \]

(a) Duplication de l'angle

L'angle $\pi/3$ est le double de $\pi/6$ . Le premier vaut $60^\circ$ et le second $30^\circ$ . Et l'on a montré la formule dite de duplication de l'angle: \[ \cos^2 \theta = \frac{\cos (2\theta) + 1}{2} \] Nous noterons à présent $\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et la formule sera utilisée sous la forme : \[ \cos \theta = \sqrt{ \frac{x+1}{2}} \] où $x$ est le nombre $\cos (2\theta)$ .

(b) Suite d'angles

L'angle $\pi/12$ ( $15^\circ$ en degrés) est la moitié de $\pi/6$ d'où: \[ \cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{2}} \] avec le nombre $a$ défini à la question précédente. Puis l'angle $\pi/24$ ( $7^\circ 30'$ en degrés et minutes) est la moitié de $\pi/12$ avec la même formule, on remplace $x$ par le résultat trouvé pour $\cos (\pi/12)$ et cela donne: \[ \cos \frac{\pi}{24} = \sqrt{ \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{2}} +1}{2}} \] On simplifie l'expression en faisant apparaître le numérateur et dénominateur, sous forme de racines carrées: \[ \frac{ \sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2 \sqrt{2}}} \] Puis l'angle $\pi/48$ qui vaut 3 degrés et 45 minutes est la moitié de $\pi/24$ . La formule donne: \[ \cos \frac{\pi}{48} = \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} \] On enchaîne de la même manière pour les deux angles suivants: \[ \cos \frac{\pi}{96} = \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} }{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}} \] cet angle vaut $1^\circ 52' 30''$ . Le dernier angle $\pi/192$ en est la moitié, c'est-à-dire 56 minutes d'arc et 15 secondes. Presque 1 degré (qui vaut 60 minutes d'arc) et son cosinus est donné par: \[ \cos \frac{\pi}{192} =  \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} }}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}}} \] Le cosinus de l'angle nul vaut 1, et celui de $\pi/192$ en est proche, il vaut environ $0.999 866$ . En découpant l'angle $\pi$ en 192 parties nous obtenons le demi-disque et ses parties suivantes:

(c) Encadrement

Nous n'avons pas d'information sur l'angle $\gamma_0$ sauf son cosinus, puisqu'il apparaît dans le calcul du produit scalaire de la question  5(c) : \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = \frac{17}{3} \] Dans le chapitre "Produit scalaire" nous montrons aussi la formule : \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = M_0A \times M_0M_1 \times \cos \gamma_0 \] D'où le résultat exact: \[ \cos \gamma_0 = \frac{17}{\sqrt{13}\sqrt{53}} \] Ce nombre vaut environ $0.648$ et nous allons calculer les cosinus des angles: \[ \cos \left( p \frac{\pi}{192} \right) \] pour l'entier $p$ variant de 0 à 192. Une propriété de cette suite est sa stricte décroissance. Le maximum est en $(p=0)$ et il s'agit du cosinus de l'angle nul, qui vaut 1. Et son minimum est le dernier terme, qui est négatif. Ainsi il existe un entier $p_0$ tel que : \[ \cos \left( p_0 \frac{\pi}{192} \right) > \cos \gamma_0 > \cos \left( (p_0+1) \frac{\pi}{192} \right) \] Plutôt que de tout calculer, utilisons la fonction arc-cosinus sur la calculatrice qui à partir d'un cosinus, donne l'angle qui lui correspond entre $0$ et $\pi$ . On trouve: \[ \gamma_0 \approx 0.866 \, \text{rad} \] En divisant cet angle par $\pi/192$ on trouve: \[ \frac{\gamma_0}{\pi/192} \approx 52.945 \] On prend alors $p_0=52$ et on vérifie que les cosinus sont rangés dans l'ordre recherché: \[ \cos \left( 52 \times \frac{\pi}{192} \right) \approx 0.659346 \] Puis l'angle suivant: \[ \cos \left( 53 \times \frac{\pi}{192} \right) \approx 0.646956 \] On constate l'encadrement sachant que: \[ \cos \gamma_0 \approx 0.647648 \] Et il est plus proche de l'angle $53\pi/192$ . Cela correspond environ à un angle compris entre 49 degrés et 50. On met en évidence ci-dessous les secteurs concernés en rouge, le 52ème et le 53ème:

Question A7 - Suite d'angles $\gamma$ .

(a) Suite à deux valeurs

Le vecteur $\overrightarrow{M_0M_n}$ est colinéaire à $\overrightarrow{M_0M_1}$ donc l'angle $\gamma_n$ est soit identique à $\gamma_0$ soit il vaut un demi-tour en plus. On a: \[ \forall n \in \mathbb{Z} \qquad \overrightarrow{M_0M_n} = n \overrightarrow{M_0M_1} \] Ainsi pour les entiers positifs, le sens est le même. D'où: \[ \forall n \in \mathbb{N} \qquad \gamma_n = \gamma_0 \] Pour les entiers relatifs strictement négatifs il s'agit de l'opposé. Ainsi on peut décomposer l'angle: \[ \gamma_n = (\overrightarrow{M_0A}\, ; \overrightarrow{M_0M_1}) + \pi \] où $\pi$ représente le tour effectué $(\overrightarrow{M_0M_1}\, ; \overrightarrow{M_0M_n}) $ D'où: \[ \forall n <0 \qquad \gamma_n = \gamma_0 + \pi \] On en déduit le cosinus qui est opposé pour un angle et l'autre: \[ \forall n \in \mathbb{Z}\setminus \{0\} \qquad \cos (\gamma_n) = \frac{n}{|n|} \cos (\gamma_0) \] cette façon de présenter permet de tout réunir sous une seule formule.

(b) La suite $p$

La suite $p$ est constante pour $n$ entier naturel est vaut $p_0$ soit 52. Si $(n<0)$ il s'agit de l'angle $(\gamma_0+\pi)$ . L'encadrement est le suivant: \[ p_0 \, \frac{\pi}{192} + \pi \leq \gamma_0+\pi \leq (p_0+1) \, \frac{\pi}{192} + \pi \] En factorisant les deux membres aux extrêmes par $\pi/192$ on trouve: \[ \forall n<0 \qquad p_n = 192 + 52 = 244 \]

Fin de la question A7