Enoncé
- Résoudre $|x-a| \leq \delta\; $ avec $\; a\in \mathbb{R}$ et $\delta>0$ .
- De même résoudre $|x-a| > \delta\; $ et $\; |x-a| \geq \delta$ .
- Résoudre le système: \[ \left\{ \begin{array}{c} \left| x-5 \right| < 2 \\ \left| x-1 \right| \geq 3 \end{array} \right. \]
- Résoudre le système suivant où $\delta>0$ et $\lambda>0$ : \[ \left\{ \begin{align*} |x-a| < & \delta \\ |x-b| > & \lambda \end{align*} \right. \]
- Soient $n$ et $m$ deux entiers positifs. Résoudre $\left| x-n \right| < \left| x-m\right| $ .
Indications
Nous allons varier les styles de résolution. En s'aidant d'un graphique pour le point de vue géométrique, et aussi directement à l'aide des techniques d'algèbre. Ceci pour mieux assimiler la notion de valeur absolue, qui est présentée dans le cours comme une fonction mais aussi comme la définition d'une distance entre deux points sur une droite graduée.
Solution
Question 1 - Distance entre deux nombres inférieure à un réel donné.
Résoudre une inéquation de la forme $f(x)\leq g(x)$ c'est chercher l'ensemble des abscisses $x$ sur $\mathbb{R}$ dont l'image par $f$ est plus petite que celle par $g$. C'est-à-dire chercher les parties de la courbe liée à $f$ qui sont sous celle de $g$. La fonction $f$ définie par $fx)=\left| x-a\right| $ est la valeur absolue décalée par une translation horizontale de vecteur $(a\, ; 0)$. Dit autrement, il suffit de tracer la fonction valeur absolue en prenant comme origine le point $(a\, ;0)$. La fonction $g:x\mapsto \delta$ est constante, sa courbe est une droite horizontale. La résolution du problème : \[ |x-a| \leq \delta \] consiste à trouver l'ensemble des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés sous la "barre" $\delta$. Comme nous l'avons vu dans le cours, on peut aussi interpréter cela de manière géométrique. L'inéquation est vérifiée par l'ensemble des $x$ éloignés de $a$ d'une distance inférieure ou égale à $\delta$. L'ensemble solution $S_1$ est donc le segment centré en $a$ et de longueur $2\delta$ puisque la distance entre $a$ et chaque extrémité vaut $\delta$ . \[ S_1 = [ a-\delta\, ; a+\delta] \] Le fait que $\delta$ soit strictement positif montre que le segment est non vide et même non réduit au singleton $a$. Ce résultat est valable pour tout $a$ réel.
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Question 2 - Distance entre deux nombres inférieure à un réel donné.
Soit $S_2$ l'ensemble des solutions de l'inéquation : $f(x)>g(x)$. Les deux inéquations dont les solutions sont $S_1$ et $S_2$ forment une disjonction des cas. Tout réel $x$ vérifie ou bien la première ou bien la deuxième. Non seulement il en vérifie une, mais en plus il ne peut en vérifier qu'une. On en conclut : \[ S_1 \cup S_2 = \mathbb{R} \] d'après le fait que tout réel $x$ vérifie au moins l'une des deux. Et : \[ S_1 \cap S_2 = \emptyset \] du fait qu'aucun réel ne peut vérifier les deux. D'où le résultat : \[ S_2= ] -\infty\, ; a-\delta [ \; \cup \; ] a+\delta\, ; +\infty [ \] Résoudre $f(x)\geq g(x)$ consiste à réunir les solutions des deux problèmes : \[ f(x) > g(x) \qquad f(x)=g(x) \] Quant à la première inéquation, les solutions sont les éléments de $S_2$. Il reste à déterminer les réels vérifiant l'égalité: \[ |x-a| = \delta \] Les deux réels situés à une distance $\delta$ du nombre $a$ sont $(a-\delta)$ et $(a+\delta)$. On remarquera qu'il s'agit bien de la frontière entre $S_1$ et $S_2$. D'où l'ensemble $S_3$ cherché : \[ S_3 = ]-\infty\, ; a-\delta] \, \cup \, [a+\delta\, ; +\infty [ \]
Question 3 - Système d'inéquations avec valeur absolue.
On applique les résultats trouvés pour $(a=5\, ; \delta=2)$ en prenant $S_1$ et $(a=1\, ; \delta=3)$ en prenant $S_3$. Un système impose l'intersection entre les ensembles solutions de chaque inégalité. D'où l'ensemble : \[ ]3\, ; 7[ \quad \cap \quad ]-\infty\, ; -2] \, \cup \, [ 4\, ; +\infty [ \] Ce qui donne: $[4\, ; 7[$. Il s'agit de l'ensemble des réels situés à une distance inférieure stricte à 2 du nombre 5 et supérieure à 3 du nombre 1. L'entier 4 est compris et 7 est exclu. L'idéal dans la résolution est de vérifier géométriquement en superposant deux droites graduées pour chaque inégalité.
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Question 4 - Système de valeurs absolues avec 4 paramètres.
L'ensemble solution de l'inégalité : \[ |x-a| < \delta \] est d'après la question 1 : \[ S_1 = ] a-\delta\, ; a+\delta [ \] Puis l'ensemble $S_2$ solution de l'autre inégalité est : \[ S_2 = ] -\infty\, ; b-\lambda [ \; \cup \; ] b+\lambda\, ; +\infty [ \] L'hypothèse $(\delta>0)$ permet d'affirmer que quelle que soit la valeur de $a$ l'ensemble $S_1$ est non vide. L'hypothèse $(\lambda>0)$ n'a aucun intérêt particulier si ce n'est de situer $\lambda$ plus précisément. Mais cela ne change rien à la nature des ensembles $S_2$ possibles. Nous pourrions conclure que l'ensemble solution $S$ du système est l'intersection entre $S_1$ et $S_2$ mais soyons plus précis sur les diverses configurations.
Etude détaillée
Pour construire $S_1$ nous prenons les points autour de $a$ d'une distance plus petite que $\delta$. Pour $S_2$ il s'agit au contraire de considérer ceux qui sont suffisamment éloignés de $b$ d'une distance $\lambda$. Il y a quatre paramètres dans ce problème: $a,b,\delta,\lambda$. Pour simplifier, supposons que $b$ soit fixé n'importe où, ce qui n'enlève rien à la généralité du problème. Nous faisons se déplacer $a$ sur toute la droite réelle pour conserver l'aspect général. Cette manière de procéder, nous l'appliquons car après observation du dessin ci-dessous, il apparaît que l'ensemble $S_2$ lié à $b$ possède deux branches de longueurs infinies, alors que pour toute valeur de $\delta$ l'ensemble $S_1$ sera borné, c'est-à-dire de longueur finie.
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$a$ est loin de $b$
Lorsque $a$ est suffisamment loin de $b$ au point que la longueur $\delta+\lambda$ ne suffit pas à les joindre alors tout l'ensemble $S_1$ est inclus dans $S_2$. Et puisque nous en prenons l'intersection, le résultat est : \[ S=S_1 \] Ceci se produit lorsque la distance $|b-a|$ est supérieure stricte à $\delta+\lambda$. Mieux, les deux ensembles $S_1$ et $S_2$ sont ouverts. Si la distance $|b-a|$ vaut exactement $\delta+\lambda$ alors le résultat reste inchangé. D'où : \[ |b-a| \leq \delta+\lambda \iff S=S_1 \] Il existe une configuration où $a$ est à gauche de $b$ que nous exposons ci-dessous, et une autre où $a$ est à droite de $b$. On remarquera qu'il importe peu de comparer ici $\delta$ et $\lambda$. Ce qui diffère de la situation suivante.
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$a$ est proche de $b$
Il reste à traiter le cas manquant, lorsque $a$ et $b$ sont plus proches l'un de l'autre que la somme $\delta+\lambda$. Tout d'abord en faisant venir $a$ de la gauche de $b$ jusqu'à ce que $S_1$ comporte des éléments qui ne sont pas dans $S_2$ il existe une configuration où cela se fait sans que $S_1$ ne touche la partie droite de $S_2$. Et ceci est valable quelque soit les valeurs de $\delta$ et $\lambda$. Le dessin ci-dessous illustre la situation avec $a$ à l'intérieur du segment exclu par $S_2$, c'est-à-dire lorsque $\delta$ est strictement plus petit que $\lambda$, ce qui n'est nécessaire, $\delta$ peut être plus grand, la situation reste envisageable. On a : \[ S = ] b-\lambda\, ; a+\lambda [ \]
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Si $(\delta<\lambda)$ alors on peut envisager la possibilité de voir $S_1$ complètement inclus dans le segment $]b-\lambda\, ; b+\lambda[$. Dans ce cas il n'y a pas de solution: $S=\emptyset$ .
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Mais si $(\delta>\lambda)$ alors il y a la possibilité de voir $S_1$ atteindre les deux parties de $S_2$. On aura : \[ S= ] a-\delta\, ; b-\lambda [ \; \cup \; ]b-\lambda \, ; a+\delta [ \]
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Enfin dans tous les cas, $S_1$ finit par n'avoir d'intersection qu'avec la partie droite de $S_2$ sans être entièrement inclus : \[ S = ] b+\lambda\, ; a+\lambda [ \]
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Toutes les situations ont été abordées, il y en a deux principalement. La première fut traité simplement, quant à la deuxième elle contient quatre sous catégories: deux cas qui peuvent se produire quelles que soient les valeurs de $\delta$ et $\lambda$ et deux autres cas suivant que $(\delta>\lambda)$ ou $(\delta<\lambda)$. L'égalité n'apporte rien de nouveau.
Question 5 - L'inconnue est plus proche d'un entier que d'un autre.
Cette fois-ci les deux membres de l'inégalité sont variables et constituent des distances. Fixons $n$ et $m$ en restant dans le cadre général, sans imposer de contrainte dessus. Mieux, l'hypothèse qu'ils sont entiers n'a pas d'importance. Plaçons les sur la droite graduée, il y a trois régions qui se forme, en supposant que $(n<m)$ la région à gauche de $n$ comprend uniquement des réels dont la distance à $n$ est plus petite strictement que celle à $m$. Celle à droite de $m$ ne vérifie pas l'inégalité. Quant au segment $[n\, ; m]$ il y a en lui deux sous parties. En notant $i$ leur milieu, il apparaît que sur $[n\, ; i[$ nous vérifions l'inégalité mais pour pour $[i\, ; m]$. D'où l'ensemble solution : \[ n<m \Rightarrow S_1 = ] -\infty \, ; i [ \] où : $i=\displaystyle \frac{n+m}{2} $ . Si $(n>m)$ alors les rôles entre $n$ et $m$ sont inversés, on prend le complémentaire de $S_1$ en prenant garde de retirer $i$ car l'inégalité est stricte : \[ S_2 = ]i\, ; +\infty[ \] Enfin si $(n=m)$ alors il n'y a pas de solution car cela revient à résoudre une inégalité de la forme $X<X$. Nous avons raisonner en utilisant notre intuition, ce qui n'est pas complètement rigoureux, bien que le discours soit clair. Voici la formalisation pour le cas $(n<m)$ :
- Si $(x<n,m)$ alors $(n-x<m-x)$ et chacun est positif, donc cela revient à écrire: $|n-x|<|m-x|$ ce qui est équivalent à l'inégalité de la question. Ainsi, tout réel $x$ plus petit strictement que $n$ et $m$ la vérifie.
- Si $(x>n,m)$ alors $|x-n|<|x-m|$ revient à écrire $(x-n<x-m)$ c'est-à-dire $(m<n)$ ce qui contredit l'hypothèse $(n<m)$. Il n'y a pas de réel vérifiant l'inégalité se situant à la fois au dessus de $n$ et $m$.
- Si $(n<x<m)$ alors l'inégalité s'écrit: $(x-n<m-x)$ . Ce qui est équivalent à : \[ x<\frac{n+m}{2}=i \] D'où l'introduction de $i$ et le partage du segment $[n\, ;m]$ .
On donne l'exemple de $S_1$ :
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