Exercice 3.1 - Suite définie à partir d'une fonction

Solution

Question 1 - Une suite définie avec une parabole

La suite $u$ n'est rien d'autre qu'une fonction, en particulier c'est la restriction de $f$ à $\mathbb{N}$, c'est-à-dire la fonction $f$ elle-même bien qu'on lui ait donné un autre nom, ceci parce qu'une fonction est aussi définie par un domaine. Le tracé de $\mathcal{C}_f$ contient le graphe de $u$. Ce graphe étant l'ensemble des points du plan repérés par un couple $(n\, ; u_n)$. Il s'agit donc dans un premier temps de tracer la courbe liée à $f$. Or l'équation $f(x)=0$ a pour racines -1 et 2, la forme canonique trouvée : $$f(x) = \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2 - \frac{9}{4}$$ Nous traçons donc la parabole associée, en modifiant les échelles, avec un coefficient $0.1$ en ordonnée pour obtenir une répartition moins éparpillée:

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Les dix premiers termes sont $u_0$ jusqu'à $u_9$ et valent: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & -2 & -2 & 0 & 4 & 10 & 18 & 28 & 40 & 54 & 70 \\ \hline \end{array}$$

Question 2 - Suite générée par la fonction inverse.

Calcul des valeurs

Nous translatons d'abord le graphe de $g$ via le vecteur $(0\, ; 1)$ et ceci fait partie des résultats enseignés dans le chapitre 2. Les dix premiers termes de la suite $u$ vont de $u_3$ à $u_12$. Pour dix termes il y a neuf étapes, ainsi $(9+3=12)$ donne le dernier terme de la suite, pour se souvenir de ce résultat le mieux est de se rappeler ce qui sépare le maximum et minimum de l'ensemble $\{1\, ; 2\, ; 3\}$. Il y a deux étapes pour trois éléments.

La forme explicite de $u$ est la suivante : $$\forall n \geq 3 \qquad u_n = 1+\frac{1}{n}$$ Soit encore pour l'écrire directement sous la forme d'une fraction : $\displaystyle \frac{n+1}{n}$ .

La construction du tableau est immédiate : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline \\ u_n & \frac{4}{3} & \frac{5}{4} & \frac{6}{5} & \frac{7}{6} & \frac{8}{7} & \frac{9}{8} & \frac{10}{9} & \frac{11}{10} & \frac{12}{11} & \frac{13}{12} \\ \hline \end{array}$$ C'est déjà l'occasion de s'initier au calcul des limites. La question se pose de savoir vers "quoi" se dirige le terme $u_n$.

Calcul d'une limite

Nous pouvons nous poser la question pour le graphe, soit le couple formé par l'abscisse $n$ et l'ordonnée $u_n$ ce qui revient au même dans l'étude de la question, la subtilité est qu'ici nous étudions alors une famille de points du plan repérés par coordonnées cartésiennes, quand le regard porté sur seulement $u_n$ consiste à estimer la valeur d'un réel, et donc sa direction sur la droite graduée, en particulier l'axe des ordonnées.

S'il est évident que la marche des entiers naturels indicés par $n$ a pour direction l'infini à une vitesse constante (+1 à chaque étape), le comportement de $u_n$ est légèrement plus technique. Il y a descente, donc $u_n$ ne se dirige pas vers l'infini ni vers une quelconque valeur plus grande que le premier terme par exemple, et même n'importe lequel de ses termes puisque la décroissance est stricte. Et ce résultat est simplement dû à la monotonie de la fonction $(x\mapsto g(x)+1)$ si l'on se souvient que $u$ est exactement cette fonction mais uniquement prise sur les entiers.

La suite $u$ est strictement décroissante et son premier terme est $u_3=4/3$. De plus elle est strictement positive : $$\forall n \geq 3 \qquad u_n >0$$ On obtient un encadrement des termes $u_n$ entre 0 et quatre tiers. Notre intuition nous conduit à penser que $u_n$ ne peut aller au delà. Comment un terme pourrait s'approcher aussi près d'un nombre en dehors de l'intervalle fermé $\displaystyle [0\, ; \frac{4}{3} ]$ s'il ne peut franchir les frontières de l'intervalle. Mais c'est là un résultat qu'il convient de démontrer, le sujet est abordé au chapitre 4.

En attendant nous remarquerons que : $$u_3 \approx 1.33 \quad u_4 =1.25 \quad u_5 = 1.2 \quad u_7 \approx 1.17 \; \ldots \; u_{100} = 1.01 \; \ldots$$ Les termes se rapprochent de 1. La forme explicite donne exactement la vitesse de convergence : $$u_n= 1+\frac{1}{n}$$ Chaque terme de la suite est le nombre 1 augmenté de l'inverse de l'entier $n$. Or cet inverse est aussi petit que $n$ est grand. Mieux, la fraction $1/n$ tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini, et c'est là encore le sujet du chapitre 4, ce résultat est démontré pour la propriété 4.1 et pour le moment nous invitons le lecteur à calculer lui-même des valeurs $u_n$ d'indice toujours plus grand et d'observer la graphique de la courbe associé pour se donner une idée de la notion de convergence.

Graphique

Chaque bâtonnet dessiné au dessus de l'entier $n$ ci-dessous a pour longueur $u_n$. C'est une façon de représenter les termes de la suite.

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