Exercice 5.7 - Dériver une fraction rationnelle

Solution

Question 1 - Dériver une fraction rationnelle.

Pour tous réels $a,b,c$ le numérateur est défini sur tout $\mathbb{R}$ . On retire l'ensemble des racines du dénominateur $(dx+e)$ qui est le singleton $(-e/d)$ et on a le domaine de $h$ : \[ \mathcal{D}_h = \mathbb{R} \setminus \{ -\frac{e}{d} \} \] Le domaine de dérivabilité pour le numérateur est $\mathbb{R}$ tout entier, de même pour le dénominateur, mais il faut retirer les racines du polynôme $(dx+e)^2$ qui apparaît au dénominateur de la dérivée, ainsi on a le même intervalle de dérivabilité et de définition pour $h$ . Le calcul donne: \[ h'(x)= \frac{ (2ax+b)(dx+e) - (ax^2+bx+c) \times d}{(dx+e)^2} \] En simplifiant on se ramène à: \[ h'(x) = \frac{adx^2+2aex+(be-cd)}{(dx+e)^2} \] Il est intéressant de constater que la constante vaut le déterminant des vecteurs $(b\, ; c)$ et $(d\, ; e)$ .

Etude de cas

Si $d$ est nul alors $h$ n'est rien d'autre qu'un polynôme du second degré, la fonction est alors définie et dérivable sur tout $\mathbb{R}$ et sa dérivée est une fonction affine.  Sinon on distingue des sous-cas, mais que $e$ soit nul ou non ne change rien à la nature de la fonction, de même si $c$ est nul. La valeur de $b$ ne modifie aussi que le positionnement de $h$ , seul $a$ donne deux résultats différents. Si $(a=0)$ alors on a une hyperbole, sinon le résultat est plus complexe.

Question 2 - Rapport entre une fonction et sa dérivée.

Le domaine de $g$ est l'intersection entre celui de $f$ et $f'$ auquel on retire les racines de $f$ . Or celui de $f'$ est toujours inclus dans celui de $f$ ce qui permet d'exprimer simplement: \[ \mathcal{D}_g = \mathcal{D}_{f'} \setminus \{ f=0 \} \] Le calcul donne: \[ g' = \frac{f'' f - f'^2}{f^2} \] On cherche une condition nécessaire sur $f$ et $f''$ pour que $g'$ soit strictement positive. On part donc de l'hypothèse $(g'>0)$ sur son domaine de définition. On a donc: \[ f f'' - f'^2 >0 \] car $f^2$ est strictement positive sur le domaine étudié (on a retiré l'ensemble de ses racines) il vient alors la condition nécessaire: \[ f f'' > f' ^2 \] On sait qu'un carré est au moins positif, il nous importe peu de savoir si $f'$ s'annule ou non, la conclusion est donc: \[ f f'' > 0 \] Cela revient à dire qu'en tout point $x$ du domaine de définition de $g'$ la valeur de $f(x)$ et celle de $f''(x)$ sont non nuls et de même signe. On peut donner comme exemple la fonction: \[ f(x) = \frac{1}{x-1} \] En dérivant successivement on trouve: \[ f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2} \qquad f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3} \] Et  la fonction $g$ et sa dérivée valent: \[ g(x)=-\frac{1}{x-1} \qquad g'(x)=\frac{1}{(x-1)^2} \] Il est important de constater la négativité de $f$ et $f''$ sur $] -\infty\, ; 1[$ et leur positivité sur $]1\, ; +\infty[$ . Ils ont même signe sur chaque intervalle de définition de $g'$ . Toutes les fonctions citées, c'est-à-dire $f$ et ses dérivées successives ainsi que $g$ et sa dérivée, sont définies sur $\mathbb{R}$ privé de 1.

Question 3 - Etude d'un exemple.

Le domaine de définition et de dérivabilité est identique et vaut $\mathbb{R}$ privé des 3 réels suivants: -1, 0 et +2. Pour dériver on peut conserver la forme factorisée ou la développer: \[ f'(x) = - \frac{x^4+2x^3-5x^2+4x+4}{x^2(x-2)^2(x+1)^2} \] C'est la forme obtenue en développant avant de dériver. Si l'on dérive tel quel on trouve: \[ f'(x) = - \frac{x(x+2)(x+1)(x-1)-4(x+1/2)(x-2)}{x^2(x-2)^2(x+1)^2} \] Dans tous les cas étudier le numérateur s'avère très délicat. Pour disposer d'une méthode purement algébrique, on pourra se reporter au lien suivant:

http://serge.mehl.free.fr/anx/equ4_ferrari.html

Il s'agit de la méthode de Ferrari, les calculs sont longs mais on finit par aboutir au résultat. Nous donnons pour la suite seulement les valeurs approchées des deux solutions $\alpha$ et $beta$: \[ \alpha = -3.6 \qquad \beta=0.55 \] La fonction $f'$ est strictement positive sur $]\alpha\, ; \beta[$ et strictement positive sur: \[ ]-\infty\, ; \alpha[ \; \cup \; ]\beta \, ; +\infty[ \] Quant à la fonction $f$ on peut calculer explicitement son signe: \[ \begin{array}{|c|ccccccccccccc|} \hline \\ x & - \infty & & -2 & & -1 & & 0 & & 1 & & 2 &  & +\infty \\ \hline \\ x+2  & & - & 0 & & & & & & & & & + &  \\ \hline \\ x+1  & & - &  & & 0 & & & & & & & + &  \\ \hline \\ x  & & - & & & & & 0 & & & & & + &  \\ \hline \\ x-1  & & - & & & & & & & 0 & & & + &  \\ \hline \\ x-2  & & - & & & & & & & & & 0 & + &  \\ \hline \\ f(x)  & & - & 0 & + & || & - & || & + & 0 & - & || & + & \\ \hline \end{array} \] Le graphe de la fonction est le suivant, sachant que la courbe change de direction en les deux racines de sa dérivée:

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