Exercice 6.1 - Vecteur pente

Solution

Question 1 - Calcul des vecteurs directeurs pente et unitaire.

Calcul des coordonnées

Le coefficient directeur de $f$ est $\sqrt{7}$ qu'on retrouve en ordonnée du vecteur pente qu'on note $\vec{v}$ . Son abscisse est 1 : \[ \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{7} \end{pmatrix} \] Le vecteur unitaire $\vec{u}$ est lié à $\vec{v}$ par la relation : \[ \vec{u} = \frac{1}{v} \vec{v} \] Cette opération permet de rendre n'importe quel vecteur (non nul) unitaire. La norme du vecteur $\vec{v}$ se calcule d'après le théorème de Pythagore: \[ v = \sqrt{ 1^2 + \displaystyle \sqrt{7} ^2 } = \sqrt{8} \] La racine carrée de 8 s'écrit aussi sous la forme $2\sqrt{2}$ et on aboutit aux coordonnées de $\vec{u}$ : \[ \vec{u} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{7} \end{pmatrix} \]

Graphique

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On choisit par exemple de placer $A$ sur l'axe des abscisses. Il a alors pour coordonnées $(1/\sqrt{7}\, ; 0)$ . Il reste deux possibilités pour $B$ et on choisit de le placer plus en avant. Ses coordonnées ne sont pas l'objet de la question, mais nous pouvons les calculer. Il suffit de constater que son abscisse $x_B$ et son ordonnée $y_B$ sont liées par deux relations: \[ \begin{cases} y_B = \sqrt{7} x_B - 1 & \text{car il est sur la droite} \\ (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 = 25 & \text{car $AB$ vaut 5} \end{cases} \] Les coordonnées de $A$ étant connues le système se résout aisément. Une autre méthode consiste directement à calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ car nous connaissons un point, sa longueur et le vecteur $\vec{u}$ avec lequel il est colinéaire. Sachant que ce dernier est unitaire, on obtient la relation: \[ \overrightarrow{AB} = 5 \times \vec{u} \] qui donne les deux coordonnées : \[ \overrightarrow{AB} = \frac{5}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{7} \end{pmatrix} \] Ce qui répond à la question posée. Si en plus on veut connaître les coordonnées de $B$ il suffit de translater $A$ par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ce qui donne : \[ x_B = x_A + \frac{5}{2\sqrt{2}} \qquad y_B = y_A + \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} \]

Question 2 - Intersection de droites et colinéarité.

L'équation $(f=g)$ est équivalente après simplification à : \[ (\sqrt{7}-m) x = 2 \] Il n'y a pas de solution pour $(m=\sqrt{7})$ et il s'agit de la situation où les deux droites sont parallèles. L'observation de l'ordonnée à l'origine (-1 pour l'une et +1 pour l'autre) indique qu'elles ne peuvent être confondues. Il vient alors deux cas possibles:

$m=\sqrt{7}$ : dans ce cas, il n'y a pas de solution.

$m \neq \sqrt{7}$ : il existe une seule solution, c'est-à-dire un seul point d'intersection $I$ d'abscisse : \[ x_I = \frac{2}{\sqrt{7}-m} \] et dont l'ordonnée se calcule en utilisant l'équation cartésienne de l'une des deux droites étudiées. Par exemple avec $g$ : \[ y_I = \frac{2m}{\sqrt{7}-m} +1  = \frac{\sqrt{7}+m}{\sqrt{7}-m} \]

Vecteur unitaire $\vec{w}$

Il y a deux vecteurs unitaires, pour chaque sens, $\vec{w}$ et le calcul donne : \[ \vec{w} = \pm \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \] Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires si et seulement si les deux droites sont parallèles, ce qui correspond au cas $(m=\sqrt{7})$ . Cela nous évite de poser le déterminant, mais on peut retrouver vite le résultat ainsi. Ci-dessous, on dessine le cas $(m=-1)$ :

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Question 3 - Etude d'une famille de tangentes à une parabole.

Le discriminant vaut 13 et les deux racines sont : \[ \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \] La dérivée se calcule terme à terme : \[ h'(x) = 2x-3 \] C'est une fonction affine qui s'annule en le point d'abscisse $3/2$ et négative avant et positive après. Ce qui permet de dresser le tableau de variations de la fonction $h$ : \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 3/2 & & +\infty \\ \hline \\ h'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \\ h(x) & & \searrow & -13/4 & \nearrow & \\ \hline \end{array} \] L'équation de la tangente en le point $M$ à la parabole est donnée par la formule : \[ y = h'(x_M) (x-x_M) + h(x_M) \] on remplace $x_M$ par le réel $m$ et on développe, ce qui donne : \[ y = (2m-3) x - (m^2+1) \] La droite a pour coefficient directeur un nombre qui est $h'(m)$ et donc qui s'annule une fois, la tangente en le sommet $3/2$ est horizontale. Les tangentes pour les points situés à gauche du sommet sont décroissantes et celles à droite sont croissantes au sens strict. L'ordonnée à l'origine est toujours située sous le nombre -1.

Question 4 - Comparaison entre deux tangentes.

L'illustration qui suit représente le cas $(m=2)$ . On rappelle que le point $N$ est fixe et $M$ mobile sur la parabole.

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Sachant que $h(-2)$ vaut 9 on a : \[ \overrightarrow{NM} = \begin{pmatrix} m+2 \\ m^2-3m-10 \end{pmatrix} \] La tangente $\mathcal{T}_M$ a pour coefficient directeur $(2m-3)$ ce qui donne le vecteur pente : \[ \vec{u}_M = \begin{pmatrix} 1 \\ 2m-3 \end{pmatrix} \] Pour connaître celui de la tangente en $N$ il suffit de remplacer $m$ par l'abscisse correspondante, c'est-à-dire -2 et on trouve : \[ \vec{u}_N = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix} \] Le déterminant vaut alors : \[ 1 \times (-7) - (2m-3) \times 1 = -2m-4 \] Il est nul en le réel -2, ce qui correspond au cas où $M$ rencontre $N$ . Enfin il est strictement négatif à droite de -2 et strictement positif à gauche.