Enoncé
Soit $(a>1)$ avec $A(a\, ; \sqrt{a}), B(\sqrt{a}\, ; a)$. Placer $A$ et $B$, calculer les coordonnées du milieu de $[AB]$. Montrer que $(AB)$ est parallèle à la droite d'équation $(y=-x)$ et perpendiculaire à celle vérifiant $(y=x)$. Justifier que ces deux dernières propriétés sont aussi vérifiées si $(0<a<1)$. Calculer $AB$.
Indications
La formule de calcul du milieu découle du théorème du milieu d'un triangle. Le parallélisme se démontre en comparant les pentes des droites. L'orthogonalité se calcule aussi sur les coefficients. La longueur d'un segment se déduit avec le théorème de Pythagore.
Solution
Placer les points
Si l'on dispose de la longueur $a$ et des courbes des fonctions carrée et racine, il suffit d'associer à l'abscisse $a$ son ordonnée par la fonction racine pour trouver $A$ et associer à l'ordonnée $a$ son abscisse par la foncion carrée pour trouver $B$. On note $\Delta$ la droite d'équation $(y=x)$
{C}[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"176","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"614","typeof":"foaf:Image","width":"673"}}]]
Coordonnées du milieu
La formule de calcul du milieu de deux points $A$ et $B$ est la suivante: \[ M \left( \frac{x_A+x_B}{2} \, ; \frac{y_A+y_B}{2} \right) \] On les retrouve en appliquant le théorème des milieux au triangle de sommets $A$ et $B$ ainsi que l'intersection entre les parallèles aux axes passant par $A$ et $B$. Cette construction donne deux triangles, chacun permet d'aboutir à la conclusion que chaque coordonnée de $M$ est le milieu de celles de $A$ et $B$.
La droite $\mathcal{D}$ tracée ci-dessous intercepte le triangle en $M$ tout en étant parallèle à l'un des côtés. Elle coupe donc l'autre côté par son milieu, ce dernier côté est vertical, les mêmes proportions sont respectées sur l'axe des ordonnées. Donc $y_M$ est le milieu de $y_A$ et $y_B$. Le même raisonnement s'applique à $\mathcal{D}'$ pour déduire l'abscisse $x_M$.
{C}[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"177","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"614","typeof":"foaf:Image","width":"673"}}]]
Le résultat est donc le suivant: \[ x_M = \frac {x_A+x_B}{2} = \frac{\sqrt{a}+a}{2} \] On se rend compte du même résultat pour $y_M$. Ce qui signifie que $M$ appartient à la droite $\Delta$.
Parallélisme
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. Celui de la droite $(y=-x)$ vaut -1. Quant à celui de $(AB)$ on calcule la pente à partir de ses deux points déjà connus $A$ et $B$: \[ \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-a}=-1 \] Le même résultat montre le parallélisme.
Orthogonalité
Deux droites de coefficients directeurs non nuls $m$ et $m'$ sont orthogonales si et seulement si les coefficients vérifient: \[ m \times m' = -1 \] Nous en apportons la preuve dans la section 3 du chapitre 8 (Vecteur normal). Le coefficient de $(AB)$ vaut -1 et celui de $\Delta$ vaut 1, ce qui donne le résultat.
Cas $(0<a<1)$
Les coordonnées de $M$, le parallélisme et l'orthogonalité vus précédemments restent vraies si $a$ est compris entre 0 et 1. En effet la seule contrainte est $(a>0)$ car nous travaillons sur la racine carrée du nombre $a$. De plus pour diviser par $a-\sqrt{a}$ il nous a fallu tenir compte de l'hypothèse $(a\neq 1)$ et nous avions plus précis: $(a>1)$. A présent, il est connu que tous les résultats démontrés le sont pour $a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{0\, ; 1\} $.
Calcul de la longueur $AB$
La longueur $AB$ est donnée par la formule: \[ AB = \sqrt { \left( y_B-y_A \right) ^2 + \left( x_B-x_A \right) ^2 } \] qu'on peut prouver avec le théorème de Pythagore. Le résultat est le suivant: \[ AB= \begin{cases} \sqrt{2a} (\sqrt{a}-1) & \text{si} \, a>1 \\ \sqrt{2a} (1-\sqrt{a}) & \text{si} \, 1>a>0 \end{cases} \] Ce qu'on résume avec la valeur absolue par: \[ AB= \sqrt{2a} \left| \sqrt{a} -1 \right| \]