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Enoncé

Voir livre pour l'énoncé ou le lien http://tekmath.com/problème-angles-et-distances

Indications

Question A5

a/ Quelle est la définition d'une base vue en cours? Chapitre "Vecteurs".
b/ Comment passe-t-on de $A$ à $M_n$ en utilisant les déplacements $M_0 \leftarrow A$ et $M_0 \leftarrow M_1$ ?
c/ Utliser la formule adéquate dans cette situation parmi celles proposées dans le chapitre "Produit scalaire".

Question A6

a/ Quel est le lien entre les deux angles?
b/ Comment passe-t-on d'un angle à un autre. Le calcul du cosinus se fait avec une formule, on veut la valeur exacte, utilisant les racines carrées. Ne pas s'inquiéter devant la complexité des nombres trouvés. On facilitera l'expression en notant $a$ le nombre $\sqrt{3}/2$ .
c/ Trouver un encadrement de $\gamma_0/(\pi/192)$ . L'objectif est de partitionner l'angle $\pi$ en 192 parties et de repérer l'angle $\gamma_0$ entre deux d'entre elles.

Question A7

a/ Faire un dessin pour répondre plus rapidement à la question.
b/ Idem

Solution

Question A5 - Une base adaptée au problème.

Le dessin a été proposé dans la correction de la question A2. Nous le proposons ici avec une grille de taille 1 pour les cases.

(a) Base

On a montré dans le cours que tout couple de vecteurs non colinéaires forment une base du plan. Cela se traduit par la formule: \[ \det \left( \vec{u} \, ; \vec{w} \right) \neq 0 \] pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ . On tient compte ici de $\overrightarrow{M_0A}$ et $\overrightarrow{M_0M_1}$ qui vérifient bien la condition de non colinéarité, on exprime leur déterminant pour le prouver, sachant que les coordonnées sont les suivantes: \[ \overrightarrow{M_0A} \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{M_0M_1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2/3 \end{pmatrix} \] D'où le résultat: \[ \det \left( \overrightarrow{M_0A}\, ; \overrightarrow{M_0M_1} \right) = 7 \times \frac{2}{3} - (-2+1) = \frac{20}{3} \]

(b) Décomposition

En règle générale, une décomposition utilise la relation de Chasles. Elle consiste entre autres à introduire un point, pour savoir lequel il suffit de faire un dessin:

Nous écrivons $\overrightarrow{AM_n}$ en introduisant $M_0$ : \[ \overrightarrow{AM_n} = \overrightarrow{AM_0} + \overrightarrow{M_0M_n} \] On obtient une somme dont le premier élément est un vecteur de la base, il n'y a plus besoin de le modifier si ce n'est de préciser que le sens est opposé à celui de la base: \[ \overrightarrow{AM_0} = -1 \times \overrightarrow{M_0A} \] Ainsi la première coordonnée sera $-1$ . Pour la seconde, nous remarquons que les points $M$ sont placés sur une droite et à des abscisses entières, une application directe du théorème de Thalès donne: \[ \frac{M_0M_1}{M_0M_n} = \frac{1}{n} \] La seconde coordonnée est $n$ : \[ \overrightarrow{AM_n} = (-1) \, \overrightarrow{M_0A} + (n) \overrightarrow{M_0M_1} \] Ceci est valable pour tout entier relatif $n$ .

(c) Calcul de norme et du produit scalaire

Le calcul des normes se fait avec les coordonnées: \[ M_0A = \sqrt{ 7^2 + (-2)^2} = \sqrt{53} \approx 7.28 \] De même pour $M_0M_1$ : \[ M_0M_1 = \sqrt{ 1^2 + \left( \frac{2}{3} \right) ^2 } = \frac{1}{3} \, \sqrt{13} \approx 1.20 \] Le produit scalaire se calcule facilement lorsque les coordonnées sont connues: \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \; | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = 7 \times 1 + (-2) \times \frac{2}{3} = \frac{17}{3} \approx 5.67 \] Si les deux vecteurs étaient colinéaires, le produit scalaire vaudrait le produit des normes, soit : \[ \sqrt{53} \times \frac{1}{3} \times \sqrt{13} \approx 8.79 \]

Question A6 - Encadrement de l'angle $\gamma$

Les formules sont montrées dans le chapitre 7 intitulé "Trigonométrie" : \[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \]

(a) Duplication de l'angle

L'angle $\pi/3$ est le double de $\pi/6$ . Le premier vaut $60^\circ$ et le second $30^\circ$ . Et l'on a montré la formule dite de duplication de l'angle: \[ \cos^2 \theta = \frac{\cos (2\theta) + 1}{2} \] Nous noterons à présent $\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et la formule sera utilisée sous la forme : \[ \cos \theta = \sqrt{ \frac{x+1}{2}} \] où $x$ est le nombre $\cos (2\theta)$ .

(b) Suite d'angles

L'angle $\pi/12$ ( $15^\circ$ en degrés) est la moitié de $\pi/6$ d'où: \[ \cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{2}} \] avec le nombre $a$ défini à la question précédente. Puis l'angle $\pi/24$ ( $7^\circ 30'$ en degrés et minutes) est la moitié de $\pi/12$ avec la même formule, on remplace $x$ par le résultat trouvé pour $\cos (\pi/12)$ et cela donne: \[ \cos \frac{\pi}{24} = \sqrt{ \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{2}} +1}{2}} \] On simplifie l'expression en faisant apparaître le numérateur et dénominateur, sous forme de racines carrées: \[ \frac{ \sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2 \sqrt{2}}} \] Puis l'angle $\pi/48$ qui vaut 3 degrés et 45 minutes est la moitié de $\pi/24$ . La formule donne: \[ \cos \frac{\pi}{48} = \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} \] On enchaîne de la même manière pour les deux angles suivants: \[ \cos \frac{\pi}{96} = \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} }{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}} \] cet angle vaut $1^\circ 52' 30''$ . Le dernier angle $\pi/192$ en est la moitié, c'est-à-dire 56 minutes d'arc et 15 secondes. Presque 1 degré (qui vaut 60 minutes d'arc) et son cosinus est donné par: \[ \cos \frac{\pi}{192} =  \frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a+1}+\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{2}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} + \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} }}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}}} \] Le cosinus de l'angle nul vaut 1, et celui de $\pi/192$ en est proche, il vaut environ $0.999 866$ . En découpant l'angle $\pi$ en 192 parties nous obtenons le demi-disque et ses parties suivantes:

(c) Encadrement

Nous n'avons pas d'information sur l'angle $\gamma_0$ sauf son cosinus, puisqu'il apparaît dans le calcul du produit scalaire de la question  5(c) : \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = \frac{17}{3} \] Dans le chapitre "Produit scalaire" nous montrons aussi la formule : \[ \left\langle \overrightarrow{M_0A} \, | \overrightarrow{M_0M_1} \right\rangle = M_0A \times M_0M_1 \times \cos \gamma_0 \] D'où le résultat exact: \[ \cos \gamma_0 = \frac{17}{\sqrt{13}\sqrt{53}} \] Ce nombre vaut environ $0.648$ et nous allons calculer les cosinus des angles: \[ \cos \left( p \frac{\pi}{192} \right) \] pour l'entier $p$ variant de 0 à 192. Une propriété de cette suite est sa stricte décroissance. Le maximum est en $(p=0)$ et il s'agit du cosinus de l'angle nul, qui vaut 1. Et son minimum est le dernier terme, qui est négatif. Ainsi il existe un entier $p_0$ tel que : \[ \cos \left( p_0 \frac{\pi}{192} \right) > \cos \gamma_0 > \cos \left( (p_0+1) \frac{\pi}{192} \right) \] Plutôt que de tout calculer, utilisons la fonction arc-cosinus sur la calculatrice qui à partir d'un cosinus, donne l'angle qui lui correspond entre $0$ et $\pi$ . On trouve: \[ \gamma_0 \approx 0.866 \, \text{rad} \] En divisant cet angle par $\pi/192$ on trouve: \[ \frac{\gamma_0}{\pi/192} \approx 52.945 \] On prend alors $p_0=52$ et on vérifie que les cosinus sont rangés dans l'ordre recherché: \[ \cos \left( 52 \times \frac{\pi}{192} \right) \approx 0.659346 \] Puis l'angle suivant: \[ \cos \left( 53 \times \frac{\pi}{192} \right) \approx 0.646956 \] On constate l'encadrement sachant que: \[ \cos \gamma_0 \approx 0.647648 \] Et il est plus proche de l'angle $53\pi/192$ . Cela correspond environ à un angle compris entre 49 degrés et 50. On met en évidence ci-dessous les secteurs concernés en rouge, le 52ème et le 53ème:

Question A7 - Suite d'angles $\gamma$ .

(a) Suite à deux valeurs

Le vecteur $\overrightarrow{M_0M_n}$ est colinéaire à $\overrightarrow{M_0M_1}$ donc l'angle $\gamma_n$ est soit identique à $\gamma_0$ soit il vaut un demi-tour en plus. On a: \[ \forall n \in \mathbb{Z} \qquad \overrightarrow{M_0M_n} = n \overrightarrow{M_0M_1} \] Ainsi pour les entiers positifs, le sens est le même. D'où: \[ \forall n \in \mathbb{N} \qquad \gamma_n = \gamma_0 \] Pour les entiers relatifs strictement négatifs il s'agit de l'opposé. Ainsi on peut décomposer l'angle: \[ \gamma_n = (\overrightarrow{M_0A}\, ; \overrightarrow{M_0M_1}) + \pi \] où $\pi$ représente le tour effectué $(\overrightarrow{M_0M_1}\, ; \overrightarrow{M_0M_n}) $ D'où: \[ \forall n <0 \qquad \gamma_n = \gamma_0 + \pi \] On en déduit le cosinus qui est opposé pour un angle et l'autre: \[ \forall n \in \mathbb{Z}\setminus \{0\} \qquad \cos (\gamma_n) = \frac{n}{|n|} \cos (\gamma_0) \] cette façon de présenter permet de tout réunir sous une seule formule.

(b) La suite $p$

La suite $p$ est constante pour $n$ entier naturel est vaut $p_0$ soit 52. Si $(n<0)$ il s'agit de l'angle $(\gamma_0+\pi)$ . L'encadrement est le suivant: \[ p_0 \, \frac{\pi}{192} + \pi \leq \gamma_0+\pi \leq (p_0+1) \, \frac{\pi}{192} + \pi \] En factorisant les deux membres aux extrêmes par $\pi/192$ on trouve: \[ \forall n<0 \qquad p_n = 192 + 52 = 244 \]

Fin de la question A7