Enoncé
Résoudre $\mathcal{E}$, tracer les courbes, et déterminer les points d'intersection entre elles pour les quatre fonctions:
- $f(x)=x^2+1$
- $g(x)=x^2-1$
- $h(x)=\sqrt{2} x^2 - \sqrt{10}$
- $i(x)=-2x^2+2$
Indications
La résolution se fait en suivant la méthode présentée dans cette sous-section. Le tracé est facilité en recherchant un point particulier et une symétrie. Les intersections se retrouvent graphiquement pour avoir une idée du résultat et se montrent par l'algèbre, avec égalité des expressions liées aux paraboles.
Solutions
Les quatre fonctions sont des trinômes du second degré avec le coefficient $b$ nul. La résolution se fait en revenant à la parabole la plus basique: $y=x^2$. Puis nous calculons le sommet des paraboles qui sous cette forme est atteint pour l'abscisse 0, ainsi elles ont toutes pour axe de symétrie celui des ordonnées. Tracer sur une calculatrice leur allure permet de se donner une idée de la situation et corriger ses fautes potentielles, mais il est toujours bon de calculer à la main quelques valeurs pour comprendre l'influence du terme $a$ accompagnant le carré de la variable $x$ et le paramètre $c$. Ces deux coefficients n'agissent pas de la même façon sur la transformation de la parabole de base $(y=x^2)$ .
Question 1 - Résolution de l'équation $\mathcal{E}$
- $ f(x)=0 \iff x^2=-1 $
Cette équation n'a pas de solution.
La courbe $\mathcal{C}_f$ ne rencontre pas l'axe des abscisses.
- $ g(x)=0 \iff x^2=1 \iff x \in \{-1\, ; 1\} $
La courbe $\mathcal{C}_g$ intercepte l'axe des abscisses en -1 et 1.
- $ h(x)=0 \iff x^2=\sqrt{5} \iff x \in \{ -\sqrt[4]{5} \, ; \sqrt[4]{5} \} $
Le nombre $\sqrt[4]{5}$ est la racine carrée de $\sqrt{5}$, on compose à deux reprises la racine carrée à partir du nombre 5. Il vaut approximativement 1.495 .
- $ i(x)=0 \iff x^2=1$
C'est la même équation vérifiée par $g$.
Question 2 - Tracé des paraboles.
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Chacune des courbes admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Le sommet est atteint en l'abscisse 0 et son ordonnée est la valeur du terme $c$. On calcule quelques valeurs sur le tableau qui suit. Le choix des abscisses se porte sur les cinq nombres suivants : $\{ 0\, ; 0.5\, ; 1\, ; 1.5\, ; 2 \}$ . Il suffit ensuite d'exploiter la symétrie suivant l'axe des ordonnées pour en déduire l'image des opposés. Cette propriété se traduit de manière analytique par l'équation: $$ \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x)=f(-x) $$ Les quatre valeurs strictement positives apportent donc quatre autres points pour le tracé. Les valeurs qui suivent sont approximées au centième. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 \\ \hline \\ f(x) & 1 & 1.25 & 2 & 3.25 & 5 \\ \hline \\ g(x) & -1 & -0.75 & 0 & 1.25 & 3 \\ \hline \\ h(x) & -3.16 & -2.81 & -1.75 & 0.02 & 2.49 \\ \hline \\ i(x) & 2 & 1.5 & 0 & -2.5 & -6 \\ \hline \end{array}$$
Question 3 - Points d'Intersection
La courbe $\mathcal{C}_i$ est la seule des quatre dont les branches sont dirigées vers bas, et puisque son sommet est le plus haut situé sur le même axe que les trois autres, il vient qu'elle intercepte toutes les courbes. Le graphique nous aide déjà sur cette voie. Mais puisque la fenêtre d'affichage est limitée, il est possible que les autres courbes se coupent aussi entre elles en dehors du cadre. Tout l'intérêt de bien poser un problème et savoir mener un calcul réside dans cette limitation de l'observation. De plus, nous levons complètement les doutes par la démonstration. L'intuition est elle-même mise à l'épreuve, si une intersection se dessine entre $g$ et $h$, il est moins facile de se prononcer sur l'équation: $f(x)=h(x)$ .
La recherche algébrique d'une intersection revient encore à la résolution d'une équation polynômiale: $$ f(x)=g(x) \iff x^2+1=x^2-1 \iff 2 = 0 $$ Les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ne se coupent pas. Le fait d'écrire $(2=0)$ dans l'expression logique précédente n'est pas une erreur, nous n'affirmons l'égalité entre ces deux nombres mais plutôt qu'il y a intersection si et seulement si 2 vaut 0. Le raisonnement se termine par le constat que puisque cette dernière propriété est impossible, il en va de même de l'équation posée sur les courbes $(f(x)=g(x))$ . Elles ne peuvent se couper. Le comportement des branches de ces deux courbes est identique à celui de deux droites parallèles, à un détail près: plus l'observation se situe vers les infinis et plus elles se rapprochent l'une de l'autre de part et d'autre de la parabole $(y=x^2)$ . $$ f(x)=h(x) \iff (\sqrt{2}-1) x^2 = 1+\sqrt{10} $$ Le carré de $x$ vaut un nombre strictement positif, il existe alors deux solutions distinctes que l'on obtient en extrayant la racine carrée:
$$ x= \pm \sqrt{ \frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{2}-1} } $$
Nous obtenons deux abscisses, pour déterminer entièrement les points il reste à trouver les ordonnées. On s'économise un calcul en se rappelant que les courbes ont même axe de symétrie, donc les ordonnées des deux points sont identiques. Si l'on note $x_1$ l'abscisse positive alors:
$$ \begin{align} f(x_1) & = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{2}-1} - \sqrt{10} \\ & = \frac{ \sqrt{2} \times (\sqrt{10}+1) }{\sqrt{2}-1} - \frac{ \sqrt{10} \times (\sqrt{2}-1) }{\sqrt{2}-1} \\ & = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{10} }{\sqrt{2}-1} \end{align} $$