Enoncé
On change les valeurs des coordonnées : \[ \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]
- Que vaut leur déterminant? Donner les coefficients $\alpha, \beta, \gamma$ et $\delta$ ?
- Quelles sont les coordonnées de $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ dans la nouvelle base?
- Donner les nouvelles coordonnées des points $(1\, ; 0)$ et $(0\, ; 1)$ .
- Soit $\mathcal{D}$ une droite. Son équation suivant la nouvelle base est une expression : \[ Y = mX+\lambda \] où $X$ et $Y$ désigne les coordonnées d'un point $M$ suivant la nouvelle base. Donner les équations des axes $(O\vec{\imath})$ et $(O\vec{\jmath})$ .
- Soient $A(6\, ; 3)$ et $B(2\, ; 2)$ . Donner l'équation cartésienne suivant l'ancienne puis la nouvelle base de la droite $(AB)$ .
- Montrer que le parallélisme et la colinéarité sont conservés lors d'un changement de base.
Indications
- Le déterminant se calcule directement avec la formule donnée en cours. Les coefficients recherchés sont ceux qui interviennent lors de l'inversion du système. On passe de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ en fonction de $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ au système : $ \quad \vec{\imath} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v} \quad \vec{\jmath} = \gamma \vec{u} + \delta \vec{v} $ .
- La réponse est dans celle à la question 1.
- Un point $A$ a pour coordonnées celles du vecteur $\overrightarrow{OA}$ où $O$ est le centre du repère.
- On ne demande pas la preuve qu'il existe une telle équation. Le nombre $X$ est la graduation sur le nouvel axe $(O\vec{u})$ et $Y$ la graduation sur le nouvel axe $(O\vec{v})$ . Utlisez le fait que $O$ est un point des droites étudiées et dont on connaît un autre point d'après la question 3.
- On peut calculer les coordonnées de $A$ et $B$ dans la nouvelle base. Ce qui donne deux équations à deux inconnues $m$ et $\lambda$ . Ou alors caractériser l'appartenance d'un point $M$ de coordonnées $(X,Y)$ à la droite $(AB)$ par une relation de colinéarité entre deux vecteurs. Cette dernière méthode justifie au passage l'existence d'une équation cartésienne pour toute droite dans toute base du plan.
- Parrallélisme et colinéarité sont liés. Il suffit de montrer une propriété. Les objets ne changent pas de forme suivant le choix de la base. C'est leur repérage qui change. On peut montrer que la condition de colinéarité de deux vecteurs est la même suivant les bases $(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})$ et $(\vec{u}\, ; \vec{v})$ et se contenter de cet exemple pour éviter la généralité.
Solution
Question 1 - Déterminant de deux vecteurs. Inversion d'un système.
Le déterminant $\det(\vec{u}\, ; \vec{v})$ vaut $(1 \times 1 - 2 \times 2)$ soit $-3$ . De plus on a le système : \[ \begin{align*} \vec{u} & = \vec{\imath} + 2 \vec{\jmath} \\ \vec{v} & = 2 \vec{\imath} + \vec{\jmath} \end{align*} \] On peut multiplier la première équation par 2 et lui ôter la seconde pour obtenir le vecteur $\vec{\jmath}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . De même pour obtenir $\vec{\imath}$ . On trouve : \[ \vec{\imath} = -\frac{1}{3} \vec{u} +\frac{2}{3} \vec{v} \qquad \vec{\jmath} = \frac{2}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{v} \] Les coefficients recherchés sont alors : \[ \alpha = \delta = -\frac{1}{3} \qquad \beta = \gamma = \frac{2}{3} \] Ci-dessous l'ancien repère représenté avec l'origine $O$ et les deux vecteurs de la base $(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})$ directeurs des axes $(Ox)$ et $(Oy)$ avec enfin les nouveaux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ que nous plaçons ailleurs pour plus de lisibilité.
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Question 2 - Nouvelles coordonnées des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$.
Le couple de vecteurs $(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})$ forme l'ancienne base. Et le couple $(\vec{u}\, ; \vec{v})$ la nouvelle. Si l'on considère un vecteur quelconque $\vec{a}$, ses coordonnées dans l'ancienne base sont les coefficients $p$ et $q$ qui apparaissent lorsqu'on l'écrit en fonction de $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ . Nous avons vu dans le cours qu'il est possible d'exprimer tout vecteur $\vec{a}$ à l'aide d'un même couple de vecteurs fixés, dès lors qu'ils sont non colinéaires. Ainsi le couple $(\vec{u}\, ; \vec{v})$ est une base. On a déjà trouvé l'expression du vecteur $\vec{\imath}$ sur cette base. Ses coordonnées sont donc lisibles dans la réponse à la question 1 : \[ \vec{\imath} \; \left(-\frac{1}{3} \, ; \frac{2}{3} \right) \; \text{dans la nouvelle base} \] De même pour le vecteur $\vec{\jmath}$ dont les coordonnées sont $(2/3 \, ; -1/3)$ dans la nouvelle base. Ci-dessous, nous présentons la façon d'obtenir les anciens vecteurs vecteurs à partir d'une combinaison des nouveaux, à gauche pour $\vec{\imath}$ et à droite pour $\vec{\jmath}$ .
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Question 3 - Nouvelles coordonnées de points.
Soit $A(x,y)$ un point du plan de coordonnées $x$ et $y$ dans l'ancienne base. Cela se traduit par la relation: \[ \overrightarrow{OA} = x \vec{\imath} + y \vec{\jmath} \] Il nous suffit d'exprimer les vecteurs de l'ancienne base dans la nouvelle pour obtenir les nouvelles coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OA}$ et cela donne alors aussi les nouvelles coordonnées de $A$ : \[ \begin{align*} \overrightarrow{OA} & = x \vec{\imath} + y \vec{\jmath} \\ & = x \left( -\frac{1}{3} \vec{u} +\frac{2}{3} \vec{v} \right) \; + \; y \left( \frac{2}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{v} \right) \\ & = \frac{2y-x}{3} \vec{u} + \frac{2x-y}{3} \vec{v} \end{align*} \] Le point $A$ possède comme nouvelle abscisse le réel $(2y-x)/3$ et comme nouvelle ordonnée le réel $(2x-y)/3$ . Il n'est pas utile pour traiter la question d'aborder le cas général comme nous venons de le faire, mais cela permet de clarifier le sujet. Le point $(1\, ; 0)$ noté $I$ est l'extrémité du vecteur $\vec{\imath}$ lorsque l'origine est $O$ donc ses coordonnées sont déjà calculées dans la réponse à la question 2, il s'agit de celles du vecteur $\vec{\imath}$ . De même les coordonnées du point $(0\, ; 1)$ noté $J$ sont celles du vecteur $\vec{\jmath}$ .
Ci-dessous, nous modifions la grille pour qu'elle corresponde à la nouvelle base. Et en jaune nous explicitons les coordonnées du vecteur $\vec{\imath}$ suivant cette nouvelle base. Les projections suivant les nouveaux axes ne sont pas orthogonales à l'arrivée, mais elles sont toujours des projections parrallèlement à une droite donnée.
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Question 4 - Equations des axes suivant le repère.
Dans l'ancien repère l'axe $(O\vec{\imath})$ est la droite d'équation $(y=0)$ . Dans le nouveau repère constitué du même point $O$ et des nouveaux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ on suppose que son équation est paramétrée par les deux réels $m$ et $\lambda$ par la relation : \[ \forall X, Y \in \mathbb{R} \quad Y=mX+\lambda \] La méthode consiste à utiliser deux points appartenant à l'axe qui sont $O$ et $J$ . Comme $O$ ne change pas de coordonnées alors, en remplaçant $X$ et $Y$ par zéro on trouve que $\lambda$ est nul. Puis $I$ appartient à cet axe, on remplace $X$ et $Y$ par ses nouvelles coordonnées pour trouver $m$ : \[ \frac{2}{3} = m \times \left( -\frac{1}{3} \right) \] Le coefficient $m$ vaut -2. Le même procédé permet de trouver un coefficient directeur égal à -1/2 et une ordonnée à l'origine nulle pour l'axe $(O\vec{\jmath})$ .
Question 5 - Equation d'une droite dans le nouveau repère.
Dans l'ancienne base
Le coefficient directeur se calcule en posant le taux d'accroissement entre $A$ et $B$ : \[ m = \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} = \frac{3-2}{6-2} = \frac{1}{4} \] Puis on utilise par exemple l'appartenance de $B$ à la droite pour en déduire l'ordonnée à l'origine : \[ y_B = m x_B + \lambda \] et on obtient : $ \lambda = 3/2 $ .
Dans la nouvelle base
Diverses approches sont possibles. Nous proposons celle qui passe par le calcul des nouvelles coordonnées de $A$ et $B$. Pour cela on cherche les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : \[ \overrightarrow{OA} = 6 \vec{\imath} + 3 \vec{\jmath} = 3 (2 \vec{\imath} + \vec{\jmath}) = 3 \vec{v} \] De même on trouve que : \[ \vec{u}+\vec{v} = 3 (\vec{\imath}+\vec{\jmath}) \] et comme $\overrightarrow{OB}$ correspond à 2 fois le vecteur $(\vec{\imath}+\vec{\jmath})$ on en déduit qu'il vaut les deux tiers du vecteur somme $(\vec{u}+\vec{v})$ . D'où les coordonnées dans la nouvelles base: \[ A(0\, ; 3) \qquad B\left( \frac{2}{3}\, ; \frac{1}{3} \right) \] L'appartenance de $A$ à la droite donne directement l'ordonnée à l'origine puisque c'est $A$ qui correspond à ce point dans le nouveau repère. Et on trouve $m$ avec l'appartenance de $B$ : \[ \lambda = 3 \qquad m = -\frac{7}{2} \] La droite représentait une fonction linéaire dans l'ancienne base, ici elle est affine. Mais elle reste droite, car les caractéristiques géométriques restent inchangées. Ci-dessous nous représentons en vert la droite $(AB)$ et l'on remarquera que $(OA)$ correspond à l'axe des ordonnées (pour le nouveau repère) . Il est intéressant de positionner le point qui est d'abscisse 1 dans la nouvelle base, il suffit de se déplacer à partir de $A$ suivant $\vec{u}$ puis suivant $-7\vec{v}/2$ .
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Question 6 - Invariance de certaines propriétés par changement de base.
Tout d'abord remarquons que deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires. On a en fait une seule question à se poser : montrer que la colinéarité est conservée lors d'un changement de base. C'est une évidence. Prenons seulement l'exemple de l'exercice entre les deux bases $(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})$ et $(\vec{u}\, ; \vec{v})$ . Soit deux vecteurs $\vec{p}$ et $\vec{q}$ qui sont colinéaires du point de vue de l'ancienne base. On sait qu'il existe un nombre $k$ tel que : \[ \vec{p} = k \vec{q} \] On remarquera au passage que la base n'intervient pas dans cette relation, c'est intrinsèque aux deux vecteurs $\vec{p}$ et $\vec{q}$ mais pour s'en convaincre prenons les coordonnées de chacun des vecteurs, on suppose qu'il s'agit de $p_1$ et $p_2$ pour $\vec{p}$ et $q_1$ et $q_2$ pour $\vec{q}$ dans l'ancienne base. C'est-à-dire : \[ \begin{align*} \vec{p} & = p_1 \vec{\imath} + p_2 \vec{\jmath} \\ \vec{q} & = q_1 \vec{\imath} + q_2 \vec{\jmath} \end{align*} \] Le changement de base permet d'écrire le vecteur $\vec{p}$ suivant la nouvelle base : \[ \vec{p} = \frac{-p_1+2p_2}{3} \vec{u} + \frac{2p_1-p_2}{3} \vec{v} \] La colinéarité donne les deux égalités $(p_1=kq_1)$ et $(p_2=kq_2)$ dès le départ. Ce qui donne: \[ \frac{-p_1+2p_2}{3} \vec{u} + \frac{2p_1-p_2}{3} \vec{v} = k \frac{-q_1+2q_2}{3} \vec{u} + k \frac{2q_1-q_2}{3} \vec{v} \] Le membre de gauche de cette dernière égalité est le vecteur $\vec{p}$ exprimé dans la nouvelle base et le membre de droite est $k$ fois le vecteur $\vec{q}$ exprimé dans la nouvelle base. La proportionnalité s'exprime avec le même coefficient $k$ dans l'ancienne et la nouvelle base.