Enoncé à retrouver dans le livre.
Erratum : à la question 5 il faut lire : \[ \frac{1}{r_n} \sum_{k=0}^n c_k \] la somme commence pour l'indice $(k=0)$ et non pas 1.
Indications
- Il s'agit d'une suite qui a été étudiée en cours. La somme des premiers entiers.
- On demande à chaque fois la formule générale. Les calculs sont simples et directs. Faire un tableau pour rassembler les valeurs.
- Le successeur de $\mathcal{R}_n$ est $\mathcal{R}_{n+1}$ . La comparaison se fait sur leurs aires. Il s'agit d'obtenir une équation reliant $r_{n+1}, r_n, c_n$ et le nombre entier $n$ .
- Le nombre $k^2$ doit vous rappeler l'aire d'un carré. On part de la somme à gauche pour obtenir le membre de droite. Il faut savoir manipuler une expression avec le symbole $\Sigma$ ou alors revenir aux expressions avec les pointillés. Les propriétés de base de l'addition (associativité, commutativité) suffisent amplement, c'est la façon de rassembler les termes qui permet d'obtenir un résultat.
- Il s'agit de voir l'expression comme un rapport. Interpréter le numérateur et le dénominateur.
- Ecrire le premier membre en fonction des termes $(c'_{k}-c'_{k-1})$ et simplifier. Le membre de droite est le terme d'une suite connue.
Solution
Question 1 - Premiers termes
La suite $b$ est celle qui donne pour $b_n$ la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls. La somme commence à partir de $(k=0)$ mais il n'est pas utile, on peut écrire le sigma à partir de $(k=1)$ . Ainsi on a les premiers termes: \[ \begin{align*} b_0 & = 0 \\ b_1 & = 0 +1 \\ b_2 & = 0 + 1 + 2 \\ b_3 & = 0 + 1 + 2 + 3 \\ b_4 & = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 \end{align*} \] La formule a été vue en cours : \[ \forall n \in \mathbb{N} \qquad b_n = \frac{n(n+1)}{2} \] On donne une figure pour les points d'indice 0 à 4. Puis une autre jusqu'à 7 pour plus de lisibilité :
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Question 2 - Calcul des aires
Le carré $\mathcal{C}_n$ a pour côté deux points successifs de la suite $B$ . La longueur se déduit directement de la définition de $b$ : \[ B_nB_{n+1} = b_{n+1} - b_n = n+1 \] L'aire $c_n$ en est le carré : \[ c_n = (n+1)^2 \] Le rectangle a pour longueur $OB_n$ qui vaut $b_n$ et on a vu sa valeur dans la question 1. La largeur est $B_nD_n$ et elle vaut l'entier $n$ . D'où : \[ r_n = \frac{n^2(n+1)}{2} \] Les premières valeurs sont données dans le tableau ci-dessous: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \\ c_n & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 & 64 \\ \hline \\ r_n & 0 & 1 & 6 & 18 & 40 & 75 & 126 & 196 \\ \hline \end{array} \]
Question 3 - Comparaison entre deux rectangles.
Le mieux est d'effectuer un dessin. Le grand rectangle $\mathcal{R}_{n+1}$ est constitué du rectangle $\mathcal{R}_n$ auquel on ajoute à droite le carré $\mathcal{C}_n$ et un rectangle au dessus :
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L'aire de $\mathcal{R}_n$ et celle de $\mathcal{C}_n$ sont connues. Le petit rectangle supérieur a pour longueur $A_nD_n$ c'est-à-dire $b_n$ et sa largeur vaut $A_nA_{n+1}$ , c'est-à-dire 1. D'où le résultat : \[ r_{n+1} = r_n + c_n + b_n \] On peut l'écrire en rassemblant les termes de la suite $r$ et expliciter $b_n$ : \[ r_{n+1} - r_n = c_n + \frac{n(n+1)}{2} \]
Question 4 - Somme des carrés des premiers entiers.
Collision de termes.
On part du membre de gauche qui est la somme des carrés des $n$ premiers entiers non nuls. On peut partir de $(k=1)$ au lieu de $(k=0)$ qui est inutile. Chaque $k^2$ s'écrit $c_{k-1}$ et d'après la question 3 : \[ c_{k-1} = r_k-r_{k-1} - b_k \] Il est important de comprendre les indices. Ici $k$ est un indice muet, les relations sont valables pour tout entier $k$ plus grand que 1. A partir de maintenant on somme les termes d'indices $k$ variant de 1 à $n$ : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = \sum_{k=1}^n c_{k-1} \] et on utilise la relation précédente : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = \sum_{k=1}^n ( r_k-r_{k-1} - b_k ) \] Si l'on développe cette dernière somme pour mieux comprendre son mécanisme, on remarque la chose suivante : \[ \sum_{k=1}^n ( r_k-r_{k-1} - b_k ) = (r_1-r_0-b_1) \, + \, (r_2-r_1-b_2) \, + \, (r_3-r_2-b_3) \, + \ldots + \, (r_n-r_{n-1}-b_n) \] En rassemblant les termes différemment, on constate que les $r_k$ s'éliminent entre eux. Au final il reste seulement $r_n$ et la somme des termes $b_1$ à $b_n$ . Le résultat partiel est alors : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = r_n - \sum_{k=1}^n b_k \]
Manipulation d'une expression avec $\Sigma$
La somme dans le membre de droite est avec la formule donnant $b_k$ : \[ \sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} \] On écrit le terme général à l'intérieur de la somme de la façon suivante : \[ \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2} k^2 + \frac{1}{2} k \] Il suffit de se rappeler que le symbole $\Sigma$ désigne une somme et l'associativité de l'opération $+$ permet de "casser" en deux : \[ \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k^2 \, + \, \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k \] Le membre de droite est une somme dont le premier terme est la moitié de ce que l'on cherche (la somme des carrés des premiers entiers) et le terme de droite est la moitié de $b_n$ .
Reprise du calcul
Cette manipulation nous a permis d'écrire : \[ \sum_{k=1}^n k^2 = r_n -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k^2 - \frac{1}{2} b_n \] D'où en réunissant les deux $\Sigma$ : \[ \frac{3}{2} \sum_{k=1}^n k^2 = r_n - \frac{1}{2} b_n \] On développe le membre de droite en fonction de $n$ avec les questions 1 et 2 : \[ r_n - \frac{1}{2} b_n = \frac{n^2(n+1)}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} \] Il reste à diviser par 2/3 pour voir apparaître le résultat.
Question 5 - Limite d'un rapport d'aire.
Interprétation
Le nombre $r_n$ est l'aire du rectangle $A_0B_nD_nA_n$ et le $\Sigma$ représente la somme des aires des carrés de $\mathcal{C}_1$ à $\mathcal{C}_n$ . On constate que la famille des carrés est contenue dans le seul rectangle $\mathcal{R}_{n+1}$ . Le rapport étudie donc à quelle vitesse évolue l'aire du rectangle face à celle de la famille des carrés. Calculons déjà ce rapport pour un entier $n$ donné.
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Calcul
La somme des $c_k$ est celle calculée à la question 4, mais il faut prendre garde qu'ici on la calcule jusqu'à $(n+1)$ puisque $c_k=(k+1)^2$ : \[ \sum_{k=0}^n c_k = \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \] on calcule donc le carré des $(n+1)$ premiers carrés non nuls, et il suffit de décaler l'indice $k$ d'un cran vers le haut : \[ \sum_{k=1}^{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{2} \] L'inverse de $r_n$ se déduit de la question 2 : \[ \frac{1}{r_n} = \frac{2}{n^2(n+1)} \] En développant, on trouve que le rapport vaut : \[ \frac{2n^2+7n+6}{3n^2} \]
Limite du rapport
La limite est visible puisque la fraction vaut : \[ \frac{2}{3} + \frac{7}{3n} + \frac{2}{n^2} \] En faisant tendre $n$ vers l'infini on trouve 2/3. Ce qui veut dire que plus $n$ est grand et plus la somme des carrés correspond à deux tiers du rectangle $\mathcal{R}_n$ .
Question 6 - Somme des cubes des premiers entiers.
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Le carré $\mathcal{C}'_n$ a pour aire $b_n^2$ . On utilise cette formule pour calculer la différence entre deux termes de la suite $c'$ : \[ \begin{align*} c'_{n+1}-c'_n & = b_{n+1}^2-b_n^2 \\ & = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} - \frac{n^2(n+1)^2}{4} \\ & = (n+1)^2 \times \frac{ (n+2)^2-n^2 }{4} \\ & = (n+1)^3 \end{align*} \] La différence entre les deux aires est le cube de $(n+1)$ . On peut donc écrire que pour tout entier $k$ non nul : \[ k^3 = c'_k - c'_{k-1} \] En effectuant la somme pour $k$ variant de 1 à $n$ les termes $c'$ s'éliminent. Il reste : \[ \sum_{k=1}^n k^3 = c'_n - c'_0 \] Et $c'_0$ est nul. Le membre de droite de l'égalité à démontrer n'est rien d'autre que le carré de $b_n$ . Or nous avons bien vu que l'aire du carré $\mathcal{C}'_n$ que l'on a noté $c'_n$ vaut $b_n^2$ . Ceci termine la question et la partie A.