Exercice 3.4 - Suite géométrique

Solution

Question 1- Premiers termes d'une suite géométrique.

Exemple 1

$(u_0=2)$ et $(q=3)$. La raison vaut 3, donc chaque terme est le triple du précédent, et l'on démarre à partir de 2: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & 2 & 6 & 18 & 54 & 162 & 486 & 1458 & 4374 & 13122 & 39366 \\ \hline \end{array} \] On montre dans la suite du cours la formule: \[ u_n=q^n \times u_0 \] qui dans ce cas vaut: \[ u_n=2 \times 3^n \]

Exemple 2

$(u_0=-1)$ et $(q=2)$. La raison vaut 2, donc chaque terme est le double du précédent, et l'on démarre à partir de -1: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & -1 & -2 & -4 & -8 & -16 & -32 & -64 & -128 & -256 & -512 \\ \hline \end{array} \] Ici le terme général s'exprime ainsi: \[ u_n=-2^n \] C'est la suite opposée à la suite des puissances de 2.

Exemple 3

$(u_0=10)$ et $(q=1/4)$. La raison vaut un quart, donc chaque terme est le quart du précédent, dit inversement un terme est le quadruple du suivant. Et l'on démarre à partir de 10: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \\ u_n & 10 & \frac{5}{2} & \frac{5}{8} & \frac{5}{32} & \frac{5}{128} & \frac{5}{512} & \frac{5}{2048} & \frac{5}{8192} & \frac{5}{32768} & \frac{5}{131072} \\ \hline \end{array} \] dans ce cas: \[ u_n=10 \times \left( \frac{1}{4} \right)^n = \frac{5}{\displaystyle 2^{2n-1}} \]

Question 2 - Calcul de la raison d'une suite géométrique.

On sait que $u_3$ vaut 25 et on sait aussi le relier à $u_1$ en appliquant deux fois de suite la définition d'une suite géométrique: \[ u_3=q \, u_2=q \, (q \, u_1) = q^2 \, u_1 \] Et on sait que $u_1$ vaut 5, d'où une équation dont la seule inconnue est celle que l'on recherche: \[ q^2=5 \] Il y a deux possibilités: \[ q=\pm \sqrt{5} \] Une seule est positive. Ce qui donne une seule solution: $q=\sqrt{5}$. Le premier terme vérifie: \[ u_1=q \, u_0 \] D'où: $u_0=\sqrt{5}$. Si l'on avait supposé $(q \leq 0 )$ alors ce serait l'opposé de la racine carrée de 5. Et le premier terme serait aussi l'opposé.

Question 3 - Exemple d'une suite géométrique qui n'est pas monotone.

Soit un entier $n$ quelconque: \[ u_{n+1}=(-1)^{n+1}=-1 \times u_n \] Ceci est l'expression d'une suite géométrique. Tous les termes de la suite sont reliés au suivant par une expression faisant intervenir une constante. Il est essentiel de trouver comme résultat une constante, par exemple: \[ u_{n+1}=(n+1) \times u_n \] ne représente pas une suite géométrique, le passage d'un terme à l'autre ne se fait pas avec la même raison. La conclusion est que $u$ définie dans la question est géométrique de premier terme 1 et de raison -1. On dit aussi qu'elle est alternée en raison d'un changement de signe à chaque étape. Et périodique car elle reproduit le même enchaînement $\{-1\, ; 1\}$. En deux étapes on revient à la même position, soit une période égale à 2.

Question 4 - Algorithme de calcul des termes d'une suite géométrique.

Cet algorithme est exposé dans la rubrique consacrée /livre/suite-géométrique il faut par contre modifier la fonction pour permettre à l'utilisateur d'indiquer combien de termes $N$ il veut dans son tableau. La structure générale est la suivante, en nommant $G$ la fonction prenant en argument un nombre $q$, un autre $u_0$ puis un entier $N$ et renvoie l'unique tableau rassemblant dans l'ordre les $N$ premiers termes de la suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$:

$G(q,u_0,N)$

Initialiser $u$ Tableau $N$ éléments, premier indice 0

$u[0] \leftarrow u_0$

Pour $i$ de 1 à $N$ Faire

$u[i] \leftarrow q \times u[i-1]$

FinPour

Afficher $u$