Enoncé
- Donner $u_{10}$ sachant que $u_0=1024$ et $\displaystyle q=\frac{1}{2}$.
- Soit $u$ une suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et $u_4=75$. Donner $q$. Y'a-t-il une seule valeur possible pour $q$?
- Soit $u$ une suite géométrique sachant $u_2=8$ et $u_5=1$. Donner $q$ et $u_0$.
- Soit $u$ une suite géométrique où l'un des termes est nul. Donner $q$ et $u_0$.
Remarque: Pour la question 4, c'est plus une discussion sur la suite $u$ qui importe au final.
Indications
Appliquer les propriétés 3.2 et 3.3 directement. Exercice sans difficulté.
Question 4: Qu'implique sur ces facteurs un produit nul?
Solution
Question 1 - Trouver un terme à partir du premier et de la raison.
On applique la propriété 3.3: \[ u_{10}=q^{10}\, u_0=\frac{1}{\displaystyle 2^{10}} \times 1024 \] Or 1024 est la puissance dix de 2, d'où: \[ u_{10}=1 \]
Question 2 - Trouver la raison à partir de deux termes.
On a: \[ u_4 = q^4\, u_0 \] En exploitant les deux hypothèses $(u_0=3)$ et $(u_4=75)$ on trouve l'équation: \[ q^4=25 \] L'extraction de la racine carrée dans les deux membres montre que: \[ q^2=\pm 5 \] Or $q^2$ est positif, donc seule la valeur positive sera prise en compte. En revanche on garde les deux possibilités pour la nouvelles extraction: \[ q= \pm \sqrt{5} \] Il y a donc deux solutions qui satisfont au problème. Ceci est récurrent dans les problèmes de recherche de signe. Si une puissance paire intervient, elle occulte le signe, et si c'est une puissance impaire alors le signe sera mis en évidence.
Question 3 - Trouver la raison et le premier terme à partir de deux autres.
Nous montrons par l'exemple la propriété 3.4 qui suit dans le cours: \[ u_5=q^5\, u_0 \qquad u_2=q^2\, u_0 \] Si la raison est nulle alors tous les termes deviennent nuls, ce qui n'est pas le cas, donc $(q\neq 0)$. On peut diviser par ce nombre et se servir de \[ u_0= \frac{1}{q^2} u_2 \] Ce qui permet de relier $u_5$ à $u_2$: \[ u_5=\frac{q^5}{q^2}\, u_2=q^3\, u_2 \] En remplaçant ce deux termes par leurs valeurs respectives on trouve: \[ q^3=\frac{1}{8} \] Comme précisé à la question 2, lorsque la puissance est impaire, il y a une seule possibilité. D'un point de vue analytique, cela revient à traiter une fonction strictement monotone telle que $(x \mapsto x^3)$. La raison $q$ vaut un demi et permet de remonter au premier terme: \[ u_0=\frac{1}{q^2}\, u_2=2^2\times 8=32 \]
Question 4 - Caractériser une suite géométrique dont un terme est nul.
Soit $N$ l'entier pour lequel $u$ s'annule. Or la propriété 3.3 donne: \[ u_N=q^N\, u_0=0 \] Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Ou bien $u_0$ est nul, et dans ce cas puisque pour tout entier $n$ on a $u_n$ qui est un produit dont $u_0$ est l'un des facteurs (Toujours la propriété 3.3 mais appliquée à tous les termes de la suite) alors tous sont nuls et la suite $u$ est la suite nulle. Et tout est possible quant à la valeur de $q$.
Ou bien $q^N$ est nul et dans ce cas peu importe la valeur de $N$ on a toujours une unique solution à cette équation qui est $(q=0)$. Toutes les valeurs sont possibles pour $u_0$, et la suite $u$ devient stationnaire dès le rang 1 égale à 0.