Enoncé
Montrer que si une fonction $F$ vérifie la propriété 2.1 alors, pour une condition supplémentaire sur $b$ que l'on précisera, on a: \[ F\left( \frac{a}{b} \right) = \frac{ F(a) }{ F(b) } \] De plus, montrer que pour $a,b,c$ positifs on a: $F(abc)=F(a)F(b)F(c)$. En déduire la formule plus générale: \[ F(a_1a_2\ldots a_n) = F(a_1)F(a_2)\ldots F(a_n) \] pour $n$ réels.
Indication
Interrogez-vous sur $F(1)$. Prenez soin de gérer les quantificateurs. Ne pas diviser par zéro.
Solution
De toute évidence pour que l'équation ait un sens, il faut déjà que $b$ et $F(b)$ soient non nuls. A partir de cette hypothèse supplémentaire, voyons si elle est suffisante pour permettre d'en déduire l'équation à partir de la propriété 2.1 selon laquelle: \[ \forall a,b \geq 0 \qquad F(ab)=F(a)F(b) \] Rappelons que la propriété implique que la fonction $F$ soit définie sur les réels positifs, rien n'indique qu'elle existe ou non sur les négatifs. Tout d'abord pour tout réel strictement positif $x$ on a en appliquant la propriété à $x$ et son inverse on a: \[ F \left( \frac{1}{x} \times x \right) = \left\{ \begin{array}{l} F(1) \\ F \left( \frac{1}{x} \right) F(x) \end{array} \right. \] Ce qui lie l'image d'un nombre à celle de son inverse: \[ F\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{F(1)}{F(x)} \] Si l'on applique la propriété 2.1 ainsi que cette relation à deux nombres $a,b$ sachant que $(a\geq 0)$ et $(b>0)$ alors: \[ F\left( \frac{a}{b} \right) =\frac{F(a)}{F(b)} \, F(1) \] Ce n'est pas la relation recherchée, en fait si mais il s'agit de montrer que $F(1)=1$. Appliquons la propriété 2.1 avec $(a=b=1)$: \[ F(1\times 1)=F(1)\times F(1) \] Ainsi $F(1)$ est égal à son carré et seuls deux nombres vérifient une telle propriété: 0 et 1. Supposons que cela soit 0. Dans ce cas, pour tout nombre $x$, ou bien son image par $F$ est nulle, ou bien c'est celle de son inverse à cause du lien: \[ F\left( \frac{1}{x} \right) F(x) = F(1) \] Rappelons l'hypothèse: Pour tout réel strictement positif $x$ son image par $F$ est non nulle. Ce qui implique que c'est $\displaystyle F\left( \frac{1}{x} \right) $ qui est nul. Mais le nombre $(1/x)$ est aussi strictement positif. Donc l'hypothèse émise doit s'appliquer aussi. Ainsi $F(1)$ ne peut valoir 0 mais 1.
Relation généralisée
Soient $a,b,c$ trois nombres positifs. On applique la propriété 2.1 à $(ab)$ et $c$ qui sont positifs: \[ F(abc)=F\left( (ab) c \right) =F(ab)F(c) \] Puis on applique à nouveau la propriété à $a$ et $b$. De même ce raisonnement vaut pour autant de nombres $a_1\, \ldots \, a_n$ quelque soit la valeur de l'entier $n$.