Solution

Question 1 - Valeurs aux entiers et allure de la courbe

Tableau de valeurs

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \\ \sqrt{x} & 0 & 1 & 1.4 & 1.7 & 2 & 2.2 & 2.4 & 2.6 & 2.8 \\ \hline \end{array} \]

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16  \\ \hline \\ \sqrt{x} & 3 & 3.2 & 3.3 & 3.5 & 3.6 & 3.7 & 3.9 & 4 \\ \hline \end{array} \]

Nous nous arrêtons à une précision au dixième, bien que le graphique soit tracé avec une meilleure précision. Pour une meilleure présentation nous doublons la taille des ordonnées par rapport aux abscisses.

Graphique représentant la fonction

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Question 2 - Etude sur l'intervalle $[0\, ; 1]$

On calcule ici onze valeurs de 0 à 1 avec un pas d'un dixième. La précision demandée est d'un centième: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \\ \sqrt{\frac{k}{10}} & 0 & 0.32 & 0.45 & 0.55 & 0.63 & 0.71 & 0.77 & 0.84 & 0.89 & 0.95 & 1 \\ \hline \end{array} \]

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Solution

De toute évidence pour que l'équation ait un sens, il faut déjà que $b$ et $F(b)$ soient non nuls. A partir de cette hypothèse supplémentaire, voyons si elle est suffisante pour permettre d'en déduire l'équation à partir de la propriété 2.1 selon laquelle: \[ \forall a,b \geq 0 \qquad F(ab)=F(a)F(b) \] Rappelons que la propriété implique que la fonction $F$ soit définie sur les réels positifs, rien n'indique qu'elle existe ou non sur les négatifs. Tout d'abord pour tout réel strictement positif $x$ on a en appliquant la propriété à $x$ et son inverse on a: \[ F \left( \frac{1}{x} \times x \right) = \left\{ \begin{array}{l} F(1) \\ F \left( \frac{1}{x} \right) F(x) \end{array} \right. \] Ce qui lie l'image d'un nombre à celle de son inverse: \[ F\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{F(1)}{F(x)} \] Si l'on applique la propriété 2.1 ainsi que cette relation à deux nombres $a,b$ sachant que $(a\geq 0)$ et $(b>0)$ alors: \[ F\left( \frac{a}{b} \right) =\frac{F(a)}{F(b)} \, F(1) \] Ce n'est pas la relation recherchée, en fait si mais il s'agit de montrer que $F(1)=1$. Appliquons la propriété 2.1 avec $(a=b=1)$: \[ F(1\times 1)=F(1)\times F(1) \] Ainsi $F(1)$ est égal à son carré et seuls deux nombres vérifient une telle propriété: 0 et 1. Supposons que cela soit 0. Dans ce cas, pour tout nombre $x$, ou bien son image par $F$ est nulle, ou bien c'est celle de son inverse à cause du lien: \[ F\left( \frac{1}{x} \right) F(x) = F(1) \] Rappelons l'hypothèse: Pour tout réel strictement positif $x$ son image par $F$ est non nulle. Ce qui implique que c'est $\displaystyle F\left( \frac{1}{x} \right) $ qui est nul. Mais le nombre $(1/x)$ est aussi strictement positif. Donc l'hypothèse émise doit s'appliquer aussi. Ainsi $F(1)$ ne peut valoir 0 mais 1.

Relation généralisée

Soient $a,b,c$ trois nombres positifs. On applique la propriété 2.1 à $(ab)$ et $c$ qui sont positifs: \[ F(abc)=F\left( (ab) c \right) =F(ab)F(c) \] Puis on applique à nouveau la propriété à $a$ et $b$. De même ce raisonnement vaut pour autant de nombres $a_1\, \ldots \, a_n$ quelque soit la valeur de l'entier $n$.

Solution

Question 1 - Construction à la règle et au compas

On reprend le dessin proposé dans le cours. Il s'agit de reprendre l'algorithme de construction en remplaçant l'exemple $A(4\, ; 0)$ par le cas général où $A$ est d'abscisse $(a>0)$.

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Mettre en équation l'inconnue

C'est la longueur $AM$ qui est recherchée sachant que $OA$ vaut $a$ et $AB$ vaut 1. De plus $O,A,B$ sont alignés et $M$ est situé sur le cercle et la perpendiculaire à $(OB)$. Ces propriétés forment les données du problème. Nous commençons par l'orthogonalité entre $(AM)$ et $(AB)$. Le théorème de Pythagore s'applique au triangle rectangle $AMB$: \[ AM^2=MB^2-AB^2 \] Quant à $AB$ nous le connaissons, il nous manque $MB$.

Exploiter les hypothèses

Le point $M$ a la particularité d'être situé sur le cercle de diamètre $OB$. Ceci entraîne une propriété sur le triangle $OMB$: il est rectangle en $M$. Le théorème de Pythagore permet d'écrire: \[ OM^2+MB^2=OB^2 \] Nous connaissons $OB$ il reste à déterminer $OM$. Or un troisième triangle rectangle n'a pas été exploité: $OAM$. On a: \[ OM^2=AM^2+OA^2 \] $AM$ est la valeur recherchée, ce qui ne nous gêne pas de la voir apparaître. Et $OA$ est connue. Ainsi le problème peut être résolu: \[ \begin{aligned} AM^2 & = MB^2-AB^2 \\ & = ( OB^2-OM^2 ) - AB^2 \\ & = ( OB^2 - ( AM^2+OA^2) - AB^2 \end{aligned} \] D'où la relation finale entre l'inconnue et les données: \[ 2 \, AM^2 = OB^2 - AB^2-OA^2 \] Avec les valeurs proposées on a en notant $y$ l'ordonnée de $M$: \[ 2y^2=2a \] D'où: $y=\sqrt{a}$.

Question 2 - Moyenne géométrique

L'intérêt de présenter le résultat final en séparant l'inconnue et les données (sans appliquer les valeurs jusqu'à la fin) apparaît sur cette question. Il suffit de remplacer 1 par b. On passe de l'équation générale précédente :  \[ 2 \, AM^2 = OB^2 - AB^2-OA^2 \] au résultat suivant en appliquant les valeurs aux longueurs : \[ 2y^2 = (a+b)^2-a^2-b^2 \] D'où: \[ y=\sqrt{ab} \] L'ordonnée de $M$ est la racine carrée du produit $OA \times AB$, soit la moyenne géométrique.

Solution

Placer les points

Si l'on dispose de la longueur $a$ et des courbes des fonctions carrée et racine, il suffit d'associer à l'abscisse $a$ son ordonnée par la fonction racine pour trouver $A$ et associer à l'ordonnée $a$ son abscisse par la foncion carrée pour trouver $B$. On note $\Delta$ la droite d'équation $(y=x)$

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Coordonnées du milieu

La formule de calcul du milieu de deux points $A$ et $B$ est la suivante: \[ M \left( \frac{x_A+x_B}{2} \, ; \frac{y_A+y_B}{2} \right) \] On les retrouve en appliquant le théorème des milieux au triangle de sommets $A$ et $B$ ainsi que l'intersection entre les parallèles aux axes passant par $A$ et $B$. Cette construction donne deux triangles, chacun permet d'aboutir à la conclusion que chaque coordonnée de $M$ est le milieu de celles de $A$ et $B$.

La droite $\mathcal{D}$ tracée ci-dessous intercepte le triangle en $M$ tout en étant parallèle à l'un des côtés. Elle coupe donc l'autre côté par son milieu, ce dernier côté est vertical, les mêmes proportions sont respectées sur l'axe des ordonnées. Donc $y_M$ est le milieu de $y_A$ et $y_B$. Le même raisonnement s'applique à $\mathcal{D}'$ pour déduire l'abscisse $x_M$.

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Le résultat est donc le suivant: \[ x_M = \frac {x_A+x_B}{2} = \frac{\sqrt{a}+a}{2} \] On se rend compte du même résultat pour $y_M$. Ce qui signifie que $M$ appartient à la droite $\Delta$.

Parallélisme

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. Celui de la droite $(y=-x)$ vaut -1. Quant à celui de $(AB)$ on calcule la pente à partir de ses deux points déjà connus $A$ et $B$: \[ \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-a}=-1 \] Le même résultat montre le parallélisme.

Orthogonalité

Deux droites de coefficients directeurs non nuls $m$ et $m'$ sont orthogonales si et seulement si les coefficients vérifient: \[ m \times m' = -1 \] Nous en apportons la preuve dans la section 3 du chapitre 8 (Vecteur normal). Le coefficient de $(AB)$ vaut -1 et celui de $\Delta$ vaut 1, ce qui donne le résultat.

Cas $(0<a<1)$

Les coordonnées de $M$, le parallélisme et l'orthogonalité vus précédemments restent vraies si $a$ est compris entre 0 et 1. En effet la seule contrainte est $(a>0)$ car nous travaillons sur la racine carrée du nombre $a$. De plus pour diviser par $a-\sqrt{a}$ il nous a fallu tenir compte de l'hypothèse $(a\neq 1)$ et nous avions plus précis: $(a>1)$. A présent, il est connu que tous les résultats démontrés le sont pour $a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{0\, ; 1\} $.

Calcul de la longueur $AB$

La longueur $AB$ est donnée par la formule: \[ AB = \sqrt { \left( y_B-y_A \right) ^2 + \left( x_B-x_A \right) ^2 } \] qu'on peut prouver avec le théorème de Pythagore. Le résultat est le suivant: \[ AB= \begin{cases} \sqrt{2a} (\sqrt{a}-1) & \text{si} \, a>1 \\ \sqrt{2a} (1-\sqrt{a}) & \text{si} \, 1>a>0 \end{cases} \] Ce qu'on résume avec la valeur absolue par: \[ AB= \sqrt{2a} \left| \sqrt{a} -1 \right| \]

Solution

Question 1 - Distance entre deux nombres inférieure à un réel donné.

Résoudre une inéquation de la forme $f(x)\leq g(x)$ c'est chercher l'ensemble des abscisses $x$ sur $\mathbb{R}$ dont l'image par $f$ est plus petite que celle par $g$. C'est-à-dire chercher les parties de la courbe liée à $f$ qui sont sous celle de $g$. La fonction $f$ définie par $fx)=\left| x-a\right| $ est  la valeur absolue décalée par une translation horizontale de vecteur $(a\, ; 0)$. Dit autrement, il suffit de tracer la fonction valeur absolue en prenant comme origine le point $(a\, ;0)$. La fonction $g:x\mapsto \delta$ est constante, sa courbe est une droite horizontale. La résolution du problème : \[ |x-a| \leq \delta \] consiste à trouver l'ensemble des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés sous la "barre" $\delta$. Comme nous l'avons vu dans le cours, on peut aussi interpréter cela de manière géométrique. L'inéquation est vérifiée par l'ensemble des $x$ éloignés de $a$ d'une distance inférieure ou égale à $\delta$. L'ensemble solution $S_1$ est donc le segment centré en $a$ et de longueur $2\delta$ puisque la distance entre $a$ et chaque extrémité vaut $\delta$ . \[ S_1 = [ a-\delta\, ; a+\delta] \] Le fait que $\delta$ soit strictement positif montre que le segment est non vide et même non réduit au singleton $a$. Ce résultat est valable pour tout $a$ réel.

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Question 2 - Distance entre deux nombres inférieure à un réel donné.

Soit $S_2$ l'ensemble des solutions de l'inéquation : $f(x)>g(x)$. Les deux inéquations dont les solutions sont $S_1$ et $S_2$ forment une disjonction des cas. Tout réel $x$ vérifie ou bien la première ou bien la deuxième. Non seulement il en vérifie une, mais en plus il ne peut en vérifier qu'une. On en conclut : \[ S_1 \cup S_2 = \mathbb{R} \] d'après le fait que tout réel $x$ vérifie au moins l'une des deux. Et : \[ S_1 \cap S_2 = \emptyset \] du fait qu'aucun réel ne peut vérifier les deux. D'où le résultat : \[ S_2= ] -\infty\, ; a-\delta [ \; \cup \; ] a+\delta\, ; +\infty [ \] Résoudre $f(x)\geq g(x)$ consiste à réunir les solutions des deux problèmes : \[ f(x) > g(x) \qquad f(x)=g(x) \] Quant à la première inéquation, les solutions sont les éléments de $S_2$. Il reste à déterminer les réels vérifiant l'égalité: \[ |x-a| = \delta \] Les deux réels situés à une distance $\delta$ du nombre $a$ sont $(a-\delta)$ et $(a+\delta)$. On remarquera qu'il s'agit bien de la frontière entre $S_1$ et $S_2$. D'où l'ensemble $S_3$ cherché : \[ S_3 = ]-\infty\, ; a-\delta] \, \cup \, [a+\delta\, ; +\infty [ \]

Question 3 - Système d'inéquations avec valeur absolue.

On applique les résultats trouvés pour $(a=5\, ; \delta=2)$ en prenant $S_1$ et $(a=1\, ; \delta=3)$ en prenant $S_3$. Un système impose l'intersection entre les ensembles solutions de chaque inégalité. D'où l'ensemble : \[ ]3\, ; 7[ \quad \cap \quad ]-\infty\, ; -2] \, \cup \, [ 4\, ; +\infty [ \] Ce qui donne: $[4\, ; 7[$. Il s'agit de l'ensemble des réels situés à une distance inférieure stricte à 2 du nombre 5 et supérieure à 3 du nombre 1. L'entier 4 est compris et 7 est exclu. L'idéal dans la résolution est de vérifier géométriquement en superposant deux droites graduées pour chaque inégalité.

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Question 4 - Système de valeurs absolues avec 4 paramètres.

L'ensemble solution de l'inégalité : \[ |x-a| < \delta \] est d'après la question 1 : \[ S_1 = ] a-\delta\, ; a+\delta [ \] Puis l'ensemble $S_2$ solution de l'autre inégalité est : \[ S_2 = ] -\infty\, ; b-\lambda [ \; \cup \; ] b+\lambda\, ; +\infty [ \] L'hypothèse $(\delta>0)$ permet d'affirmer que quelle que soit la valeur de $a$ l'ensemble $S_1$ est non vide. L'hypothèse $(\lambda>0)$ n'a aucun intérêt particulier si ce n'est de situer $\lambda$ plus précisément. Mais cela ne change rien à la nature des ensembles $S_2$ possibles. Nous pourrions conclure que l'ensemble solution $S$ du système est l'intersection entre $S_1$ et $S_2$ mais soyons plus précis sur les diverses configurations.

Etude détaillée

Pour construire $S_1$ nous prenons les points autour de $a$ d'une distance plus petite que $\delta$. Pour $S_2$ il s'agit au contraire de considérer ceux qui sont suffisamment éloignés de $b$ d'une distance $\lambda$. Il y a quatre paramètres dans ce problème: $a,b,\delta,\lambda$. Pour simplifier, supposons que $b$ soit fixé n'importe où, ce qui n'enlève rien à la généralité du problème. Nous faisons se déplacer $a$ sur toute la droite réelle pour conserver l'aspect général. Cette manière de procéder, nous l'appliquons car après observation du dessin ci-dessous, il apparaît que l'ensemble $S_2$ lié à $b$ possède deux branches de longueurs infinies, alors que pour toute valeur de $\delta$ l'ensemble $S_1$ sera borné, c'est-à-dire de longueur finie.

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$a$ est loin de $b$

Lorsque $a$ est suffisamment loin de $b$ au point que la longueur $\delta+\lambda$ ne suffit pas à les joindre alors tout l'ensemble $S_1$ est inclus dans $S_2$. Et puisque nous en prenons l'intersection, le résultat est : \[ S=S_1 \] Ceci se produit lorsque la distance $|b-a|$ est supérieure stricte à $\delta+\lambda$. Mieux, les deux ensembles $S_1$ et $S_2$ sont ouverts. Si la distance $|b-a|$ vaut exactement $\delta+\lambda$ alors le résultat reste inchangé. D'où : \[ |b-a| \leq \delta+\lambda \iff S=S_1 \] Il existe une configuration où $a$ est à gauche de $b$ que nous exposons ci-dessous, et une autre où $a$ est à droite de $b$. On remarquera qu'il importe peu de comparer ici $\delta$ et $\lambda$. Ce qui diffère de la situation suivante.

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$a$ est proche de $b$

Il reste à traiter le cas manquant, lorsque $a$ et $b$ sont plus proches l'un de l'autre que la somme $\delta+\lambda$. Tout d'abord en faisant venir $a$ de la gauche de $b$ jusqu'à ce que $S_1$ comporte des éléments qui ne sont pas dans $S_2$ il existe une configuration où cela se fait sans que $S_1$ ne touche la partie droite de $S_2$. Et ceci est valable quelque soit les valeurs de $\delta$ et $\lambda$. Le dessin ci-dessous illustre la situation avec $a$ à l'intérieur du segment exclu par $S_2$, c'est-à-dire lorsque $\delta$ est strictement plus petit que $\lambda$, ce qui n'est nécessaire, $\delta$ peut être plus grand, la situation reste envisageable. On a : \[ S = ] b-\lambda\, ; a+\lambda [ \]

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Si $(\delta<\lambda)$ alors on peut envisager la possibilité de voir $S_1$ complètement inclus dans le segment $]b-\lambda\, ; b+\lambda[$. Dans ce cas il n'y a pas de solution: $S=\emptyset$ .

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Mais si $(\delta>\lambda)$ alors il y a la possibilité de voir $S_1$ atteindre les deux parties de $S_2$. On aura : \[ S= ] a-\delta\, ; b-\lambda [ \; \cup \; ]b-\lambda \, ; a+\delta [ \]

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Enfin dans tous les cas, $S_1$ finit par n'avoir d'intersection qu'avec la partie droite de $S_2$ sans être entièrement inclus : \[ S = ] b+\lambda\, ; a+\lambda [ \]

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Toutes les situations ont été abordées, il y en a deux principalement. La première fut traité simplement, quant à la deuxième elle contient quatre sous catégories: deux cas qui peuvent se produire quelles que soient les valeurs de $\delta$ et $\lambda$ et deux autres cas suivant que $(\delta>\lambda)$ ou $(\delta<\lambda)$. L'égalité n'apporte rien de nouveau.

Question 5 - L'inconnue est plus proche d'un entier que d'un autre.

Cette fois-ci les deux membres de l'inégalité sont variables et constituent des distances. Fixons $n$ et $m$ en restant dans le cadre général, sans imposer de contrainte dessus. Mieux, l'hypothèse qu'ils sont entiers n'a pas d'importance. Plaçons les sur la droite graduée, il y a trois régions qui se forme, en supposant que $(n<m)$ la région à gauche de $n$ comprend uniquement des réels dont la distance à $n$ est plus petite strictement que celle à $m$. Celle à droite de $m$ ne vérifie pas l'inégalité. Quant au segment $[n\, ; m]$ il y a en lui deux sous parties. En notant $i$ leur milieu, il apparaît que sur $[n\, ; i[$ nous vérifions l'inégalité mais pour pour $[i\, ; m]$. D'où l'ensemble solution : \[ n<m \Rightarrow S_1 = ] -\infty \, ; i [ \] où : $i=\displaystyle \frac{n+m}{2} $ . Si $(n>m)$ alors les rôles entre $n$ et $m$ sont inversés, on prend le complémentaire de $S_1$ en prenant garde de retirer $i$ car l'inégalité est stricte : \[ S_2 = ]i\, ; +\infty[ \] Enfin si $(n=m)$ alors il n'y a pas de solution car cela revient à résoudre une inégalité de la forme $X<X$. Nous avons raisonner en utilisant notre intuition, ce qui n'est pas complètement rigoureux, bien que le discours soit clair. Voici la formalisation pour le cas $(n<m)$ :

1. Si $(x<n,m)$ alors $(n-x<m-x)$ et chacun est positif, donc cela revient à écrire: $|n-x|<|m-x|$ ce qui est équivalent à l'inégalité de la question. Ainsi, tout réel $x$ plus petit strictement que $n$ et $m$ la vérifie.
2. Si $(x>n,m)$ alors $|x-n|<|x-m|$ revient à écrire $(x-n<x-m)$ c'est-à-dire $(m<n)$ ce qui contredit l'hypothèse $(n<m)$. Il n'y a pas de réel vérifiant l'inégalité se situant à la fois au dessus de $n$ et $m$.
3. Si $(n<x<m)$ alors l'inégalité s'écrit: $(x-n<m-x)$ . Ce qui est équivalent à : \[ x<\frac{n+m}{2}=i \] D'où l'introduction de $i$ et le partage du segment $[n\, ;m]$ .

On donne l'exemple de $S_1$ :

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