Enoncé
On donne : $f(x)=x^2 $ ainsi que les points $A(0.7\, ; 0.49)$ et $B(0.5\, ; 0.25) $ .
- Donner l'équation de $\mathcal{D}$ passant par $A$ et $B$ . Tracer $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}_f$ .
- Montrer que $\mathcal{D}$ vérifie le critère de bonne approximation de manière analytique. On impose que $\mathcal{I}$ soit centré en $A$ .
- Préciser une relation entre les bornes de $\mathcal{I}$ et $\delta$ .
- Donner l'intervalle le plus grand lorsque $(\delta=0.5)$ puis $(\delta=0.1)$ .
- Soit $M$ un point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $m$ comprise entre $0.5$ et $0.7$ . Refaire les calculs pour la droite $(AM)$ .
- Comment peut-on comparer deux droites vérifiant le critère de bonne approximation, pour distinguer la meilleure des deux? Quelle est la meilleure entre $(AB)$ et $(AM)$ ?
- On suppose que $M$ est mobile. Que se passe-t-il quand $M$ tend vers $A$ ?
Indications
- Utiliser les coordonnées de $A$ et $B$ . Aucune difficulté.
- Considérer un nombre $\delta$ et chercher une condition nécessaire sur l'intervalle $\mathcal{I}$ pour vérifier la propriété de bonne approximation. L'intervalle est centré en $A$ , trouver en quel point la différence $f-g$ est la plus forte.
- Il s'agit d'étudier l'image de $|f(x)-g(x)|$ pour le maximum de cette quantité dans l'intervalle $\mathcal{I}$ . On résout une équation du second degré.
- Application directe de la formule à trouver en question 3.
- Il s'agit de donner l'équation de la droite avec un paramètre $m$ variable.
- On peut comparer l'intervalle pour une même précision imposée, ou comparer les précisions atteintes sur un intervalle donné.
- Reprendre l'équation de la droite et indiquer ce qu'elle devient lorsque $M$ tend vers $A$ .
Solution
Question 1- Equation de droite passant par deux points donnés.
Les points $A$ et $B$ ne sont pas alignés à la verticale, on peut donc trouver une équation de la forme \[ y=ax+b \] pour la droite $\mathcal{D}$ . Quant au coefficient directeur il se calcule à l'aide des quatre coordonnées par la formule: \[ \begin{align*} a & = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \\ & = \frac{0.49-0.25}{0.7-0.5} \\ & = \frac{0.24}{0.2} \\ & = 1.2 \end{align*} \] Puis l'ordonnée à l'origine peut se déterminer en appliquant l'équation à la relation d'appartenance $(B \in \mathcal{D} )$ . Le coefficient $b$ résout alors l'équation: \[ 2.5 = 1.2 \times 0.5 + b \] D'où le résultat: $b=0.35$ . L'équation recherchée est: \[ \mathcal{D} \; : \quad y = 1.2 \times x + 0.35 \] Le tracé donne, avec une grille de précision $10^{-1}$:
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Question 2 - Critère de bonne approximation.
Graphiquement nous constatons que la droite approche la courbe surtout entre $A$ et $B$. Le critère de bonne approximation énoncé en page 91 consiste à affirmer que pour toute précision $\delta$ on peut trouver un intervalle $\mathcal{I}$ contenant $A$ tel que tous les points de cet intervalle aient une image par $f$ proche de leur image par $g$ d'un écart plus faible que $\delta$.
La démonstration est classique. On part d'un réel strictement positif $\delta$. On considère que $\mathcal{I}$ existe déjà, et on choisit un réel $x$ en faisant partie. On estime la quantité \[ | f(x)-g(x) | \] L'objectif est de chercher une condition nécessaire sur $x$ telle que cette quantité soit plus petite que $\delta$. Et on observe si elle est aussi suffisante. Cela produit une condition nécessaire et suffisante sur l'intervalle $\mathcal{I}$ pour vérifier le critère.
En dehors de l'aspect purement technique, il est bon de constater l'aspect géométrique du critère, il est mentionné dans le cours. La droite $\mathcal{D}$ coupe la parabole en $A$, donc on peut s'approcher autant qu'on le souhaite des valeurs de $f$ en passant par $g$ qui est ici l'équation de la droite. Le calcul de $f(x)-g(x)$ donne: \[ f(x)-g(x) = x^2-1.2 x+0.35 \] Cette quantité désigne l'écart entre les deux courbes pour deux points situés sur une même verticale, elle tient compte du signe. Graphiquement elle est négative entre $B$ et $A$ et positive ailleurs. On reproduit ci-dessous la courbe représentant cette différence:
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On retrouve bien la région sur laquelle elle est négative et le reste est positif. Pour connaître la valeur absolue, on conserve la partie de la courbe située au dessus de l'axe des abscisses, et ce qui est en dessous est transformé par symétrie axiale comme ceci a été expliqué dans le chapitre 2, lorsqu'on compose avec une valeur absolue.
La résolution du problème consiste à trouver un intervalle $\mathcal{I}$ centré autour de $0.7$ tel que les éléments de $\mathcal{I}$ aient une image par $|f(x)-g(x)|$ plus petite que $\delta$. Graphiquement cela revient à résoudre ce qui suit:
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La symétrie de la parabole autour de la droite $(x=0.6)$ implique de rechercher l'extrémité droite du segment $\mathcal{I}$ qu'on a imposé centré en $A$. Avant d'entamer tout calcul, il faut savoir que la question est résolue, dans le sens où puisque 0.7 est une racine de la différence $f(x)-g(x)$ il advient d'après le théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe un intervalle centré en $0.7$ tel que tous les éléments de celui-ci aient une image par $f(x)-g(x)$ plus petite que $\delta$.
Question 3 - lien entre la précision $\delta$ et la taille de l'intervalle $\mathcal{I}$ .
On écrit: \[ \mathcal{I} = [ 0.7-\mu \, ; 0.7+\mu ] \] L'intervalle est centré en $A$ et le nouveau paramètre $\mu$ désigne l'ajustement à trouver en fonction de la précision $\delta$ recherchée. La symétrie indiquée précédemment implique qu'un majorant de la fonction $|f-g|$ est sa valeur en l'extrémité droite: \[ \forall x \in \mathcal{I} \qquad |f(x)-g(x)| \leq f(0.7+\mu)-g(0.7+\mu) \] Sa valeur est: \[ \mu (\mu+0.2) \] On doit la majorer par $\delta$. D'où l'inéquation du second degré reliant $\delta$ aux bornes de l'intervalle: \[ \mu^2+0.2\, \mu -\delta < 0 \] La résolution donne deux solutions: \[ \frac {-0.2 \pm \sqrt{0.04+4\delta}}{2} \] entre lesquelles la quantité est strictement négative. Ainsi une condition nécessaire est, en simplifiant les solutions trouvées: \[ \mu \in ] \frac{1}{10} (-1-\sqrt{1+100\delta}) \, ; \frac{1}{10} (-1+\sqrt{1+100\delta}) [ \] Seules les valeurs positives de $\mu$ sont utiles. Au final le lien est le suivant: \[ 0 < \mu < \frac{1}{10} \left( \sqrt{100\delta+1} - 1 \right) \]
Résumé
Nous avons tracé deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$ . L'une liée à $f$ et l'autre à $g$ . Nous avons étudié l'écart qui existe entre les deux quantités $f(x)$ et $g(x)$ . Ce qui représente la distance entre un point d'une courbe à celui situé sur la même verticale et sur l'autre courbe. L'étude se fait sur la fonction $|f-g|$ . Pour une précision fixée $\delta$ il apparaît que l'intervalle $\mathcal{I}$ centré en $0.7$ et de longueur \[ \frac{1}{5} \left( \sqrt{100\delta+1} - 1 \right) \] vérifie le critère de bonne approximation, et il est l'intervalle le plus grand. On trouve la valeur maximale de $\mu$ en tenant compte de la valeur en $(0.7+\mu)$ de la fonction $|f-g|$ représentée en bleu sur le dessin ci-dessous. La région grisée est celle où $\mathcal{D}$ est proche de la parabole $\mathcal{C}_f$ d'une distance inférieure à $\delta$. A gauche de $0.7$ elle est au dessus et à droite au dessus, en $0.7$ elle atteint la parabole au point $A$.
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Question 4 - Intervalle le plus grand sur lequel l'approximation jugée satisfaisante.
Une fois la question 3 entièrement traitée, celle-ci devient immédiate, il suffit d'appliquer la formule trouvée. Pour $\delta=0.5$ le maximum pour $\mu$ est: \[ \frac{1}{10} \left( \sqrt{51}-1 \right) \] soit environ $0.614$, d'où un intervalle $\mathcal{I}$ approchant: \[ ] 0.086 \, ; 1.314 [ \] Pour une précision plus fine $(\delta=0.1)$ le paramètre $\mu$ sera au plus égal à: \[ \frac{1}{10} \left( \sqrt{11}-1 \right) \] soit environ $0.232$ . L'intervalle sera environ: \[ ] 0.468\, ; 0.932 [ \] Certes il est plus resserré mais nous constatons que pour une précision 5 fois plus importante, le paramètre $\mu$ n'a été divisé que par 3 environ.
Question 5 - Calculs avec un point $M$ mobile.
Le coefficient vaut: \[ \frac{0.49-m^2}{0.7-m} = 0.7+m \] et le paramètre $b$ se déduit en appliquant la relation $ A \in (AM) $ : \[ b = 0.49 - (0.7+m) \times 0.7 = -0.7\, m \] On retrouve les résultats de la question 1 si l'on remplace $m$ par $0.5$ . L'équation de $(AM)$ est: \[ y = (m+0.7) x -0.7m \]
Question 6 - Comparaison de droites suivant le critère de bonne approximation.
On peut prendre comme critère de comparaison l'intervalle $\mathcal{I}$ pour une précision $\delta$ donnée. On calcule deux intervalles, l'un étant lié à la droite $(AB)$ et l'autre à $(AM)$ . On considère que la meilleure approximation est faite pour la droite ayant l'intervalle le plus grand. Seulement, il se peut qu'une fonction ait un intervalle plus grand mais que l'écart moyen à l'intérieur reste moins bon que pour l'autre fonction.
Prenons un exemple: soit la fonction $f$ d'équation $(f(x)=1)$ à approcher, certes cela n'a aucun intérêt d'approcher une fonction aussi simple, mais nous le faisons pour donner un exemple simple à comprendre. Les deux courbes suivantes approchent $\mathcal{C}_f$ . L'une d'elle est la droite d'équation $(y=0.8)$ et elle reste dans une ragion grisée de largeur $\delta=1$ . Tandis que l'autre courbe est une parabole qui passe dans la région grisée sur un plus court intervalle. Ainsi elle est une moins bonne approximation au sens des tailles d'intervalles. En revanche, la parabole peut atteindre de meilleure précisions. En effet, si nous imposons $(\delta=0.1)$ alors la droite $(y=0.8)$ n'aura aucun intervalle sur lequel elle approche $(y=1)$ alors que la parabole en possèdera toujours un quelque soit la valeur de $\delta$.
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Le critère de bonne approximation peut être l'intervalle le plus grand pour une précision donnée, mais aussi la meilleure précision pour un intervalle fixé à l'avance. C'est ce qui fait qu'on ne peut conclure entre $(AB)$ et $(AM)$ .
Question 7 - Notion de dérivation.
Nous n'égalisons pas $M$ et $A$ mais plutôt en étudiant l'équation de $(AM)$ nous observons ce qui se passe lorsque $M$ tend vers $A$ . Alors $m$ devient très proche de $0.7$ au point de l'approcher. Ainsi l'équation tend vers: \[ y = 1.4 x - 0.49 \] Le coefficient directeur devient le double de l'abscisse du point $A$. La droite $(AM)$ tend vers une droite particulière appelée tangente de $\mathcal{C}_f$ en $A$ .