Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux fonctions. On note par $S$ leur somme, et par $P$ leur produit. Préciser suivant les cas, une expression de $S, \, S', \, P$ et $P'$ ainsi que les domaines de définition en fonction de $f$ et $g$ .
- $f$ est une fonction quelconque et $g$ une fonction constante.
- $f$ est une fonction polynôme et $g$ est linéaire.
- $f$ et $g$ sont affines. Le domaine de $f$ est $]-5\, ; 7[$ et celui de $g$ est $]-\infty\, ; 6[$ .
Erratum : Il faut lire $P$ et $P'$ dans le livre, alors qu'il est écrit $P$ à deux reprises dans la phrase.
Indications
L'objectif est de mettre en évidence des relations classiques, lorsqu'une fonction $S$ ou $P$ peut être écrite suivant plusieurs qui ont chacune une propriété particulière. Il s'agit donc d'écrire $S$ et $P$ en fonction de $f$ et $g$ tout en simplifiant autant que possible.
Solution
Cas 1 - $f$ est quelconque et $g$ constante.
Somme avec une constante.
Puisque $f$ est quelconque nous ne pourrons apporter plus de précision. La fonction $g$ est constante. Ecrivons : \[ \forall x \in \mathbb{R} \quad g(x)=G \] La fonction $S$ s'écrit: \[ S(x) = f(x)+G \] Et sa dérivée est égale à celle de $f$ : \[ S'(x) = f'(x) \] C'est un résultat fondamental. Si deux fonctions sont égales à une constante additive près (c'est l'expression pour décrire le lien entre $S$ et $f$ ) alors elles ont même dérivées. Ceci parce que leur différence est une fonction constante. On l'interprète graphiquement en observant des variations identiques, même si les valeurs prises ne sont pas les mêmes, le mouvement décrit par les deux courbes est le même.
Produit avec une constante.
Si l'on multiplie une fonction $f$ par une constante $g$ alors on multiplie la dérivée par la même constante. Ainsi: \[ P'(x) = f'(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \] Comme $g$ est constante, sa dérivée est nulle, d'où: \[ P'(x) = G \, f'(x) \] Ceci parce que pour deux abscisses $x$ et $m$ données, leurs ordonnées sont écartées d'un facteur $G$ lorsqu'on les multiplie par ce même facteur: \[ \frac{P(x)-P(m)}{x-m} = G \, \frac{f(x)-f(m)}{x-m} \] En passant à la limite on trouve $P' = G \times f'$ .
Cas 2 - $f$ est un polynôme et $g$ est linéaire.
La somme entre $f$ et $g$ est un polynôme. Si $f$ est de degré $n$ avec les coefficients $a_p$ affectés au degré correspondant à l'indice p variant de $0$ à $n$ alors: \[ S(x) = a_n x^n + \ldots + a_2 x^2 + (a_1+\rho) x + a_0 \] où $\rho$ est le coefficient directeur de $g$ . Dériver un polynôme s'effectue terme à terme d'après la formule de la dérivée d'une somme. Un monôme $x^p$ se dérive en $px^{p-1}$ . On retire un degré en multipliant le monôme par le degré qu'il possédait. D'où : \[ S(x) = na_n x^{n-1} + \ldots + 2a_2 x + a_1 + \rho \] On pourrait plus simplement écrire: \[ S'(x)=f'(x)+g'(x) = f'(x)+\rho \] Si l'on multiplie $f$ par $g$ on trouve le polynôme: \[ P(x) = \rho ( a_n x^{n+1} + \ldots + a_2 x^3 + a_1 x^2 + a_0 x ) \] En dérivant on trouve le polynômé de degré $n$ dont le coefficient de degré $p$ vaut: \[ \rho \, (p+1) \, a_p \] On pourrait raisonner sur la formule du produit: \[ P'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) = \rho \, f'(x) \, x + \rho f(x) \] le terme $\rho \, f'(x) \, x $ donne le coefficient $\rho \, p \, a_p $ et le terme de droite donne le coefficient $\rho \, a_p$ au degré $p$ .
Cas 3 - $f$ et $g$ sont affines.
Le domaine de $S$ et $P$ est le même, il s'agit d'intersecter les deux domaines entre $f$ et $g$ . D'où \[ \mathrm{D}_f \cap \mathrm{D}_g = ] 5\, ; 6 ] \] Ecrivons: \[ f(x)=mx+\lambda \qquad g(x) = nx+\mu \] Le calcul des dérivées donne: \[ S'(x) = m+n \qquad P'(x) = 2nm \, x + (m\mu+n\lambda) \]