Exercice 5.3 - Dérivation de la fonction cubique

Solution

Question 1 - Calcul de l'équation d'une tangente.

Nous traçons la courbe $\mathcal{C}_f$ liée à la fonction cubique et les tangentes demandées. Leur équation se déduit directement de l'expression de $f$ et $f'$ trouvée dans le cours ainsi que de la formule donnée en page 95 : \[ \mathcal{T}_{-1} \; : \; y = f(-1) \left( x- (-1) \right) + f(-1) \] Ce qui donne : $ y = 3x+2 $ . De même, pour 0 on trouve l'axe des abscisses comme tangente. Et en $+1$ il s'agit de la droite $\mathcal{T}_{+1}$ d'équation : \[ y = 3x-2 \] On en déduit les tracés suivants avec une grille de précision $0.5$ :

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Question 2 - Position relative de la courbe cubique à ses tangentes.

Méthode

Il suffit d'effectuer la différence entre $f(x)$ et la quantité $y(x)$ liée à la tangente en $-1$ : \[ f(x)-y(x) = x^3-3x-2 \] Il s'agit ensuite d'étudier le signe de cette quantité. Suivant le signe on en déduit les positions. Or il s'agit d'une équation cubique, nous ne disposons pas forcément des connaissances pour la résoudre. Ceux qui observent attentivement l'équation : \[ x^3-3x-2 = 0 \] verront que $+2$ est solution mais cela ne suffit pas. Rappelons toutefois que l'équation indique les abscisses en lesquelles il y a intersection entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente en $-1$ . Or, par définition, elles se croisent en $-1$ . Ce nombre est une racine de l'équation et nous pouvons affirmer qu'il existe trois réels $a,b,c$ tels que : \[ x^3-3x-2 = (x+1) (ax^2+bx+c) \] En développant cette expression : \[ x^3-3x-2 = ax^3+(a+b) x^2 + (b+c) x +c \] Il vient par identification : \[ \begin{cases} a = 1 \\ a+b = 0 \\ b+c = -3 \\ c = -2 \end{cases} \] D'où : \[ a=1 \quad b=-1 \quad c=-2 \] Nous nous retrouvons à résoudre l'équation du second degré: \[ x^2-x-2 = 0 \] On trouve un discriminant égal à $9$ et donc deux racines qui sont $-1$ et $+2$ . Ainsi le polynôme $(x^3-3x-2)$ admet $-1$ comme racine double et $+2$ comme racine simple: \[ x^3-3x-2 = (x+1)^2 (x-2) \] Pour une racine simple il y a changement de signe mais pour une racine double il n'y en a pas. Ainsi il y a un signe pour l'expression $(f-y)$ avant $+2$ et un autre différent après $+2$ et elle ne s'annule qu'en $-1$ et $+2$

Conclusion

Avant $+2$ la courbe cubique est en dessous de sa tangente en $-1$ : \[ \forall x \in ] -\infty\, ; 2 [ \setminus \{-1\} \qquad f(x) < y(x) \] Et après $+2$ elle est définitivement au dessus: \[ \forall x \in ] 2\, ; +\infty [ \qquad f(x) > y(x) \] Elles se rencontrent en deux points : $-1$ et $+2$ .

Les autres tangentes

La tangente en $0$ se confond avec l'axe des abscisses. Il suffit donc d'étudier le signe de $f(x)$ pour connaître sa position. Il est connu que: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline \\ f(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} \] La tangente est au dessus de la courbe avant $0$ et au dessus après, elles se coupent en $0$ uniquement.

La méthode pour comparer avec la tangente en $+1$ est identique. On pose: \[ f(x)-y(x) = x^3-3x+2 \] Sachant que $+1$ est racine, il existe $a,b,c$ tels que: \[ f(x)-y(x) = (x-1)(ax^2+bx+c) \] On trouve encore $(a=1)$ et $(c=-2)$ mais $(b=1)$ cette fois-ci. Le discriminant reste inchangée et les deux racines de l'équation: \[ x^2+x-2 = 0 \] sont alors $-2$ et $+1$ . Il y a une symétrie avec l'étude faite sur la tangente en $-1$ et celle-ci. Cette fois-ci on conclut que sur $] -\infty\, ; -2 [$ la courbe est en dessous de la tangente $\mathcal{T}_1$ . Sur $[-2 \, ; +\infty [$ la courbe est au dessus avec une intersection en $-2$ et $+1$ . On trace ci-dessous les trois courbes étudiées avec une échelle réduite pour l'ordonnée (on multiplie par le facteur $0.3$ en ordonnée) :

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Question 3 - Calcul d'angle entre droites à partir de leur équation cartésienne.

Soit $x$ un réel, la tangente en $x$ a pour équation, en prenant $X$ comme la variable d'abscisse et $Y$ l'ordonnée: \[ Y = f'(x) (X-x) + f(x) \] Soit en développant un peu:  \[ Y = 3x^2 \, X \, - \, 2x^3 \] Il faut bien comprendre que la variable s'appelle $X$ et $x$ est un réel fixé. La tangente en $x$ coupe l'axe des ordonnées en le point $P$ de coordonnées $(0\, ; -2x^3)$ et l'axe des abscisse en le point $Q$ de coordonnées $\displaystyle (\frac{2}{3} x \, ; 0 ) $

L'angle $\displaystyle \vartheta = \widehat{QPO}$ recherché peut être calculé à partir de sa tangente, qui est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent du triangle $OPQ$ ci-dessous:

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La formule est la suivante: \[ tan \vartheta = \frac{OQ}{OP} = - \frac{1}{3x^2} \] On peut se servir de la fonction arctan (nommée arc tangente) qui est l'opération inverse de la tangente et permet de retrouver un angle à partir de sa tangente: \[ \vartheta = \arctan \left( -\frac{1}{3x^2} \right) \]

Quelques valeurs particulières

Lorsque $x$ tend vers $0$ la fraction $(-1/(3x^2)$ tend vers $-\infty$ . Ce qui donne un angle qui tend vers $-\pi/2$ . On retrouve l'orthogonalité entre les deux axes. Si $x$ tend vers $+\infty$ alors la fraction tend vers 0 ce qui donne un angle qui tend vers $0$ . Enfin on peut s'interroger sur l'abscisse des points pour lesquels l'angle vaut $\pi/4$ ou $\pi/3$ et $\pi/6$ . Plutôt que de passer par l'arc tangente, il suffit de vérifier des propriétés sur le triangle. Pour que $\vartheta$ soit égal à $45^\circ$ il faut et il suffit que $OQ$ soit égal à $OP$ (triangle isocèle). Pour un angle de $30^\circ$ on cherche $OQ$ qui vaut la moitié de $OP$ et l'inverse pour $60^\circ$ .