Distance Point Parabole
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=-x^2+2x+1 $ . On reprend les notations du problème 1 (le point fixe est $A$ , $M$ est variable et sur la courbe $\mathcal{C}_f$ , les fonctions $\delta$ et $d$ ont la même définition ) avec $A(-1 ; 3)$ et $M_x$ variable sur la courbe représentant $f$ . De même : $\delta(x) = AM_x^2 $ . On montre que $d(A,f)$ existe.
Partie A
- Montrer que $\delta$ ne s'annule pas. Développer $d(x)$ .
- Calculer les dérivées successives : $\delta' , \delta" , \delta^{(3)} , \delta^{(4)} , \delta^{(5)} $ .
- Résoudre $(\delta"(x)=0)$ suivant deux méthodes. Calculer les limites de $\delta'$ .
- Dresser le tableau de variation de $\delta'$ et justifier le nombre de racines de $\delta'$ .
- (a) Calculer $\delta'(0)$ et $\delta'(1)$ .
(b) En déduire qu'il existe une seule racine entre 0 et 1. On la note $\alpha$ .
(c) Calculer $\delta'(0.5)$ . En déduire un meilleur encadrement de $\alpha$ .
(d) Faire de même avec $\delta'(0.25)$ . Quelle est la précision obtenue pour $\alpha$ ?
- On donne la boucle suivante :
[1] Initialisation : $(a=0) (b=1) (c=0.5)$
[2] Si $\delta'(c)<0$ Faire $a\leftarrow c$ et $b\leftarrow b$
[3] Si $\delta'(c)>0$ Faire $a\leftarrow a$ et $b\leftarrow c$
[4] Faire $c \leftarrow \dfrac{a+b}{2}$
[5] Retourner à la ligne [2](a) Appliquer la boucle 5 fois. Expliquer ce qui se produit.
(b) Trouver deux erreurs. Réécrire un algorithme complet.
(c) Montrer qu'il permet d'approcher $\alpha$ . Exprimer la précision en fonction du nombre d'itérations.
(d) En combien d'étapes a-t-on au moins $(0.4464<\alpha<0.4465)$ ?
Indications
Vu la longueur et la difficulté du problème, il vaut mieux commencer par faire un dessin et lire l'énoncé dans son intégralité pour comprendre sa structure. On étudie ici la distance entre un point et une parabole. D'abord sur un exemple où $A$ est fixé. C'est l'objet de la partie A, on y cherche la distance de manière exacte et approchée. On montre aussi qu'elle existe et qu'elle est unique. Puis en partie B, on prend un point $A$ quelconque du plan, trois régions donnent des résultats différents. On commence par les étudier. En partie C, on résout de manière globale ce qui est faisable avec les outils de 1ère S et quelques résultats hors programme sur l'équation du troisième degré. En partie D on termine par une extension au sens qu'on peut donner à la distance Droite-Parabole puis Parabole-Parabole.
Solution
Utilisons une machine pour dessiner la courbe $\mathcal{C}_f$ et situer le point $A$ :
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Question 1 - Une expression du carré de la distance
$\delta$ s'annule si et seulement s'il existe un point $M$ de la courbe tel que $AM=0$ . C'est-à-dire que $A$ serait sur courbe. Ce qui n'est pas le cas. On utilise le théorème de Pythagore pour calculer $\delta(x)$ sachant les coordonnées des points $A(-1;3)$ et $M(x;y)$ : \[ \delta(x) = \left( x-(-1) \right) ^2 + (y-3)^2 \] De plus, comme $M$ fait partie de la parabole, l'ordonnée $y$ vaut $f(x)$ qu'on remplace par son expression $-x^2+2x+1$ puis on développe : \[ \delta(x) = (x+1)^2 + (-x^2+2x-2)^2 \] on change le signe à l'intérieur du deuxième terme pour obtenir $(x^2-2x+1)^2$ et on l'écrit comme étant égal à $ ( (x-1)^2 + 1 ) ^2 $ pour faciliter le calcul. D'où : \[ \delta(x) = (x^2+2x+1) + (x-1)^4 +2(x-1)^2 +1 \] On se sert de la formule : \[ (x-1)^4 = x^4-4x^3+6x^2-4x+1 \] D'où en simplifiant le résultat : \[ \delta(x) = x^4-4x^3+9x^2-6x+25 \] On pense à vérifier le résultat à l'aide de la figure pour constater s'il y a incohérence. L'idéal étant de tester les points d'abscisses $(x=-1)$ et $(x=1)$
Question 2 - Dérivations successives d'un polynôme
En répétant la dérivation sur un polynôme on finit par obtenir une fonction nulle : \[ \begin{align*} \delta'(x) & = 4x^3-12x^2+18x-6 \\ \delta"(x) & = 12x^2-24x+18 \\ \delta^{(3)}(x) & = 24x-24 \\ \delta^{(4)}(x) & = 24 \\ \delta^{(5)}(x) & = 0 \end{align*} \]
Question 3 - Racines d'un polynôme du second degré
Méthode 1 : Discriminant
L'équation : $ 12x^2-24x+18=0$ a pour discriminant : $\Delta = -288$ donc il n'y a pas de solution.
Méthode 2 : Sens de variation
La dérivée de $\delta"$ est une fonction affine d'abord négative, nulle en $(x=1)$ puis positive. Donc la fonction $\delta"$ est d'abord strictement décroissante, puis strictement croissante. Elle admet un minimum en $(x=1)$ qui vaut $(12-24+18)$ soit 6. Donc la fonction reste strictement positive, elle ne s'annule pas, il n'y a pas de racine.
Limites en l'infini
On écrit : \[ \delta'(x)=x^3 \left( 4 - \dfrac{12}{x} + \dfrac{18}{x^2} - \dfrac{6}{x^3} \right) \] Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ la limite de l'expression entre parenthèses est 4. Donc les limites de $\delta'$ sont celles de $x^3$ : \[ \lim_{-\infty} \delta' = -\infty \qquad \lim_{+\infty} \delta' = +\infty \]