Enoncé
Soit $f$ dont le taux est constant pour tout $x$ réel. Montrer que $f$ est affine.
Indications
Considérer un point $A$ d'abscisse $a$ et écrire le taux $\tau$ pour tout $m$ réel. On peut résoudre le problème de manière géométrique en raisonnant sur les droites ou analytique en différenciant ce taux avec un autre connu pour être constant.
Solution
Résolution géométrique
Soit $A(a\, ; f(a) )$ un point de la courbe $\mathcal{C}_f$ dont la fonction $f$ vérifie la propriété énoncée. Le taux est constant pour tout $M(m\, ; f(m) )$ . Soit $M_1$ un premier point. On a comme taux entre $A$ et $M_1$ le nombre $c$ qui représente le coefficient directeur de la droite $(AM_1)$ . Soit à présent un point $M_2$ appartenant à la courbe distinct de $M_1$ . Le taux étant constant, le coefficient directeur de $(AM_2)$ est le même que celui de $(AM_1)$ . Les deux droites sont parallèles. Puisqu'elles partagent le point $A$ on en déduit qu'elles sont confondues.
[[{"type":"media","view_mode":"media_original","fid":"193","attributes":{"alt":"","class":"media-image","height":"524","typeof":"foaf:Image","width":"666"}}]]
Puisque ces deux droites sont confondues, le point $M_2$ appartient à la droite $(AM_1)$ . A présent, toute la subtilité du raisonnement repose sur la gestion des quantificateurs. A savoir que nous avons raisonné sur n'importe quel point $A$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ . Laissons le fixe pour l'instant. De plus nous avons choisit n'importe lequel des points $M_1$ de la courbe. Laissons le fixe. Jusqu'ici il nous est permis de faire appel à la propriété, puisque le taux est le même en tout point $A$ à partir de n'importe quel autre point $M_1$ . Or le raisonnement continue avec un point $M_2$ quelconque de la courbe. Le résultat s'applique donc à tout point $M$ de la courbe:
Tout point $M$ de la courbe se situe sur la droite $(AM_1)$ qui ont été fixés au préalable. La courbe est contenue dans une droite, son équation est donc affine.
Résolution analytique
Pour tout réel $a$ et réel $m$ on a: \[ \tau = \frac{f(a)-f(m)}{a-m} \] qu'on suppose constant égal au nombre $c$ . Or nous avons vu dans le cours une propriété pour la fonction $g$ définie par: $g(x)=cx$ . Son taux $\tau_g$ est constant pour tout $a$ et à partir de tout $m$ et vaut $c$ , ainsi nous pouvons écrire: \[ \tau - \tau_g = 0 \] Nous voyons aussi que cette différence de taux est elle-même un taux, celle de la fonction $f-g$ .
Nous avons vu qu'une fonction constante a pour taux 0. Qu'en est-il de la réciproque? Soit $h$ une fonction de taux nul. Alors: \[ \forall x \neq m \qquad \frac{h(x)-h(m)}{x-m} = 0 \] Fixons $x$ en un point quelconque, par exemple 1. Alors: \[ \forall m \; \in \; \mathbb{R}\setminus \{ 1 \} \qquad h(m)=h(1) \] Nous en déduisons que $h$ est constante. Il y a donc équivalence entre les deux propriétés:
- Une fonction est constante
- Une fonction admet un taux nul
Ainsi la fonction $(f-g)$ est constante. Soit $b$ cette constante. Sachant l'expression de $g$ on en déduit celle de $f$ : \[ \forall x \in \mathbb{R} \qquad f(x) = cx+b \]