Exercice 5.6 - Inverse d'une fonction

Solution

Résultats généraux

De manière générale, on considère une fonction $g$ quelconque et $\ell$ est telle que $(\ell=1/g)$ . Sans plus d'information il est possible de lier le domaine de $\ell$ à celui de $g$ en disposant de la connaissance de l'ensemble $\{ g=0 \}$ qui est une notation pour décrire l'ensemble des abscisses $x$ sur $\mathbb{R}$ telles que l'image associée $g(x)$ soit nulle. On a la relation ensembliste: \[ \mathcal{D}_{\ell} \; = \; \mathcal{D}_g \cap \{ g=0 \} \] On prend du domaine de $g$ toutes les abscisses pour lesquelles l'image par $g$ est non nulle, ceci car la division par zéro n'est pas permise alors que pour le reste il n'y a pas de restriction.

Dans tous les cas là où la dérivée de $g$ existe, celle de $\ell$ existe aussi. Evidemment on ne peut dériver là où $\ell$ n'est même pas définie. D'où: \[ \mathcal{D}_{\ell '} \; = \; \mathcal{D}_{g'} \cap \{ g=0 \} \] Ce lien se retrouve dans l'expression de $\ell'$ : \[ \forall x \in \mathcal{D}_{\ell'} \quad \ell' (x) = - \frac{g'(x)}{g(x)^2} \] On pourrait penser qu'il faille tenir compte du domaine de $g'$ et de celui de $g$ mais il suffit de constater que le premier est inclus dans le deuxième.

Question 1 -  Dériver l'inverse d'une fonction affine.

Si $g$ est la fonction nulle alors $\ell$ ne peut être définie. Si $g$ est une fonction constante non nulle alors $\ell$ est définie sur tout $\mathbb{R}$ et de dérivée la fonction nulle. Le domaine de dérivabilité est aussi $\mathbb{R}$ .

Si $g$ est affine telle qu'il existe deux réels $a$ et $b$ avec $a$ non nul: \[ g(x) = ax+b \] Alors le domaine de $\ell$ est $\mathbb{R}$ privé de la racine de $g$ . La fonction $\ell$ est dérivable sur ce même ensemble et de dérivée: \[ \ell'(x) = - \frac{a}{(ax+b)^2} \] On écrit formellement les domaines: \[ \mathcal{D}_{\ell} \; = \; \mathcal{D}_{\ell'} \; = \; \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{b}{a} \right\} \] Il n'y a pas d'autres situations à prendre en compte. Ci-dessous l'exemple de la fonction $g$ avec 1.5 en coefficient directeur et -3 pour l'ordonnée à l'origine. En inversant $g$ , la fonction $\ell$ n'est pas définie en $(x=2)$ , ses valeurs sont faibles en direction des bornes infinies et proches de $g$ lorsque $g(x)$ est proche de 1. Enfin, autour de la racine 2 la fonction $\ell$ admet des valeurs très grandes. Ce genre d'étude a été détaillée dans le chapitre 2 dans la section intitulée $(1/f)$ .

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La fonction $\ell'$ a un signe opposé à celui de $a$ , dans l'exemple elle sera strictement négative et symétrique par rapport à la droite $(x=-b/a)$ ce qui se traduit par l'égalité : \[ \ell' (x) = \ell' \left( -2\frac{b}{a} - x \right) \]

Question 2 - Dériver l'inverse d'un trinôme du second degré.

Cas sans racine

On suppose que $g$ n'est pas affine, qu'il s'agit bien de l'équation d'une parabole, donc que $(a \neq 0)$ . Tout d'abord s'il n'y a pas de racine alors $g$ ne s'annule pas et $\ell$ est définie et dérivable comme $g$ sur toute la droite réelle avec: \[ \ell' (x) = - \frac{2ax+b}{(ax^2+bx+c)^2} \] On donne l'exemple ci-après avec: \[ g(x) = x^2+1 \] La fonction $\ell$ est définie sur tout $\mathbb{R}$ et son graphe est le suivant:

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Sa valeur la plus élevée est 1 et atteinte en $(x=0)$ . Pour le reste $g$ est au dessus de la valeur 1 donc son inverse $\ell$ se situe en dessous de 1 et reste de même signe. Puisque les branches d'une parabole sont dirigées vers l'infini, celles de $\ell$ tendent vers zéro. L'expression de la dérivée indique le rapport entre une fonction affine et un polynôme du second degré, on obtient le graphe suivant en pourpre, nous indiquons en gris celui de $\ell$ pour comparer:

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Cas d'une racine double

Supposons que $g$ soit un polynôme avec une racine double $\lambda$ . On a: \[ g(x) = a(x-\lambda)^2 \] Dans ce cas $\ell$ est définie sur le domaine de $g$ privé de l'ensemble $\{ g=0 \}$ qui vaut le singleton $\{ \lambda \}$ . La fonction $g$ est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ donc $\ell$ aussi mais on retire toujours l'ensemble des racines de $g$ . Les fonctions $\ell$ et $\ell'$ ont donc même domaine de définition. Le calcul de la dérivée se fait suivant la formule du cours: \[ \ell'(x) = -\frac{2a(x-\lambda)}{a^2(x-\lambda)^4} \] Ce qui après simplification donne: \[ \ell'(x) = -\frac{2}{a(x-\lambda)^3} \] Comme exemple d'illustration nous proposons la fonction $g(x)=(x-1)^2$ . Elle est proche de son inverse $\ell$ là où sa valeur avoisine 1 et la fonction $\ell$ diverge vers $+\infty$ près de l'abscisse 1 de chaque côté:

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Cas pour deux racines

Soit l'expression: \[ g(x) = a(x-\lambda)(x-\mu) \] les nombres $\lambda$ et $\mu$ désignent les racines distinctes de $g$ . Dans ce cas on a l'égalité d'ensembles: \[ \{ g=0 \} = \{ \lambda\, ; \mu \} \] On retire ainsi au domaine de $g$ ses deux racines pour obtenir celui de $\ell$ : \[ \mathcal{D}_{\ell} \; = \; \mathbb{R} \setminus \{ \lambda\, ; \mu \} \] La fonction $g$ est dérivable sur tout $\mathbb{R}$ et c'est là le domaine de $\mathcal{D}_{g'}$ . Nous retirons encore l'ensemble des racines de $g$ , ce qui donne l'égalité entre les domaines de $\ell$ et $\ell'$ . La dérivation donne: \[ \ell' (x) = - \frac{a[ 1 \times (x-\mu) + (x-\lambda) \times 1 ]}{a^2(x-\lambda)^2(x-\mu)^2} \] Le dénominateur étant le carré de $g$ et le numérateur sa dérivée, que l'on calcule suivant la formule de dérivation d'un produit. Après simplification on a: \[ \ell'(x) = \frac{1}{g(x)} \left( \frac{1}{x-\mu} + \frac{1}{x-\lambda} \right) \] On donne l'exemple de l'expression : \[ g(x)=2x(x-2) \] Les racines sont 0 et 2 en lesquelles $\ell$ n'est pas définie et admet des asymptotes verticales:

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Et la dérivée de $\ell$ s'exprime ainsi: \[ \ell' (x) = -\frac{x-1}{x^2(x-2)^2} \] On remarquera une antisymétrie entre un nombre $x$ et le nombre avec lequel il forme un segment dont 1 est le milieu. C'est-à-dire l'abscisse $1-(x-1)$ . On écrit: \[ \ell'(x) = - \ell' (2-x) \] Le graphe est le suivant:

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Question 3 - Dériver l'inverse d'une fraction simple.

Cette question est posée pour sensibiliser sur le calcul du domaine. La fonction $\ell$ est définie en fonction de $g$ . Son expression est: \[ \ell (x) = x^k \] valable pour tout entier $k$ non nul. On pourrait affirmer que le domaine de $\ell$ est $\mathbb{R}$ tout entier, mais ce serait oublier que $g$ n'est pas définie en zéro. Il ne peut être autrement pour $\ell$ puisque $\ell(0)$ doit être l'inverse de de celui de $g$ . Ainsi: \[ \mathcal{D}_{\ell} = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \] Il y a une exception: si $k$ est nul alors $g$ est constante et vaut 1, y compris en zéro car par convention : $0^0=1$. Dans ce cas $\ell$ est définie, égale à 1, et dérivable sur tout $\mathbb{R}$ de dérivée la fonction nulle. Sinon: \[ \ell'(x) = k x^{k-1} \] avec un domaine de dérivabilité identique égal à $\mathbb{R}$ privé de zéro.