Angles et distances (A9-A11)

Solution

Question A9 - Etude de l'angle $\beta$ .

(a) Calcul du cosinus

On peut étudier la suite $\beta$ en passant par celle de son cosinus comme pour les deux suites d'angles $\gamma$ et $\alpha$ . Ceci en écrivant le produit scalaire des deux vecteurs formant l'angle $\beta_n$ de deux façons. Le calcul direct donne: \[ \left\langle \overrightarrow{M_nM_0}\, | \, \overrightarrow{M_nA} \right\rangle = n(n-7) + \left( \frac{2n}{3}-1+1 \right) \left( \frac{2n}{3}+2 \right) \] Ce qui donne: $\displaystyle \frac{1}{9} (13n^2-51n) $ . Puis une autre formule donne le résultat en fonction des normes des vecteurs et du cosinus de l'angle formé: \[ M_nM_0 \times M_nA \times \cos \beta_n \] Le calcul des longueurs donne: \[ M_nM_0 = \sqrt{ n^2+\frac{4}{9} n^2} = \frac{\sqrt{13}}{3} n \] et l'on connaît déjà $M_nA$ . On trouve alors une formule ressemblante à celle du cosinus de $\alpha_n$ : \[ \cos \beta_n = \frac{1}{\sqrt{53}\sqrt{13n^2-102n+477}} (13n-51) \] Le même facteur accompagne une expression affine en la variable $n$ . A partir de là il est possible d'étudier $\beta_n$ en cherchant une suite d'entiers $s_n$ tels que: \[ s_n \frac{\pi}{192} \leq \beta_n \leq (s_n+1) \frac{\pi}{192} \] mais ce serait ne pas profiter des connaissances acquises sur les deux autres angles ainsi que de la règle: \[ \forall n > 0 \qquad \alpha_n+\gamma_n+\beta_n= \pi \] Les trois angles d'un triangle forment un angle de 180 degrés. Ci-dessous la situation pour $(n=6)$ en se rappelant que $\gamma_n$ est constant égal à $\gamma_0$ pour $n$ positif et vaut $(\gamma_0+\pi)$ si $n$ est strictement négatif :

La relation est différente si $n$ est strictement négatif, les angles sont tous extérieurs et on trouve : \[ \begin{align*} \alpha_n+\beta_n+\gamma_n & = (2\pi-\alpha)+(2\pi-\beta)+(2\pi-\gamma) \\ & = 6\pi-(\alpha+\beta+\gamma) \\ & = 5\pi \end{align*} \] où les angles $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont les complémentaires des angles $\alpha_n, \beta_n$ et $\gamma_n$ . On l'illustre avec l'exemple $(n=-3)$ ci-dessous :

(b) Somme des angles d'un triangle

Avec cette relation triangulaire, pour $n$ entier positif on a: \[ \beta_n = (\pi-\gamma_0) - \alpha_n \] On a volontairement mis entre parenthèse la partie constante, ainsi $\beta$ et $\alpha$ sont liées par une relation affine. Pour $n$ strictement négatif on trouve: \[ \beta_n = \gamma_0 - \alpha_n \] On peut ainsi encadrer $\beta_n$ en se servant de la suite $r$ . Le résultat pour $\gamma_0$ a été donné à la question 6c et il est le suivant: \[ 52 \frac{\pi}{192} \leq \gamma_0 \leq 53 \frac{\pi}{192} \] Puis pour $n$ positif on a montré que: \[ r_n \frac{\pi}{192} \leq \alpha_n \leq (r_n+1) \frac{\pi}{192} \] pour la suite $r$ explicitée à la question 8c. Ce qui donne avec en utilisant la relation de cette question: \[ \pi - 53 \frac{\pi}{192} - (r_n+1) \frac{\pi}{192} \leq \,  \beta_n \, \leq \pi - 52 \frac{\pi}{192} - r_n \frac{\pi}{192} \] D'où le résultat en factorisant par l'angle de référence: \[ \forall n>0 \qquad (138-r_n) \frac{\pi}{192} \leq \,  \beta_n \, \leq (139-r_n) \frac{\pi}{192} \] Se servir de cet encadrement ne suffit pas pour conclure à la convergence de la suite $\beta$ . En effet on peut au mieux préciser que les termes en l'infini seront autour des valeurs $(138-r)$ et $(139-r)$ . L'égalité de départ nous donne le résultat sur la convergence. En effet, $(\pi-\gamma_0)$ est une constante et la suite $\alpha$ converge. Donc la quantité suivante converge: \[ (\pi-\gamma_0) - \alpha_n \quad \longrightarrow \quad \pi-\gamma_0-\alpha_+ \] la limite est celle en $+\infty$ . Pour $n$ strictement négatif on rappelle que $\gamma_n$ vaut $\gamma_0$ auquel on rajoute $\pi$ , la relation triangulaire est différente du fait du choix du sens des angles, côté négatif ils sont tous extérieurs : \[ \forall n <0 \qquad \beta_n = 4\pi - \gamma_0 - \alpha_n \] Ce qui donne la limite suivante: \[ \beta_- = 4\pi-\gamma_0-\alpha_- \] On utilise le résultat de la question A8d pour conclure que : \[ \beta_+=0 \qquad \beta_-=2\pi \] En effet: $\alpha_+=\pi-\gamma_0$ et $\alpha_- = 2\pi-\gamma_0$ . Dans les cas positifs et négatifs, l'angle $\beta$ tend à être nul modulo $2\pi$ . Tout se passe comme si $M_n$ se dirigeait vers un point à la fois sur la droite $\mathcal{C}_f$ et aussi sur sa parallèle en $A$ . Ces deux droites sont pourtant distinctes.

Graphiquement, on observe l'angle $\beta$ tendre vers 0 pour $n$ se dirigeant vers $+\infty$ et vers $2\pi$ si $n$ tend vers $-\infty$ . Ci-dessus, le cas $(n=42)$ pour lequel $\beta_{42}$ vaut moins de 7 degrés et $\alpha$ à peu près 123 degrés.

Question A10 - Calcul des angles en degré.

(a) Etude de quelques termes

Reprenons la formule donnant les cosinus. On note $P(n)$ le polynôme en la variable $n$ suivant: \[ P(n) = 13n^2-102n+477 \] On écrit: \[ \cos \alpha_n = \frac{1}{\sqrt{53}\sqrt{P(n)}} (-17n+159) \] Remarquons la ressemblance avec l'expression de liée à l'angle $\beta_n$ : \[ \cos \beta_n = \frac{1}{\sqrt{13}\sqrt{P(n)}} (13n-51) \] Il suffit d'appliquer les formules, nous ajoutons à la réponse les cas $(i=1)$ et $(i=2)$ . On pense aussi à simplifier les fractions, sachant que 13 et 53 sont premiers et restent inchangés, la valeur de $P(n)$ possède un facteur dont on peut extraire une racine carrée et trouver une simplification avec le facteur affine $(-17+159)$ dans le cas de $\alpha_n$ et $(13n-51)$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \cos \alpha_i & \frac{71}{\sqrt{53}\sqrt{97}} & \frac{25}{\sqrt{53}\sqrt{13}} & \frac{9}{\sqrt{53}\sqrt{2}} & \frac{91}{\sqrt{53}\sqrt{277}} & \frac{37}{\sqrt{53}\sqrt{73}} \\ \hline \end{array} \] Pour l'angle $\beta_n$ on trouve : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \cos \beta_i & \frac{-19}{\sqrt{13}\sqrt{97}} & \frac{-5}{13} & \frac{-1}{\sqrt{13}\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{13}\sqrt{277}} & \frac{7}{\sqrt{13}\sqrt{73}} \\ \hline \end{array} \] On constatera le lien entre les dénominateurs, le facteur accompagnant la racine carrée de 53 pour $\alpha_n$ est le même que celui associé à la racine carrée de 13 pour $\beta_n$ . De plus en posant la différence: \[ -17n+159 \, - \, (13n-51) = -20n+210 \] on verra que la différence des numérateurs est un multiple de 10, y compris après simplification.

(b) Calcul d'un angle en degrés

Une fois la valeur exacte du cosinus trouvée, on applique la fonction réciproque qui est l'arc-cosinus (touche acos sur une calculatrice) et le résultat est l'angle en radians ou degrés suivant l'option choisie. Si le résultat est en radian, on multiplie par $180/\pi$ pour l'avoir en degré. On obtient un nombre décimal, la partie entière est le nombre de degrés, ce qui reste ne dépasse pas un degré. Il s'agit d'une fraction d'un degré, dont on extrait le nombre de soixantièmes parties d'un degré. En multipliant la partie décimale par 60 on trouve un autre nombre décimal dont la partie entière est le nombre de minutes d'arcs recherché. Le même procédé permet d'extraire le nombre de minutes d'arcs. Par exemple, pour $\alpha_1$ on trouve: \[ \alpha_1 = \textrm{acos} \; \left( \cos \alpha_1 \right) \times \frac{180}{\pi} = 8.017\, 093 \ldots \] en utilisant l'option radian de la calculatrice. Le résultat est un nombre décimal dont il faut choisir à quelle précision on s'arrête. Cherchons les résultats à une seconde d'arc près. Or celle-ci vaut un trois mille six centièmes de degrés et est encadrée sous forme décimale par : \[ 0.000\, 277 < \frac{1}{3600} < 0.000\, 278 \] Ce qui signifie qu'une approximation à $(3\times 10^{-4})$ n'apparaît pas sur la précision recherchée. Nous pouvons donc nous contenter de 5 chiffres après la virgule, cela suffit amplement. Pour $\alpha_1$ nous avons trouvé qu'il correspond à 8 degrés et un reste décimal, que l'on calcule: \[ 0.017\, 09 \times 60 = 1.0254 \] On en déduit qu'il y a une minute d'arc à prendre en compte et un reste que l'on calcule: \[ 0.025\, 4 \times 60 = 1.524 \] Le reste est plus proche de 2 secondes d'arcs que d'une seule mais nous cherchons la valeur par défaut, d'où : \[ \alpha_1 = 8^\circ 1' 1'' \] L'explication du calcul est le suivant: \[ A \, \textrm{rad} \equiv X^\circ Y' Z'' + R \] où $A$ est la valeur de l'angle en radians, et $X,Y,Z$ sont les trois entiers servant à l'écrire en degrés et $R$ est un reste plus petit qu'une seconde d'arcs. Si nous voulons tout écrire en degrés il suffit de multiplier $A$ par $180/\pi$ et $Y$ vaut un soixantième de degré, donc on divise $Y$ par 60, et $Z$ par 3600. D'où l'égalité: \[ A \times \frac{180}{\pi} = X + \frac{Y}{60} + \frac{Z}{3600} + R \] On sait aussi que $Y$ ne dépasse pas 60 et $Z$ ne dépasse pas 60. Le membre de gauche est donné par le calcul à la machine de l'expression : \[ \alpha_n = \textrm{acos} \; \left( \cos \alpha_n \right) \times \frac{180}{\pi} \] On trouve un nombre dont la partie entière correspond à $X$ . Il reste à sortir $Y$ en multipliant par 60 la partie décimale: \[ 60 \times \left( \frac{Y}{60} + \frac{Z}{3600} + R \right) \] On trouve un nombre dont la partie entière est $Y$ . En effet $Z$ est plus petit que 60 et $R$ plus petit qu'une seconde d'arc, soit plus faible que $1/3600$ . Il reste encore à multiplier par 60 ce qui reste: \[ 60 \times \left( \frac{Z}{60} + 60 R \right) \] La partie entière est le nombre de secondes d'arc par défaut et $3600R$ désigne le reste plus petit que 1. On donne ci-après les valeurs pour les angles $\alpha_i$ $(0<i<6)$ : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \alpha_i & 8^\circ 1' 1'' & 17^\circ 44' 40'' & 29^\circ 3' 16'' & 41^\circ 19' 9'' & 53^\circ 29' 54'' \\ \hline \end{array} \] L'objectif est de vérifier à quel niveau de précision nous aboutissons en passant par l'utilisation de la fonction arc-cosinus programmée sur machine, et l'approximation faite sur la conversion en degrés. Nous appliquons la formule du cosinus pour $\beta_n$ et non la relation liant les trois angles: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ \beta_i & 122^\circ 20' 50'' & 112^\circ 37' 11'' & 101^\circ 18' 35'' & 89^\circ 2' 42'' & 76^\circ 51' 57'' \\ \hline \end{array} \]

(c) Erreur de précision

Pour $i$ entier positif la somme des angles vaut 180 degrés. En appliquant la formule: \[ \gamma_i = 180 - (\alpha_i+\beta_i) \] on trouve la valeur approchée de $\gamma_i$ . Pour tout $i$ de 1 à 5 on trouve la même valeur: \[ \alpha_i+\beta_i = 130^\circ 21' 51'' \] Soit en les retirant à 180 degrés: \[ \gamma_i = 49^\circ 38' 9'' \] Reprenons la valeur exacte de $\gamma_0$ qui est d'après la question 6: \[ \gamma_0 = \textrm{acos} \, \frac{17}{\sqrt{53}\sqrt{13}} \] Une valeur approchée à $10^{-10}$ près est 49.6354634269 degrés, en utilisant les minutes et secondes on trouve: \[ \gamma_0 \approx 49^\circ 38' 7'' + R \] où $R$ est le reste qui correspond à environ deux tiers d'une seconde. La valeur approchée de $\alpha_i$ et $\beta_i$ était par défaut donc la différence avec 180 donne une valeur par excès, et l'on trouve un décalage de plus d'une seconde d'arc.

Question A11 - Calcul des angles lorsque $AM$ est minimale

Il faut savoir que la notion de distance d'un point à une droite existe, elle est la plus petite distance que l'on peut former entre le point extérieur et les points de la droite. Une propriété fondamentale est que cette distance est toujours atteinte pour tout couple de point et droite donnés, de plus le point de la droite en lequel elle est atteinte forme une perpendiculaire avec le point extérieur. En somme, nous l'appelons $N$ et il correspond au point mobile $M_x$ tel que $\beta_x$ soit égal à 90 degrés. L'énoncé suppose son existence mais les questions (a) et (b) devraient être traitées après les questions (c) (d) et (e) si l'on ne connaît pas cette propriété.

(c) Parabole

Nous avons vu que $u_n= P(n)/90$ . Ainsi le graphe de la suite $u$ est une sous partie d'une parabole dont nous avons déjà tracé le graphe, elle n'admet pas de solution, ce qui correspond au fait que pour tout point $M_x$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ la distance $AM_x$ est non nulle. Les branches sont dirigées vers le haut, il existe donc un minimum à la fonction et cela se traduit par l'existence d'un point $N$ minimisant la distance $AM_x$ .

(d) Sommet

Pour une équation de type: $ax^2+bx+c$ le sommet est donné par le quotient $\displaystyle \frac{-b}{2a}$ qu'on retrouve rapidement en posant le milieu de deux racines dans le cas où elles existent. Dans le cas du problème on trouve: \[ \frac{102/90}{2\times(13/90)} = \frac{51}{13} \] C'est l'abscisse de $N$ .

(e) Encadrement

Une valeur approchée de l'abscisse de $N$ est 3.923 et l'on en déduit qu'il est proche de $M_4$ du côté de $M_3$ : \[ N \in \left[ M_3 M_4 \right] \] Pour rappel lorsque $x$ croît l'angle $\beta_x$ décroît et vaut environ 101 degrés en $M_3$ et 89 en $M_4$ , l'angle droit est franchi entre les deux points.

(a) (b) Angles liés à $N$

On peut encadrer les trois angles : \[ \alpha_3 \leq \alpha_N \leq \alpha_4 \] sachant que la suite $\alpha$ est croissante alors que la suite $\beta$ décroît donc les inégalités sont opposées: \[ \beta_3 \geq \beta_N \geq \beta_4 \] et enfin $\gamma_x$ reste constant pour tout $x$ positif: \[ \gamma_N = \gamma_0 \] On peut préciser aussi que $\beta_N=90^\circ$ . On trouve pour $\alpha_N$ la valeur suivante: \[ \alpha_N \approx 40^\circ 21' 52'' \] avec un reste approchant un tiers d'une seconde d'arc.

fin de la question A11