Exercice 1.10 - Comparer des paraboles

Solution

Question 1 - Deux paraboles qui se croisent deux fois.

On forme la différence: \[ h(x)=f(x)-g(x)=2x^2+\frac{1}{2}x-1\] On résout l'équation $\mathcal{E}$ pour la fonction $h$: \[ \Delta=\frac{33}{4} \] Les deux racines sont: \[ \alpha, \beta = \frac{1}{8}(-1\pm \sqrt{33}) \] Une fois la partie algébrique terminée il reste à interpréter dans le sens de la géométrie. Pour une différence $h(x)$ admettant des racines nous obtenons trois situations:

• Si $x$ vaut l'une des racines alors $f(x)=g(x)$. Les courbes se croisent en exactement deux points, qui ont pour abscisses les racines de $h$.
• Si $x \in ]\beta\, ; \alpha[$ alors $h$ est strictement négative, c'est-à-dire: $f(x)<g(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de celle de $g$.
• Si $x \in \mathbb{R} \setminus [\beta\, ; \alpha]$ alors c'est la situation inverse. La fonction $h$ est strictement positive, donc $f>g$ sur cette partie de $\mathbb{R}$, ce qui se traduit par une position de $\mathcal{C}_f$ plus élevée que $\mathcal{C}_g$.

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Question 2 - Influence de l'ordonnée à l'origine

Ici la fonction $f$ n'est pas entièrement définie, il y a un paramètre $c$ pour la constante. La courbe possède donc une pente égale à +1 quelque soit la valeur de $c$. Elle est donc parallèle à la courbe liée à la fonction linéaire classique $(x \mapsto x)$. Seule son ordonnée à l'origine est à déterminer et c'est la valeur portée par $c$. La comparaison se fait avec la parabole tout aussi classique $(x \mapsto x^2)$.

Intuitivement, si l'on se représente la droite d'équation $(x \mapsto x)$ avec la possibilité de coulisser le long de l'axe des ordonnées, on verra qu'il y aura tantôt deux solutions au problème $(f=g)$ si $c$ est parmi des valeurs élevées, puis aucune solution si $c$ est assez faible. Il se peut qu'il n'y est qu'une seule solution si l'on place à un endroit précis la droite. Ce qui est simple à découvrir dans le cas d'une application de l'outil de dérivation, en attendant nous résolvons la question à l'aide de la méthode du discriminant.

Soit $h$ la fonction définie par \[ h(x)=f(x)-g(x)=-x^2+x+c \] le discriminant vaut: \[ \Delta = 1+4c \] Nous avons déjà rencontré cette situation dans l'exercice 1.8 pour la 4ème question. La valeur de $c$ donnera le signe de $\Delta$ et le signe de $\Delta$ indiquera la position des courbes.

Cas sans intersection

Le discriminant est strictement négatif si et seulement si $c$ est strictement plus petit que l'opposé du quart de l'unité. Et il y a équivalence entre ce signe et la configuration où les deux courbes ne se croisent pas. Or si deux courbes ne se croisent, et c'est là un résultat général, la position de l'une par rapport à l'autre reste inchangée. Ce sont là des propriétés simples mais qu'il convient d'assimiler pour en faire des mécanismes à insérer plus tard dans des recherches plus techniques.

Or ce que révèle le signe négatif de $\Delta$ n'indique pas le signe de $h$, mais seulement que son signe est constant. Il reste à vérifier sur n'importe quelle valeur $h(x)$ et le plus simple reste de remplacer $x$ par zéro. Ainsi nous avons trouvé: \[ c<-\frac{1}{4} \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x)<g(x) \] Ceci traduit le fait que la droite $\mathcal{C}_f$ se situe sous la parabole. Et cette propriété se vérifie pour tout réel $x$. Nous pouvons simplifier l'expression en affirmant seulement: \[ f<g \; \text{ sur } \, \mathbb{R} \]

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Dans le second problème du livre nous évoquons une autre question: la distance droite-parabole. La connaître c'est savoir quels objets peuvent traverser un obstacle constitué par les deux courbes. On cherche à caractériser les réels $r$ et $s$ indépendants l'un de l'autre mais tels que $|f(r)-g(s)|$ soit le plus petit possible.

Cas d'une seule intersection

On a: \[ \Delta = 0 \quad \iff \quad c = -\frac{1}{4} \] Ceci nous apprend que l'équation $h(x)=0$ admet une et une seule solution uniquement lorsque $c$ vaut $(-1/4)$. En le point vérifiant l'équation $(h=0)$ la parabole $\mathcal{C}_g$ rencontre la droite $\mathcal{C}_f$. Et il n'y a que cette intersection. Il y a une confusion à ne pas faire, confondre la solution $x$ de l'équation $(h=0)$ et la valeur du coefficient $c$ qui permet d'avoir une unique solution à $(h=0)$.

Deux configurations sont possibles dans le cas général si l'on ne cherche pas à se représenter la rencontre d'une droite et d'une parabole plus précisément. Ou bien les positions changent en ce point et elles ne peuvent changer ailleurs sans rencontre. Et puisque il n'y en a qu'une, un seul changement se sera produit sur tout $\mathbb{R}$. Ou bien la rencontre a lieu sans changer de position, situation la plus générale pour les droites dites tangentes. Mais ce n'est qu'une généralité.

Dans notre cas, résolvons: $h(x)=0$. Puisque le discriminant est nul il suffit de poser: \[ \delta=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2} \] En le point $(\delta\, ; f(\delta))$ les courbes liées à $f$ et $g$ se rencontrent. Reste à savoir ce qu'il en est de leur position à droite puis à gauche de $\delta$. De ce que nous venons d'exposer il apparaît qu'il n'y a qu'une seule position à gauche, et une seule à droite. Ainsi il suffit de rechercher la valeur $h(x)$ pour un réel $x$ situé à droite de $\delta$ puis à gauche. Et cela suffira pour conclure. Cette méthode est générale, ici nous faisons mieux en rappelant que $h$ est l'équation d'une parabole ayant une unique solution, la forme de sa courbe implique que le signe à gauche est le même qu'à droite. Donc il est inutile de rechercher deux valeurs, une seule suffira. Là encore, nous développons une idée non pour rendre les choses lourdes mais apporter au lecteur ces petites idées qui font qu'une recherche se simplifie vite, pour aboutir  plus tard à la capacité de résoudre des problèmes hautement plus difficiles.

Nous calculons la valeur la plus simple à trouver: $h(0)=-1/4$. Ainsi $h$ est négative strictement sur tout $\mathbb{R}$ et nulle uniquement en $(-1/4)$. En ce point cela s'interprête par une intersection aux deux courbes liées à $f$ et $g$ et quant au reste de l'intervalle réel partout la parabole est au dessus de la droite. Dans le cours traitant de la dérivation, nous apprenons que $\mathcal{C}_g$ est la tangente à la parabole en $\delta$. Le seul point en lequel la dérivée vaut +1.

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Cas avec deux intersections

La méthode reste la même, bien que le résultat soit plus complexe: \[ \Delta > -\frac{1}{4} \quad \iff \quad c > -\frac{1}{4} \] Dans ce cas il y a deux solutions à l'équation $(f=g)$ qui sont \[ \beta, \alpha \; = \; \frac{1}{2} ( 1 \pm \sqrt{1+4c} ) \] L'étude du signe pour l'équation du seconde degré nous apprend qu'il suffit de lire le signe du coefficient de plus haut degré pour en déduire ce qu'il en est à l'extérieur du segment formé par les deux racines, et ce qu'il en est à l'intérieur. Le coefficient est à lire sur l'expression de :$h(x)=-x^2+x+c$. Il est négatif, ses branches sont dirigées vers le bas, donc $h$ est négative en dehors du segment et positive à l'intérieur. On en déduit que $(f-g>0)$ à l'intérieur et l'opposé à l'extérieur. Soit, pour finir: la droite est au dessus de la parabole entre $\alpha$ et $\beta$ et en dessous au dehors.

L'éloignement des racines vaut toujours dans le cas général $\displaystyle \frac{\Delta}{a}$ et ici puisque $(a=1)$ et selon la valeur du discriminant nous savons que: \[ \alpha-\beta = \sqrt{1+4c} \] Plus $c$ est grand et plus les racines sont éloignées. La valeur de $c$ indique la hauteur de la droite. Et un dessin permet de se figurer ce phénomène, ce qui est intéressant dans la formule précitée c'est de savoir à quelle vitesse évolue cet écart par rapport au paramètre $c$.

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Pour finir sur cette question, nous avons procédé par disjonction des cas. Ceux-là sont l'ensemble des valeurs prises par $c$ sur tout $\mathbb{R}$. Et l'ensemble a été coupé en trois, l'intervalle $]-\infty\, ; -1/4[$ qui n'a donné aucune racine à $h$ puis le singleton formé par $(-1/4)$ et enfin ce qui reste: $]-1/4\, ;+\infty[$. Toutes les possibilités ont été traitées, la question est close.

Question 3 - Quel coefficient modifie les résultats?

Il suffit de poser la différence pour s'apercevoir de la simplicité du problème: \[ h(x) = f(x)-g(x) = \left( a-(a-1) \right) x^2 + c = x^2+c \] On en revient aux cas particuliers vus en cours. Une nouvelle disjonction de cas s'effectue:

• Si $(c>0)$ alors $(h>0)$ sur tout $\mathbb{R}$. Et réciproquement. C'est le cas où $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$.
• Il y a une unique solution à l'équation $(h(x)=0)$ si et seulement si $c$ est nul. Dans ce cas, $h$ est positive sur tout $\mathbb{R}$ et s'annule en l'abscisse $x$ vérifiant $(x^2=0)$ ce qui correspond à $(x=0)$. La courbe représentant $f$ est au dessus de celle de $g$ et elles se croisent en l'abscisse $(x=0)$.
• Si $(c<0)$ alors $h$ s'annule en deux points d'abscisse: $\pm \sqrt{c}$. Le coefficient de second degré vaut +1, ainsi $h$ est négative entre les deux racines et positive en dehors.

Ci-dessous, tracée en noir la courbe $\mathcal{C}_g$ pour: $(a=3/2)$ et $(b=1/2)$. Puis en bleu les trois configurations possibles pour la courbe liée à $f$.

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Question 4 - Un exemple de paramètres en commun.

La fonction $h$ s'écrit: \[ h(x) = (a-b) x^2 + (b-a) x +2 \] Le discriminant: \[ \Delta = (b-a)^2-8(a-b) \] nous étudions cette quantité comme fonction de deux variables $a$ et $b$. Cela n'a rien de difficile, il suffit de rester rigoureux dans la démarche. Selon que $\Delta$ soit nul, positif ou négatif, les configurations seront différentes. Sa valeur ne nous intéresse pas, seul son signe compte. C'est là l'objectif à réaliser. Petite remarque pour fixer les idées: nous écrivons: $\Delta = (a-b)^2 -8(a-b)$. Et on pose $B=(a-b)$. D'où:$\Delta=B^2-8B$.

Cas du discriminant nul

\[ \Delta = 0 \; \iff \; B(B-8)=0 \] Ce qui donne deux situations:

• $(a=b)$. Dans ce cas il faut toujours vérifier ce que cela entraîne sur les expressions des fonctions, en particulier pour $h$ qui est la fonction constante égale à 2. Il n'y a pas contradiction dans le résultat, seulement il n'est pas permis d'utiliser la méthode du discriminant si $a$ est nul ce qui est le cas ici. D'où le résultat apparemment contradictoire. Au final, ce cas particulier donne $(f>g)$ sur tout $\mathbb{R}$.
• $(a=b+8)$. le coefficient du second degré est non nul, ainsi la méthode est valable. L'intersection des deux courbes correspond à l'abscisse de la racine de l'équation $(h(x)=0)$ soit: \[ \frac{a-b}{2(a-b)}=\frac{1}{2} \] Pour le reste $h$ est de signe constant, or $h(0)=2$. Donc $(f>g)$ sur tout $\mathbb{R}$ sauf en $1/2$ où il y a la seule intersection.

Cas du discriminant négatif

Observons: $\Delta = B^2-8B$. Le discriminant est un polynôme du second degré en $B$. Les méthodes connues pour l'étudier doivent être appliquées pour faciliter l'exposé. Il possède deux racines qui sont $0$ et $8$. On en déduit immédiatement sur la lecture du signe du coefficient de plus haut degré qu'entre ces deux nombres, $\Delta$ est strictement négatif. La fonction $h$ ne change pas de signe et puisque $h(0)=2$ alors $(f>g)$ sur tout $\mathbb{R}$.

On a donc: \[ a-b \in [0\, ; 8 [ \iff f>g \] Le cas où $(a=b)$ se retrouve ici-même.

Cas du discriminant positif

Pour toutes les autres possibilités, c'est-à-dire lorsque $(a-b<0)$ ou $(a-b>8)$, le discriminant est strictement positif et les deux solutions pour $(h(x)=0)$ sont: \[ \beta, \alpha \; = \; \frac{(a-b)\pm \sqrt{\Delta} }{2(a-b)} \] Ce qui s'exprime aussi de la sorte après simplification: \[ \frac{1}{2} \left( 1 \pm \sqrt{1-\frac{8}{a-b}} \right) \] A noter qu'en lisant cette dernière expression, on retrouve les deux cas $(a=b)$ et $(a-b=8)$ qui ne peuvent fournir de racines suivant cette formule.

Reste à savoir comment sont placées les courbes liées à $f$ et $g$ à l'intérieur du segment formé par les deux racines et en dehors. Il se trouve que cela dépend du signe du coefficient de second degré dans l'expression de $h(x)$. Or il est variable suivant $a$ et $b$.

• Si $(a-b<0)$ alors les branches sont dirigées vers le bas, c'est-à-dire que $h$ est strictement négative en dehors de $[\alpha\, ; \beta]$.
• Si $(a-b>8$ alors ce sera le contraire.

Alors que pour la question 2. la disjonction de cas se faisait sur $c$, ici elle se fait sur le couple $a$ et $b$ mais suivant la relation $(a-b)$ seulement, on n'a donné aucune valeur particulière à ces deux réels. Ce qui compte est leur écart l'un par rapport à l'autre.