Enoncé
Mettre sous la forme d'un binôme incomplet les expressions:
- $ f(x) = x^2 + 6x - 1 $
- $ f(x) = x^2 - 2x + 7 $
- $\displaystyle f(x) = x^2 + \sqrt{5} x + \frac{1}{4}$
Indication
Intéressez vous uniquement à l'expression en $ (x^2+kx) $ sans tenir compte de la constante. Appliquez d'abord la formule proposée dans le cours. Simplifiez la constante pour finir. Rien n'empêche si l'on retient la formule du cours de remplacer $k$ par le coefficient correspondant, le reste n'est que de la simplification. L'idéal est plutôt de se familiariser avec le procédé au cas par cas en reconnaissant un début de carré comme dans l'exemple proposé avant l'exercice.
Solution
Question 1
L'expression $(x^2+6x)$ est le début du carré d'une somme. C'est-à-dire d'une expression de la forme: \[(x+B)^2\] Pour se donner une idée développons plutôt ce que l'on recherche au lieu de factoriser: \[ (x+B)^2 = x^2+2Bx+B^2 \] Ainsi nous recherchons le terme $B$ sachant que nous avons en notre possession le début du développement. Il est important de comprendre qu'il ne s'agit que d'un morceau d'où le nom de binôme incomplet. L'identification apporte: \[ 2Bx = 6x \] Il vient que le terme $B$ vaut 3.
C'est ce que nous avons présenté dans le cours. Seulement il s'agissait de formules générales, et il n'est pas très utile de les retenir mais plutôt de savoir les retrouver sur chaque exemple. Remplaçons $B$ par sa valeur trouvée: \[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \] Ce qui donne donc pour l'expression que nous souhaitions mettre au carré: \[ x^2+6x = (x+3)^2-9 \] Pour obtenir la modification sur $f(x)$ il suffit de retirer 1 à chacune de ces dernières expressions. Soit le résultat: \[ f(x) = (x+3)^2-10 \]
Question 2
La même méthode s'applique, seules les valeurs changent. L'observation se concentre toujours sur le terme en $kx$ c'est-à-dire celui de degré 1. Il rassemble en lui le signe de l'identité remarquable, si l'on a une forme: $(x^2+kx)$ on obtiendra une somme sous le carré dans le binôme. S'il s'agit d'une différence $(x^2-kx)$ alors ce sera aussi une différence: \[ \left( x-\frac{k}{2} \right) ^2 \] De plus c'est aussi le terme en $k$ qui indique la valeur de l'autre terme de la somme, dans la question 1 nous l'avons nommé $B$. Ecrivons l'expression: \[ f(x)=x^2-2x+7 \] le double produit indique qu'il s'agira d'une différence. Et le coefficient $2$ montre que le double produit $2B$ vaut $2$. On en déduit que $B$ vaut $1$. D'ailleurs: \[ (x-1)^2=x^2-2x+1 \] Pour retrouver $f(x)$ il nous suffit de rajouter $6$ à chacun des membres de cette équation: \[ (x-1)^2+6 = f(x) \]
Question 3
Voici une variante, au final ce sera toujours la même méthode où seule la connaissance du développement de l'identité remarquable $(x+B)^2$ compte: \[ x^2 +\sqrt{5} x+ \frac{1}{4} \; = \; x^2 + 2 \times \frac{ \sqrt{5} }{2} \times x+\left( \frac{5}{4}-\frac{5}{4} \right) + \frac{1}{4} \] Explication sur le membre de droite: Le premier terme $x^2$ reste inchangé, nous cherchons une expression faisant intervenir une forme $(x+\ldots)^2$ sa présence est donc normale. Le coefficient intégré au terme de degré $1$ est mis sous la forme d'un double produit: \[ 2 \times \ldots \times x \] Il apparaît alors le nombre $\sqrt{5}/2$ dont on sait qu'il faudra retirer le carré pour poser le binôme $(x+\sqrt{5}/2)^2$. Donc on anticipe en faisant apparaître à la fois le carré et son opposé. L'un sert à créer le binôme et l'autre à compenser. Reste à calculer la constante finale qui vaut: \[ -\frac{5}{4} + \frac{1}{4} \] D'où au final le résultat: \[ f(x) = \left( x+\frac{\sqrt{5}}{2} \right) ^2-1 \] C'est cette méthode qui est la plus recommandée car à la fois naturelle et rigoureuse. Une fois l'habitude prise, le calcul se fait en une ligne.
Complément : Intérêt de la forme canonique
Résolution de l'équation $f(x)=0$
La forme du binôme incomplet permet de résoudre aisémment l'équation: $f(x)=0$. Il suffit d'utiliser les outils de base en calcul algébrique et sachant que l'extraction d'une racine carrée se fait en prenant la valeur positive et négative: \[ \begin{aligned} (x+3)^2-10 = 0 & \iff (x+3)^2 = 10 \\ & \iff x+3 = \pm \sqrt{10} \\ & \iff x= -3 \pm \sqrt{10} \end{aligned} \]
De même pour la deuxième: \[ (x-1)^2+6=0 \iff (x-1)^2 = -6 \] Il est impossible de résoudre une telle équation. De manière générale si l'on a une forme: \[ (x+B)^2+M=0 \] avec $M$ strictement positif, l'équation devient impossible sinon cela reviendrait à additionner $M$ avec un autre nombre positif pour obtenir zéro. Or nous avons bien préciser: $M>0$.
Pour la dernière équation: \[ \left( x+\frac{\sqrt{5}}{2} \right) ^2-1 = 0 \iff x = \frac{\sqrt{5}}{2} \pm 1 \]
Construire la courbe par translation
En dehors du fait que l'équation $(f(x)=0)$ est plus simple, la construction de la courbe représentative devient plus intuitive. Prenons la forme: \[ f(x) = (x+B)^2+M \] Et partons de la courbe représentant la parabole la plus basique: \[ g(x)=x^2 \] Calculons $g(x+B)$. Cela donne $(x+B)^2$ qui est le binôme dans l'expression de $f(x)$. Comme nous l'expliquons dans le chapitre 2 il s'agit d'une translation de la courbe. Celle de $\mathcal{C}_g$ est décalée suivant les abscisses par la translation de vecteur $(-B\,;0)$. Prenons un exemple: $B=\sqrt{5}$. Dans ce cas: \[g(x+\sqrt{5}) = \left( x+\sqrt{5} \right) ^2 \] Pour retrouver rapidement le sens de translation il suffit de reconnaître un point particulier. Puisqu'elle se fait suivant l'horizontale les valeurs ne changeront pas, seules les abscisses pour lesquelles elles sont atteintes sont modifiées. Or la racine de $g$ est 0 et celle de la nouvelle fonction: $(x \mapsto g(x+\sqrt{5}))$ est $-\sqrt{5}$.
Dessinons $\mathcal{C}_g$ et voyons dans quelle direction il faut se déplacer pour avoir la même forme de courbe mais avec la nouvelle racine trouvée:
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La deuxième étape consiste à rajouter $M$ au résultat: \[ f(x)=g(x+B)+M \] Ici la transformation est plus intuitive, il s'agit d'une translation verticale et le vecteur qui agit a pour coordonnées $(0\, ; M)$ Pour une abscisse $x$ donnée ce qui est modifiée est l'ordonnée. Cette composition de fonctions fait l'objet de la cinquième section du chapitre 2.
Conclusion: La transformation $(x \mapsto (x+B)^2+M)$ est la composée de deux translations. L'une horizontale dans la direction du nombre $-B$ et l'autre verticale en suivant $+M$. L'objet transformé est la parabole $(x \mapsto x^2)$. La figure ci-dessous prend comme exemple $M$ et $B$ strictement positifs. $B=1.12$ et $M=0.8 $ .
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