Enoncé
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$, dans le cas $(\Delta>0)$ avec comme racine $\alpha$ et $\beta$. On suppose de plus que: $a>0.$
- Calculer leur milieu $m$. que vaut $f(m)$? Citer une particularité de la courbe au point $(m\, ; f(m))$ après avoir fait un dessin.
- On montre par le calcul cette propriété:
- Comparer $f(x)$ et $f(m)$ pour tout $x$ réel.
- A quelle condition la différence entre les deux s'annule-t-elle?
- Conclure que $f$ atteint un minimum en $m$.
- Exprimer $(\alpha+\beta)$ et $(\alpha \times \beta)$ en fonction des coefficients.
- Exprimer $f(m)$ en fonction des racines puis des coefficients.
- Reprendre l'exercice avec $(a<0)$.
Indications
- Que valent les racines dans le cas d'un discriminant strictement positif? Quelle symétrie vérifie une parabole?
- Poser la différence $f(x)-f(m)$ en choisissant une expression de $f$ en fonction des racines ou des coefficients.
- Développez l'expression factorisée de $f(x)$ et identifier.
- Il se peut que l'on ait déjà répondu à cette question en traitant les précédentes.
- Indiquer ce qui change avec la modification de signe, pour se faire une idée faire un dessin en changeant le signe de $a$ sans modifier sa valeur absolue.
Solution
Question 1 - Abscisse du minimum.
Le milieu des racines
Les données principales sont les coefficients du polynôme. Les racines s'expriment en fonction de ceux-ci, considérons $\beta$ comme étant la plus petite: \[ \beta = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \alpha = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \] Le milieu $m$ des deux racines se calcule par définition ainsi: \[ m = \frac{\alpha+\beta}{2} = - \frac{b}{2a} \] La forme développée de $f(x)$ donne la valeur $f(m)$ assez facilement: \[ \begin{align} f(m) & = a \times \left( -\frac{b}{2a} \right) ^2 + b \times \left( -\frac{b}{2a} \right) + c \\ & = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \\ & = - \frac{b^2}{4a}+c \end{align} \] On peut aussi présenter le résultat avec le discriminant: \[ f(m) = - \frac {\Delta}{4a} \] et constater que la valeur de la fonction au sommet est proportionnelle au discriminant.
Le milieu est le sommet
Nous n'avons pas encore démontré que le point $(m\, ; f(m))$ est le sommet de la courbe. C'est la particularité recherchée. Elle peut se justifier provisoirement en remarquant que le sommet est le seul point appartenant à l'axe de symétrie d'une parabole. L'abscisse de cet axe est le milieu de tout couple $(x_1\, ; x_2)$ tels que $f(x_1)=f(x_2)$. Mieux il suffit de connaître deux point ayant la même image pour en déduire l'abscisse du sommet. Or c'est le cas pour $(\alpha\, ; \beta)$ qui vérifient: $f(\alpha)=f(\beta)$.
Graphique
Etant donné le cas général, nous ne proposerons que l'allure d'une courbe vérifiant les propriétés algébriques de l'énoncé. C'est-à-dire une parabole qui intercepte l'axe des abscisse en deux points (deux racines), dont les branches sont dirigées vers le haut (le coefficient $a$ est strictement positif). Il reste à placer $\beta, \alpha, m$. Le coefficient $c$ apparaît naturellement comme ordonnée à l'origine, choisissons le négatif.
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Remarque: On peut relier $f(m)$ et $m$ autrement que par l'expression de $f$ en remarquant: \[ f(m) = -m^2+c \]
Question 2 - Expliquer la position du minimum.
Comparaison
Soit $x$ un réel. Estimons $f(x)-f(m)$ c'est-à-dire simplifions l'expression pour être capable de mieux la cerner, entre autres connaître son signe. \[ \begin{align} f(x)-f(m) & = ax^2+bx+c - \left( -\frac{b^2}{4a} +c \right) \\ & = ax^2+bx + \frac{b^2}{4a} \end{align} \] On reconnaît un carré: \[ \left( \sqrt{a}x \right) ^2 + 2 \times \sqrt{a} x \times \left( \frac{b}{2 \sqrt{a}} \right) + \left( \frac{b}{2 \sqrt{a}} \right)^2 \] Ce qui donne: \[ \left( \sqrt{a} x + \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) ^2 \] Si on ne l'a pas vu, le plus simple est d'étudier l'expression en résolvant l'équation: \[ ax^2+bx+\frac{b^2}{4a} = 0 \] Le discriminant vaut 0 donc il y a une seule solution, une telle expression garde un signe constant pour $x \in \mathbb{R}$. Il suffit de connaître alors la valeur en un point pour avoir le signe, et le mieux est de remplacer $x$ par zéro. C'est-à-dire de lire le signe de la constante $b^2/(4a)$. Puisque $(a>0)$ par hypothèse on obtient la même conclusion.
Au final: \[ f(x)-f(m) = \left( \sqrt{a} x + \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) ^2 \] On peut déjà conclure qu'il s'agit d'une quantité positive. D'où: \[ \forall x \in \mathbb{R} \qquad f(x) \geq f(m) \]
Annulation
C'est une quantité qui est strictement positive pour être plus précis sauf si: $x=m$. Et c'est la seule solution, on améliore l'inégalité précédente en écrivant: \[ x \neq m \Rightarrow f(x)>f(m) \] Il est inutile de préciser qu'il y a équivalence, cela va de soi.
Conclusion
Pour tout $x$ réel la valeur $f(x)$ est au dessus de $f(m)$. On en conclut que $f$ atteint un minimum en $m$. De plus il n'existe qu'un seul réel atteignant la valeur $f(m)$ ce qui n'est pas le cas de toute fonction admettant un minimum.
Question 3 - Relation entre coefficients et racines.
Le calcul de la somme est immédiat: \[ \alpha + \beta = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = -\frac{b}{a} \] Ce qu'on peut retrouver avec $m$ sachant que ce dernier est le milieu des deux racines: \[ \alpha +\beta = 2m \] Quant au produit on peut utiliser les expressions des racines et calculer directement en reconnaissant une identité remarquable: \[\begin{align} \alpha \times \beta & = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ & = \frac{1}{4a^2} \left( -b+\sqrt{\Delta} \right) \left( -b-\sqrt{\Delta} \right) \; = \; \frac{1}{4a} \times 4ac \end{align} \] Soit le résultat: \[ \alpha \times \beta = \frac{c}{a} \] Nous pouvons obtenir plus simplement ce résultat en prenant la forme factorisée de $f(x)$: \[ a(x-\alpha)(x-\beta) = ax^2 + a (\alpha+\beta) x + a \alpha \beta \] Par identification avec la forme développée: $ax^2+bx+c$ on retrouve la réponse.
Remarque
C'est là un résultat général que nous développons pour le degré 3 notamment en fin de chapitre. Les coefficients d'un polynôme et les racines éventuelles sont liées suivant des formules précises. Les connaître permet de déduire plus rapidement les paramètres manquant lors de la résolution d'un problème.
Question 4
Pour retrouver $f(m)$ en fonction des racines il suffit de repartir de la définition: \[ m = \frac{\alpha+\beta}{2} \] et de calculer $f(m)$ à partir de la forme factorisée par exemple: \[\begin{align} f(m) & = a ( m - \alpha ) ( m - \beta ) \\ & = a \left( \frac{\beta-\alpha}{2} \right) \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \\ & = -\frac{a}{4} (\alpha-\beta)^2 \end{align} \] On remarquera qu'il reste le coefficient $a$ et il ne sera pas possible de l'exprimer en fonction des seules racines. En effet, le sommet n'a pas sa valeur uniquement liée à la position des deux racines. Il faut un terme supplémentaire pour indiquer la profondeur atteinte par la parabole et cette information n'est révélée que par $a$. C'est un indicateur de la verticalité des branches et comme on peut le constater deux courbes peuvent avoir les mêmes racines mais pas le même sommet.
On retrouve ce calcul en repartant d'un résultat obtenu à la question 1. qui était que: \[ f(m) = \frac{\Delta}{4a} \] Et la différence des racines dans le bon ordre (la plus grande à laquelle on retire la plus petite) qui vaut: \[ \alpha-\beta=\frac{\sqrt{\Delta}}{a} \]
Exprimer $f(m)$ en fonction des coefficients est plus direct puisque nous l'avons déjà obtenu: \[ f(m)= \frac{\Delta}{4a}= -\frac{b^2}{4a} + c \]
Question 5
L'objectif d'une telle question est d'apprendre à corriger des résultats quand une donnée a été modifiée. Ici nous avons changé le signe de $a$. Le minimum devient un maximum. La conduite des calculs ne change pas, on retrouvera toujours le nombre $a$ mais l'étude qualitative est différente, les signes des grandeurs calculées changent. Reprenons les questions une par une et discutons des modifications:
- Les expressions de $m$ et $f(m)$ sont les mêmes. Mais $f(m)$ devient un maximum.
- Cette fois-ci la différence donne: $$ - \left( \sqrt{-a} x + \frac{b}{2\sqrt{-a}} \right) ^2$$ qui est une quantité négative pour tout $x$ réel.
- La réponse ne change pas.
- Idem.